EIKLĪDA ĢEOMETRIJA: VĒSTURE, PAMATJĒDZIENI UN PIEMĒRI - MATEMĀTIKA - 2025

Par Eiklīda ģeometrija atbilst minētā pētījuma īpašībām ģeometriskās vietas, kur Eiklida ģeometrija 's aksiomas ir apmierināti. Lai gan šis termins dažreiz tiek izmantots, lai aptvertu ģeometrijas, kurām ir augstākas dimensijas ar līdzīgām īpašībām, tas parasti ir sinonīms klasiskajai ģeometrijai vai plaknes ģeometrijai.

III gadsimtā a. C. Eiklīds un viņa mācekļi rakstīja elementus, darbu, kas ietvēra tā laika matemātiskās zināšanas, kas apveltītas ar loģiski deduktīvu struktūru. Kopš tā laika ģeometrija kļuva par zinātni, sākotnēji, lai atrisinātu klasiskās problēmas, un pārtapa par formatīvu zinātni, kas palīdz pamatot.

Vēsture

Lai runātu par eiklīda ģeometrijas vēsturi, ir svarīgi sākt ar Aleksandrijas un Elementu Eiklīdu.

Kad Ēģipte tika atstāta Ptolemaja I rokās, pēc Aleksandra Lielā nāves viņš sāka savu projektu Aleksandrijas skolā.

Starp gudrajiem, kas mācīja skolā, bija Eiklids. Tiek spekulēts, ka viņa dzimšanas datums ir aptuveni 325. gads pirms mūsu ēras. C. un viņa nāves 265 a. C. Mēs droši varam zināt, ka viņš devās uz Platona skolu.

Vairāk nekā trīsdesmit gadus Eiklids māca Aleksandrijā, veidojot tā slavenos elementus: viņš sāka rakstīt izsmeļošu sava laika matemātikas aprakstu. Eiklida mācības radīja izcilus mācekļus, piemēram, Arhimēdu un Pergas Apoloniju.

Eiklids bija atbildīgs par seno grieķu atšķirīgo atklājumu strukturēšanu Elementos, taču atšķirībā no viņa priekšgājējiem viņš neaprobežojas tikai ar apgalvojumu, ka teorēma ir patiesa; Eiklids piedāvā demonstrāciju.

Elementi ir trīspadsmit grāmatu apkopojums. Pēc Bībeles tā ir visvairāk publicētā grāmata ar vairāk nekā tūkstoš izdevumiem.

Eiklida elementi

Elementi ir Eiklida šedevrs ģeometrijas jomā un piedāvā noteiktu divu dimensiju (plaknes) un trīs dimensiju (atstarpes) ģeometrijas traktējumu, kas ir cēlonis tam, ko mēs tagad pazīstam kā eiklīda ģeometriju. .

Pamatjēdzieni

Elementus veido definīcijas, vispārējie jēdzieni un postulāti (vai aksiomas), kam seko teorēmas, konstrukcijas un pierādījumi.

- Lieta ir tā, kurai nav daļu.

- Līnija ir garums, kam nav platuma.

- Taisna līnija ir vienāda attiecībā pret punktiem, kas tajā atrodas.

- Ja divas līnijas sagriež tā, lai blakus esošie leņķi būtu vienādi, leņķus sauc par taisnām līnijām, un līnijas sauc par perpendikulārām.

- Paralēlas līnijas ir tās, kuras, atrodoties vienā plaknē, nekad nekrustojas.

Pēc šīm un citām definīcijām Eiklids iepazīstina mūs ar piecu postulātu un piecu jēdzienu sarakstu.

Parastie priekšstati

- Divas lietas, kas ir vienādas ar trešdaļu, ir vienādas viena otrai.

- Ja tām pašām lietām pievieno vienas un tās pašas lietas, rezultāti ir vienādi.

- Ja no vienādām lietām atņem vienādas lietas, rezultāti ir vienādi.

- Lietas, kas sakrīt, ir vienādas.

- Kopējais ir lielāks par daļu.

Postulāti vai aksiomas

- Viena un tikai viena līnija iet caur diviem dažādiem punktiem.

- Taisnas līnijas var pagarināt uz nenoteiktu laiku.

- Jūs varat uzzīmēt apli ar jebkuru centru un jebkuru rādiusu.

- Visi taisnie leņķi ir vienādi.

- Ja taisna līnija šķērso divas taisnas līnijas tā, ka vienas puses iekšējie leņķi veido mazāk nekā divus taisnus leņķus, tad abas līnijas šajā pusē šķērsos.

Šis pēdējais postulāts ir pazīstams kā paralēlais postulāts, un tas tika pārformulēts šādā veidā: "Punktam ārpus līnijas var novilkt vienu paralēlu dotajai līnijai."

Piemēri

Tālāk dažas elementu teorēmas kalpos, lai parādītu ģeometrisko telpu īpašības, kur izpildīti pieci Eiklida postulāti; Turklāt tie parādīs loģiski deduktīvo pamatojumu, ko izmantojis šis matemātiķis.

Pirmais piemērs

Priekšlikums 1.4. (LAL)

Ja diviem trijstūriem ir divas malas un leņķis starp tām ir vienāds, tad otra puse un otrs leņķis ir vienādi.

Demonstrācija

Ļaujiet ABC un A'B'C 'būt diviem trīsstūriem ar AB = A'B', AC = A'C 'un leņķiem BAC un B'A'C' vienādām. Pārvietosim trīsstūri A'B'C 'tā, lai A'B' sakristu ar AB un leņķis B'A'C 'sakristu ar leņķi BAC.

Tātad līnija A'C 'sakrīt ar līniju AC, tātad C' sakrīt ar C. Tad ar 1. postulātu līnijai BC jāsakrīt ar līniju B'C '. Tāpēc abi trīsstūri sakrīt, un līdz ar to to leņķi un malas ir vienādi.

Otrais piemērs

1.5. Priekšlikums. (

Pieņemsim, ka trīsstūrim ABC ir vienādas malas AB un AC.

Tātad trijstūriem ABD un ACD ir divas vienādas malas, un leņķi starp tām ir vienādi. Tādējādi, izmantojot 1.4. Priekšlikumu, leņķi ABD un ACD ir vienādi.

Trešais piemērs

1.31. Priekšlikums

Jūs varat izveidot līniju paralēli līnijai, ko piešķir dotais punkts.

Ēka

Ņemot vērā līniju L un punktu P, caur P tiek novilkta līnija M, kas šķērso L. Tad caur P, kas šķērso L., tiek novilkta līnija N. Tagad caur P, kas šķērso M, tiek novilkta līnija N, veidojot leņķi, kas vienāds ar L, kas veidojas ar M.

Apliecinājums

N ir paralēla L.

Demonstrācija

Pieņemsim, ka L un N nav paralēlas un krustojas punktā A. Ļaujiet B būt punktam L aiz A. Apskatīsim līniju O, kas iet caur B un P. Tad O krusto M leņķos, kas veido mazāk nekā divi taisni.

Tad par 1,5 līniju O jāšķērso L līnija M otrā pusē, tāpēc L un O krustojas divos punktos, kas ir pretrunā ar 1. postulātu. Tāpēc L un N jābūt paralēliem.

Atsauces

1. Ģeometrijas elementi. Meksikas Nacionālā autonomā universitāte
2. Eiklida. Pirmās sešas grāmatas un vienpadsmitā un divpadsmitā daļa no Eiklida elementiem
3. Eugenio Filloy Yague. Eiklīda ģeometrijas didaktika un vēsture, Grupo Editorial Iberoamericano
4. K. Ribņikovs. Matemātikas vēsture. Mir redakcija
5. Viloria, N., & Leal, J. (2005) Plane Analytical Geometry. Redakcijas Venezolana CA