Surjective funkcija ir kāds sakars kur katrs elements, kas pieder pie codomain ir attēls vismaz viena domēna elementu. Pazīstamas arī kā aploksnes funkcija , tās ir daļa no funkciju klasifikācijas atkarībā no to elementu savstarpējās saiknes.

Piemēram, funkcija F: A → B, ko definē ar F (x) = 2x

Ko lasa " F, kas iet no A līdz B, ko nosaka F (x) = 2x"

Jums jādefinē sākuma un apdares komplekti A un B.

A: {1, 2, 3, 4, 5} Tagad vērtības vai attēli, ko katrs no šiem elementiem iegūs, novērtējot ar F, būs kododēna elementi.

F (1) = 2

F (2) = 4

F (3) = 6

F (4) = 8

F (5) = 10

Tādējādi veidojot kopu B: {2, 4, 6, 8, 10}

Tad var secināt, ka:

F: {1, 2, 3, 4, 5} → {2, 4, 6, 8, 10}, ko nosaka ar F (x) = 2x Tā ir surjektīva funkcija

Katram kodēna domēnam ir jārodas vismaz vienas neatkarīgā mainīgā darbības rezultātā, izmantojot attiecīgo funkciju. Attēli nav ierobežoti, kodēna domēna elements var būt vairāk nekā viena domēna elementa attēls un joprojām izmēģināt surjektīvo funkciju .

Attēlā parādīti 2 piemēri ar surjektīvām funkcijām .

Avots: Autors

Pirmajā tiek novērots, ka attēlus var atsaukties uz vienu un to pašu elementu, neapdraudot funkcijas surjektivitāti .

Otrajā mēs redzam taisnīgu sadalījumu starp domēnu un attēliem. Tas rada bijektīvo funkciju , kurā jāievēro injekcijas un surjektīvās funkcijas kritēriji .

Vēl viena metode, lai identificētu surjektīvās funkcijas, ir pārbaudīt, vai kodēns ir vienāds ar funkcijas pakāpi. Tas nozīmē, ka, ja ierašanās kopa ir vienāda ar attēliem, ko funkcija sniedz, novērtējot neatkarīgo mainīgo, funkcija ir surjektīva.

Īpašības

Lai uzskatītu par funkciju surjektīvu , jāizpilda šādi nosacījumi:

Ļaujiet F: D _f → C _f

∀ b ℮ C _f E a ℮ D _f / F (a) = b

Tas ir algebrisks veids, kā noteikt, ka katram “b”, kas pieder C _f , ir “a”, kas pieder D _f, tā, ka funkcija F, kas novērtēta ar “a”, ir vienāda ar “b”.

Surjektivitāte ir funkciju īpatnība, kurā kododēns un diapazons ir līdzīgi. Tādējādi funkcijā novērtētie elementi veido ierašanās komplektu.

Funkciju kondicionēšana

Dažreiz funkciju, kas nav surjektīva, var pakļaut noteiktiem nosacījumiem. Šie jaunie nosacījumi var padarīt to par surjektīvu funkciju.

Ir spēkā visa veida funkcijas domēna un kodēna modifikācijas, ja mērķis ir izpildīt surjektivitātes īpašības atbilstošajās attiecībās.

Piemēri: atrisināti vingrinājumi

Lai izpildītu surjektivitātes nosacījumus, ir jāpiemēro dažādi kondicionēšanas paņēmieni, lai nodrošinātu, ka katrs kodēna domēna elements ietilpst funkcijas attēlos.

1. vingrinājums

• Ļaujiet funkciju F: R → R definēt ar līniju F (x) = 8 - x

A:

Avots: autore

Šajā gadījumā funkcija apraksta nepārtrauktu līniju, kas ietver visus reālos skaitļus gan savā domēnā, gan diapazonā. Tā diapazons funkcija R _f ir vienāds ar codomain R to var secināt, ka:

F: R → R, ko definē ar līniju F (x) = 8 - x ir surjektīva funkcija.

Tas attiecas uz visām lineārajām funkcijām (funkcijām, kuru mainīgā augstākā pakāpe ir viena).

2. vingrinājums

• Izpētiet funkciju F: R → R, ko nosaka F (x) = x ² : definējiet, vai tā ir surjektīva funkcija . Ja nē, parādiet nosacījumus, kas vajadzīgi, lai padarītu to surjektīvu.

Avots: autore

Pirmais, kas jāņem vērā, ir F kododēns , ko veido reālie skaitļi R. Funkcijai nav nekādu iespēju iegūt negatīvas vērtības, kas no iespējamiem attēliem izslēdz negatīvas reālās vērtības.

Kodēna kondicionēšana ar intervālu. Izvairās atstāt kodēna elementus nesaistītus caur F.

Attēlus atkārto neatkarīgu mainīgo elementu pāriem, piemēram, x = 1 un x = - 1. Bet tas ietekmē tikai funkcijas injektivitāti, un tas nav šī pētījuma problēma.

Šādā veidā var secināt, ka:

F: R → . Šim intervālam ir jākondicionē kodēns, lai sasniegtu funkcijas surjektivitāti.

F: R → definēts ar F (x) = Sen (x) Tā ir surjektīva funkcija

F: R → definēts ar F (x) = Cos (x) Tā ir surjektīva funkcija

4. vingrinājums

• Izpētiet funkciju

F :) .push ({});

Avots: Autors

Funkcijai F (x) = ± √x ir tāda īpatnība, ka tā definē 2 atkarīgus mainīgos katrā "x" vērtībā. Tas ir, diapazons saņem 2 elementus par katru, kas tiek veikts domēnā. Katrai "x" vērtībai ir jāpārbauda pozitīvā un negatīvā vērtība.

Novērojot sākuma kopu, tiek atzīmēts, ka domēns jau ir ierobežots, lai izvairītos no nenoteiktībām, kas rodas, novērtējot negatīvu skaitli pat saknē.

Pārbaudot funkcijas diapazonu, tiek atzīmēts, ka katra kodēna vērtība pieder diapazonam.

Šādā veidā var secināt, ka:

F: [0, ∞ ) → R, ko nosaka F (x) = ± √x Tā ir surjektīva funkcija

4. vingrinājums

• Izpētiet funkciju F (x) = Ln x apzīmē, ja tā ir surjektīva funkcija . Sagatavojiet ierašanās un aizbraukšanas komplektus, lai tie atbilstu funkcijai ar surjektivitātes kritērijiem.

Avots: Autors

Kā parādīts diagrammā, funkcija F (x) = Ln x ir definēta vērtībām "x", kas lielākas par nulli. Kaut arī "un" vai attēlu vērtības var iegūt jebkuru reālu vērtību.

Tādā veidā mēs varam ierobežot domēnu F (x) = ar intervālu (0, ∞ )

Kamēr funkciju diapazonu var saglabāt kā reālo skaitļu kopu R

Ņemot to vērā, var secināt, ka:

F: [0, ∞ ) → R, ko definē F (x) = Ln x Tā ir surjektīva funkcija

5. vingrinājums

• Izpētiet absolūtās vērtības funkciju F (x) = - x - un norādiet ierašanās un aizbraukšanas kopas, kas atbilst surjektivitātes kritērijiem.

Avots: Autors

Funkcijas domēns tiek izpildīts visiem reālajiem skaitļiem R. Tādā veidā kodomenā jāveic tikai kondicionēšana, ņemot vērā, ka absolūtās vērtības funkcijai ir tikai pozitīvas vērtības.

Mēs turpinām noteikt funkcijas kodēnu, kas vienāds ar tās pašas rangu

[0, ∞ )

Tagad var secināt, ka:

F: [0, ∞ ) → R, ko definē F (x) = - x - tā ir surjektīva funkcija

Piedāvātie vingrinājumi

1. Pārbaudiet, vai šādām funkcijām ir raksturīga negatīva ietekme:

• F: (0, ∞ ) → R definēts ar F (x) = žurnāls (x + 1)
• F: R → R, ko nosaka F (x) = x ³
• F: R → [1, ∞ ), ko definē ar F (x) = x ² + 1
• [0, ∞ ) → R definēts ar F (x) = Log (2x + 3)
• F: R → R noteikts ar F (x) = Sec x
• F: R - {0} → R definēts ar F (x) = 1 / x

Atsauces

1. Ievads loģikā un kritiskajā domāšanā. Merrilee H. Salmon. Pitsburgas Universitāte
2. Matemātiskās analīzes problēmas. Pjotrs Bilers, Alfrēds Vitkovskis. Vroclavas universitāte. Polija.
3. Abstraktās analīzes elementi. Mícheál O'Searcoid PhD. Matemātikas katedra. Dublinas Universitātes koledža, Beldfīlda, Dublinda 4
4. Ievads loģikā un deduktīvo zinātņu metodoloģijā. Alfrēds Tarskis, Ņujorkas Oksforda. Oksfordas Universitātes prese.
5. Matemātiskās analīzes principi. Enrique Linés Escardó. Redakcijas redakcija S. A 1991. Barselona, ​​Spānija.