ANALĪTISKĀ ĢEOMETRIJA: KO TĀ PĒTA, VĒSTURE, PIELIETOJUMI - MATEMĀTIKA - 2025

Par analītiskās ģeometrijas pētījumiem līnijas un ģeometriskas formas, piemērojot pamata algebra metodes un matemātisko analīzi noteiktā koordinātu sistēmu.

Līdz ar to analītiskā ģeometrija ir matemātikas nozare, kurā sīki tiek analizēti visi ģeometrisko figūru dati, tas ir, tilpums, leņķi, laukums, krustošanās punkti, to attālumi, cita starpā.

Analītiskās ģeometrijas pamatīpašība ir tā, ka tā ļauj ģeometriskas figūras attēlot caur formulām.

Piemēram, apkārtmērus attēlo ar otrās pakāpes polinomu vienādojumiem, bet līnijas izsaka ar pirmās pakāpes polinomu vienādojumiem.

Analītiskā ģeometrija rodas septiņpadsmitajā gadsimtā sakarā ar nepieciešamību sniegt atbildes uz problēmām, kurām līdz šim nebija risinājuma. Tās labākie pārstāvji bija Renē Dekarts un Pjērs de Fermats.

Mūsdienās daudzi autori to norāda kā revolucionāru jaunradi matemātikas vēsturē, jo tā ir mūsdienu matemātikas sākums.

Analītiskās ģeometrijas vēsture

Termins analītiskā ģeometrija radās Francijā septiņpadsmitajā gadsimtā sakarā ar nepieciešamību sniegt atbildes uz problēmām, kuras nevarēja atrisināt, izmantojot algebru un ģeometriju izolēti, bet risinājums bija abu apvienojums.

Galvenie analītiskās ģeometrijas pārstāvji

Septiņpadsmitā gadsimta laikā divi franči nejauši dzīvē veica pētījumus, kas vienā vai otrā veidā beidzās ar analītiskās ģeometrijas izveidi. Šie cilvēki bija Pjērs de Fermats un Renē Dekarts.

Pašlaik tiek uzskatīts, ka analītiskās ģeometrijas veidotājs bija Renē Dekarts. Tas ir saistīts ar faktu, ka viņš publicēja savu grāmatu pirms Fermat's un arī padziļināti ar Dekartu par analītiskās ģeometrijas tēmu.

Tomēr gan Fermāts, gan Dekarts atklāja, ka līnijas un ģeometriskās figūras var izteikt ar vienādojumiem un vienādojumus var izteikt kā līnijas vai ģeometriskas figūras.

Pēc abu atklājumiem var teikt, ka abi ir analītiskās ģeometrijas veidotāji.

Pjērs de Fermats

Pjērs de Fermats bija franču matemātiķis, kurš dzimis 1601. gadā un miris 1665. gadā. Dzīves laikā viņš pētīja Eiklida, Apolonija un Pappusa ģeometriju, lai atrisinātu tajā laikā pastāvošās mērīšanas problēmas.

Vēlāk šie pētījumi izraisīja ģeometrijas izveidi. Viņi galu galā tika izteikti viņa grāmatā "Ievads līdzenās un cietās vietās" (Ad Locos Planos et Solidos Isagoge), kas tika publicēta 14 gadus pēc viņa nāves 1679. gadā.

Pjērs de Fermats piemēroja analītisko ģeometriju Apolonija teorēmām par ģeometriskām vietām 1623. gadā. Viņš bija arī pirmais, kurš trīsdimensiju telpā piemēroja analītisko ģeometriju.

Renē Dekarts

Pazīstams arī kā Cartesius, viņš bija matemātiķis, fiziķis un filozofs, kurš dzimis 1596. gada 31. martā Francijā un miris 1650. gadā.

Renē Dekarts 1637. gadā publicēja savu grāmatu "Diskurss par saprāta pareizas vadīšanas un patiesības meklējumiem zinātnē", kas labāk pazīstams kā "Metode", un no turienes pasaulei tika ieviests termins analītiskā ģeometrija. Viens no tā papildinājumiem bija "Ģeometrija".

Analītiskās ģeometrijas pamatelementi

Analītisko ģeometriju veido šādi elementi:

Dekarta koordinātu sistēma

Šī sistēma ir nosaukta Renē Dekarta vārdā.

Ne tas, kurš to nosauca, ne tas, kurš pabeidza Dekarta koordinātu sistēmu, bet viņš bija tas, kurš runāja par koordinātām ar pozitīviem skaitļiem, kas nākamajiem zinātniekiem ļāva to pabeigt.

Šī sistēma sastāv no taisnstūrveida koordinātu sistēmas un polāro koordinātu sistēmas.

Taisnstūra koordinātu sistēmas

Taisnstūra koordinātu sistēmas sauc par plakni, ko veido divu viena otrai perpendikulāru skaitlisko līniju izsekošana, kur atslēgšanās punkts sakrīt ar kopējo nulli.

Tad šo sistēmu veidotu horizontāla un vertikāla līnija.

Horizontālā līnija ir X ass vai abscisa ass. Vertikālā līnija būtu Y ass vai ordinātu ass.

Polāro koordinātu sistēma

Šī sistēma ir atbildīga par punkta relatīvā stāvokļa pārbaudi attiecībā pret fiksētu līniju un fiksētu līnijas punktu.

Līnijas Dekarta vienādojums

Šo vienādojumu iegūst no līnijas, kad ir zināmi divi punkti, caur kuriem tā iet.

Taisne

Tas ir tāds, kas nenovirzās, un tāpēc tam nav ne izliekumu, ne leņķu.

Konusi

Tās ir līknes, ko nosaka līnijas, kas iet caur fiksētu punktu, un līknes punkti.

Elipse, apkārtmērs, parabola un hiperbola ir koniskas līknes. Katrs no tiem ir aprakstīts zemāk.

Apkārtmērs

Apkārtmēru sauc par slēgtu plaknes līkni, ko veido visi plaknes punkti, kas ir vienādā attālumā no iekšējā punkta, tas ir, no apkārtmēra centra.

Pārklājams

Tas ir to punktu atrašanās vieta plaknē, kas ir vienādā attālumā no fiksētā punkta (fokusa) un fiksētās līnijas (virziena). Tātad parabolu nosaka tieši virziens un fokuss.

Parabolu var iegūt kā apgrieztu koniskas virsmas sekciju caur plakni, kas ir paralēla ģenetriskai.

Elipse

Slēgtā līkne, kas apraksta punktu, pārvietojoties plaknē, tiek saukta par elipsi tādā veidā, ka tās attālumu summa līdz diviem (2) fiksētiem punktiem (ko sauc par perēkļiem) ir nemainīga.

Hiperbola

Hiperbola tiek saukta par līkni, kas definēta kā punktu plakne, kur atšķirība starp divu fiksētu punktu (perēkļu) attālumiem ir nemainīga.

Hiperbolai ir simetrijas ass, kas iet caur perēkļiem, ko sauc par fokusa asi. Tam ir arī vēl viens, kas ir segmenta bisektors, kura galos ir fiksēti punkti.

Lietojumprogrammas

Dažādās ikdienas dzīves jomās ir daudz analītiskās ģeometrijas pielietojumu. Piemēram, daudzos no rīkiem, kurus mūsdienās izmanto, parabolu, kas ir viens no analītiskās ģeometrijas pamatelementiem, mēs varam atrast. Daži no šiem rīkiem ir šādi:

Satelītantena

Paraboliskajām antenām ir atstarotājs, kas ģenerēts parabolas rezultātā, kas rotē uz minētās antenas ass. Virsmu, kas rodas šīs darbības rezultātā, sauc par paraboloīdu.

Šo paraboloīda spēju sauc par parabolas optisko vai atstarošanas īpašību, un, pateicoties tam, paraboloīdam ir iespējams atspoguļot elektromagnētiskos viļņus, ko tas saņem no barošanas mehānisma, kas veido antenu.

Piekārtie tilti

Ja virve atbalsta viendabīgu svaru, bet tajā pašā laikā ir ievērojami lielāks par pašas virves svaru, rezultāts būs parabola.

Šis princips ir būtisks balstiekārtu tiltu būvei, kurus parasti atbalsta ar platām tērauda kabeļu konstrukcijām.

Līdzības princips balstiekārtu tiltos ir izmantots tādās konstrukcijās kā Zelta vārtu tilts, kas atrodas Sanfrancisko pilsētā, Amerikas Savienotajās Valstīs, vai Lielais Akashi jūras šauruma tilts, kas atrodas Japānā un savieno salu Awaji ar Honshū, šīs valsts galveno salu.

Astronomiskā analīze

Analītiskajai ģeometrijai astronomijas jomā ir bijuši arī ļoti specifiski un izlēmīgi pielietojumi. Šajā gadījumā analītiskās ģeometrijas elements, kas nonāk centrā, ir elipse; Johannesa Keplera planētu kustības likums to atspoguļo.

Keplers, vācu matemātiķis un astronoms, noteica, ka elipse ir līkne, kas vislabāk atbilst Marsa kustībai; Viņš jau iepriekš bija pārbaudījis Kopernika ierosināto apļveida modeli, bet eksperimentu vidū secināja, ka elipse kalpoja, lai uzzīmētu orbītu, kas ir pilnīgi līdzīga tai, uz kuras planētas viņš pētīja.

Pateicoties elipsei, Keplers spēja apstiprināt, ka planētas pārvietojās elipsveida orbītās; šis apsvērums bija tā dēvētā Keplera otrā likuma paziņojums.

Pēc šī atklājuma, kuru vēlāk bagātināja angļu fiziķis un matemātiķis Īzaks Ņūtons, bija iespējams izpētīt planētu orbitālo kustību un palielināt zināšanas, kas bija par to Visumu, kurā mēs esam.

Kassegraina teleskops

Kassegrainas teleskops ir nosaukts tā izgudrotāja, franču izcelsmes fiziķa Laurena Kassegraina vārdā. Šajā teleskopā tiek izmantoti analītiskās ģeometrijas principi, jo tas galvenokārt sastāv no diviem spoguļiem: pirmais ir ieliekts un parabolisks, bet otrais ir izliekts un hiperbolisks.

Šo spoguļu atrašanās vieta un raksturs ļauj neveikt defektu, kas pazīstams kā sfēriska aberācija; Šis defekts novērš gaismas staru atspoguļošanos objektīva fokusā.

Kassegraina teleskops ir ļoti noderīgs planētu novērošanai, kā arī diezgan universāls un viegli lietojams.

Atsauces

1. Analītiskā ģeometrija. Iegūts 2017. gada 20. oktobrī no vietnes britannica.com
2. Analītiskā ģeometrija. Saņemts 2017. gada 20. oktobrī no enciklopēdijasfmath.org
3. Analītiskā ģeometrija. Saņemts 2017. gada 20. oktobrī no vietnes khancademy.org
4. Analītiskā ģeometrija. Iegūts 2017. gada 20. oktobrī no vietnes wikipedia.org
5. Analītiskā ģeometrija. Iegūts 2017. gada 20. oktobrī no vietnes whitman.edu
6. Analītiskā ģeometrija. Saņemts 2017. gada 20. oktobrī no vietnes stewartcalculus.com
7. Plaknes analītiskā ģeometrija Iegūts 2017. gada 20. oktobrī