Logaritmiska funkcija ir matemātiska attiecības, kas saista katru pozitīvs reālais skaitlis x, ar tās logaritma y uz bāzes a. Šī saistība atbilst funkcijām izvirzītajām prasībām: katram domēnam piederošajam elementam x ir unikāls attēls.
Tādējādi:
Tā kā logaritms, kura pamatā ir skaitlis x, ir skaitlis y, uz kuru jāpaaugstina a bāze, lai iegūtu x.
-Bāzes logaritms vienmēr ir 1. Tādējādi f (x) = log a grafiks vienmēr krustojas ar x asi punktā (1,0).
- Logaritmiskā funkcija ir transcendenta un to nevar izteikt kā polinomu vai kā šo koeficientu. Papildus logaritmam šajā grupā cita starpā ietilpst trigonometriskās funkcijas un eksponenciāls.
Piemēri
Logaritmisko funkciju var noteikt ar dažādām bāzēm, bet visbiežāk tiek izmantotas 10 un e, kur e ir Eulera skaitlis, kas vienāds ar 2,71828….
Ja izmanto bāzi 10, logaritmu sauc par decimālo logaritmu, parasto logaritmu, Brigga vai vienkārši vienkāršo logaritmu.
Un, ja tiek izmantots cipars, tad to sauc par dabisko logaritmu pēc Jāņa Napiera, Skotijas matemātiķa, kurš atklāja logaritmus.
Katram no tiem tiek izmantots apzīmējums:
-Decimālais logaritms: log 10 x = log x
-Neperijas logaritms: ln x
Kad jūs plānojat izmantot citu bāzi, ir absolūti nepieciešams to norādīt kā apakšindeksu, jo katra skaitļa logaritms ir atšķirīgs atkarībā no izmantojamās bāzes. Piemēram, ja 2. bāzē ir logaritmi, rakstiet:
y = log 2 x
Apskatīsim skaitļa 10 logaritmu trīs dažādās bāzēs, lai ilustrētu šo punktu:
log 10 = 1
ln 10 = 2,30259
log 2 10 = 3,332193
Parastie kalkulatori nodrošina tikai decimālos logaritmus (log funkcija) un dabisko logaritmu (ln funkcija). Internetā ir kalkulatori ar citām bāzēm. Jebkurā gadījumā lasītājs ar tās palīdzību var pārbaudīt, vai iepriekšējās vērtības ir izpildītas:
10 1 = 10
e 2.3026 = 10.0001
2 3,32193 = 10,0000
Nelielas decimāldaļu atšķirības ir saistītas ar decimālskaitļu skaitu, kas ņemts, aprēķinot logaritmu.
Logaritmu priekšrocības
Starp logaritmu izmantošanas priekšrocībām ir arī to atvieglojums darbam ar lieliem skaitļiem, izmantojot tieši logaritmu, nevis skaitli.
Tas ir iespējams, jo logaritma funkcija aug lēnāk, jo skaitļi kļūst lielāki, kā redzams diagrammā.
Tātad pat ar ļoti lieliem skaitļiem viņu logaritmi ir daudz mazāki, un vienmēr ir vieglāk manipulēt ar maziem skaitļiem.
Turklāt logaritmiem ir šādas īpašības:
- Produkts : log (ab) = log a + log b
- koeficients : log (a / b) = log a - log b
- Jauda : log a b = b.log a
Un šādā veidā reizinājumi un koeficienti kļūst par mazāku skaitļu papildinājumiem un atņemjumiem, savukārt potenciācija kļūst par vienkāršu produktu, kaut arī jauda ir liela.
Tāpēc logaritmi ļauj izteikt skaitļus, kas mainās ļoti lielos vērtību diapazonos, piemēram, skaņas intensitāte, šķīduma pH, zvaigžņu spilgtums, elektriskā pretestība un zemestrīču intensitāte pēc Rihtera skalas.
2. attēls. Zemestrīču intensitātes kvantitatīvai noteikšanai Rihtera skalā tiek izmantoti logaritmi. Attēlā redzama sagruvušā ēka Konsepsjonā, Čīlē, 2010. gada zemestrīces laikā. Avots: Wikimedia Commons.
Apskatīsim logaritmu īpašību apstrādes piemēru:
Piemērs
Atrodiet x vērtību šādā izteiksmē:
Atbildi
Mums šeit ir logaritmiskais vienādojums, jo nezināmais atrodas logaritma argumentācijā. Tas tiek atrisināts, atstājot vienu logaritmu katrā vienlīdzības pusē.
Sākumā ievietojam visus vārdus, kas satur "x", pa kreisi no vienlīdzības, un tos, kas satur tikai ciparus pa labi:
log (5x + 1) - log (2x-1) = 1
Kreisajā pusē mums ir atņemti divi logaritmi, kurus var uzrakstīt kā koeficienta logaritmu:
log = 1
Tomēr labajā pusē ir skaitlis 1, ko mēs varam izteikt kā log 10, kā mēs redzējām iepriekš. Tātad:
log = log 10
Lai vienlīdzība būtu patiesa, logaritmu argumentiem jābūt vienādiem:
(5x + 1) / (2x-1) = 10
5x + 1 = 10 (2x - 1)
5x + 1 = 20 x 10
-15 x = -11
x = 11/15
Pielietojums: Rihtera skala
1957. gadā Meksikā notika zemestrīce, kuras stiprums pēc Rihtera skalas bija 7,7. 1960. gadā Čīlē notika vēl viena lielāka mēroga zemestrīce - 9,5.
Aprēķiniet, cik reizes Čīles zemestrīce bija intensīvāka nekā Meksikā, zinot, ka M R stiprumu pēc Rihtera skalas nosaka pēc formulas:
M R = log (10 4 I)
Risinājums
Zemestrīces stiprums pēc Rihtera skalas ir logaritmiska funkcija. Mēs aprēķināsim katras zemestrīces intensitāti, jo mums ir Richtera lielumi. Darīsim to soli pa solim:
- Meksika : 7,7 = log (10 4 I)
Tā kā logaritma funkcijas apgrieztā daļa ir eksponenciāla, mēs to piemērojam abām vienlīdzības pusēm ar nolūku atrisināt I, kas atrodams logaritma argumentācijā.
Tā kā tie ir decimālie logaritmi, bāze ir 10. Tad:
10 7,7 = 10 4 I
Meksikas zemestrīces intensitāte bija:
I M = 10 7,7 / 10 4 = 10 3,7
- Čīle : 9,5 = log (10 4 I)
Tāda pati procedūra noved pie Čīles I Ch zemestrīces intensitātes :
I Ch = 10 9,5 / 10 4 = 10 5,5
Tagad mēs varam salīdzināt abas intensitātes:
I Ch / I M = 10 5,5 / 10 3,7 = 10 1,8 = 63,1
I Ch = 63,1. Es M
Zemestrīce Čīlē bija aptuveni 63 reizes intensīvāka nekā Meksikā. Tā kā lielums ir logaritmisks, tas aug lēnāk nekā intensitāte, tāpēc magnitūdas atšķirība 1 nozīmē desmit reizes lielāku seismiskā viļņa amplitūdu.
Starpība starp abu zemestrīču intensitāti ir 1,8, tāpēc mēs varētu sagaidīt intensitātes atšķirību tuvāk 100 nekā 10, kā tas patiesībā notika.
Faktiski, ja atšķirība būtu bijusi precīza 2, Čīles zemestrīce būtu bijusi 100 reizes intensīvāka nekā Meksikas.
Atsauces
- Kerna, M. 2019. Pirmsuniversitātes matemātikas rokasgrāmata. Litoralas Nacionālā universitāte.
- Figuera, J. 2000. Matemātika 1.sēr. Daudzveidīgs gads. CO-BO izdevumi.
- Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice zāle.
- Larsons, R. 2010. Mainīgā lieluma aprēķins. 9. Izdevums. Makgreiva kalns.
- Stewart, J. 2006. Precalculus: Calculus matemātika. 5. Izdevums. Cengage mācīšanās.