- Kādas ir injekcijas funkcijas?
- Funkciju kondicionēšana
- Injekcijas funkciju piemēri ar atrisinātiem vingrinājumiem
- 1. piemērs
- 2. piemērs
- 3. piemērs
- 4. piemērs
- 5. piemērs
- 6. piemērs
- Atsauces
Injective funkcija ir kāds sakars elementu domēna ar vienu no codomain elementa. Pazīstamas arī kā viena pret otru funkcija ( 1 - 1 ), tās ir daļa no funkciju klasifikācijas attiecībā uz to elementu saistību.
Kodēna domēna elements var būt tikai viena domēna elementa attēls, tādējādi atkarīgā mainīgā vērtības nevar atkārtot.
Avots: Autors.
Skaidrs piemērs būtu vīriešu grupēšana ar darbu A grupā un B grupā visi priekšnieki. Funkcija F būs tā, kas saista katru strādnieku ar savu priekšnieku. Ja katrs darbinieks caur F ir saistīts ar atšķirīgu priekšnieku , tad F būs injekcijas funkcija .
Lai uzskatītu par injekcijas funkciju, jāievēro šādi nosacījumi:
1 x 1 ≠ x 2 ⇒ F (x 1 ) ≠ F (x 2 )
Tas ir algebriskais teiciena veids. Katram x 1, kas atšķiras no x 2, mums ir F (x 1 ), kas atšķiras no F (x 2 ).
Kādas ir injekcijas funkcijas?
Injektivitāte ir nepārtrauktu funkciju īpašība, jo tās nodrošina attēlu piešķiršanu katram domēna elementam, kas ir būtisks funkcijas nepārtrauktības aspekts.
Uzzīmējot līniju, kas ir paralēla X asij, uz injekcijas funkcijas grafika, grafiks jāpieskaras tikai vienā punktā neatkarīgi no tā, kādā Y līnijas augstumā vai lielumā līnija tiek novilkta. Šis ir grafiskais veids, kā pārbaudīt funkcijas ievadāmību.
Vēl viens veids, kā pārbaudīt, vai funkcija ir injektīva, ir neatkarīgā mainīgā X atrisināšana atkarīgā mainīgā Y izteiksmē. Tad jāpārbauda, vai šīs jaunās izteiksmes domēns satur reālos skaitļus, vienlaikus ar katru Y vērtību. X ir viena vērtība .
Funkcijas vai pasūtījuma attiecības cita starpā ievēro apzīmējumu F: D f → C f
Kas lasāms F, kas iet no D f uz C f
Ja funkcija F saistās ar domēnu un kodēna kopām. Pazīstams arī kā sākuma komplekts un apdares komplekts.
Domēns D f satur neatkarīgā mainīgā pieļaujamās vērtības. Kododēnu C f veido visas vērtības, kas pieejamas atkarīgajam mainīgajam. C f elementi, kas saistīti ar D f, ir zināmi kā funkcijas diapazons (R f ).
Funkciju kondicionēšana
Dažreiz funkciju, kas nav injicējama, var pakļaut noteiktiem nosacījumiem. Šie jaunie apstākļi var padarīt to par injekcijas funkciju. Ir spēkā visa veida funkcijas domēna un kodēna modifikācijas, ja mērķis ir attiecīgajās attiecībās izpildīt injekcijas īpašības.
Injekcijas funkciju piemēri ar atrisinātiem vingrinājumiem
1. piemērs
Ļaujiet funkciju F: R → R definēt ar līniju F (x) = 2x - 3
A:
Avots: Autors.
Tiek novērots, ka katrai domēna vērtībai kodomenā ir attēls. Šis attēls ir unikāls, kas padara F par injektīvu. Tas attiecas uz visām lineārajām funkcijām (funkcijām, kuru mainīgā augstākā pakāpe ir viena).
Avots: Autors.
2. piemērs
Ļaujiet funkciju F: R → R definēt ar F (x) = x 2 +1
Avots: Autors
Zīmējot horizontālu līniju, tiek novērots, ka grafiks ir atrodams vairāk nekā vienā gadījumā. Tādēļ funkcija F nav injicējama, ja vien R → R ir noteikts
Mēs turpinām funkcijas domēna nosacījumu:
F: R + U {0} → R
Avots: Autors
Tagad neatkarīgais mainīgais neuztver negatīvas vērtības, tādējādi izvairoties no rezultātu atkārtošanās, un funkcija F: R + U {0} → R, ko nosaka F (x) = x 2 + 1, ir injektīva .
Vēl viens homologs risinājums būtu ierobežot domēnu pa kreisi, tas ir, ierobežot funkciju, ņemot tikai negatīvās un nulles vērtības.
Mēs turpinām funkcijas domēna nosacījumu
F: R - U {0} → R
Avots: Autors
Tagad neatkarīgais mainīgais neuztver negatīvas vērtības, tādējādi izvairoties no rezultātu atkārtošanās, un funkcija F: R - U {0} → R, ko nosaka F (x) = x 2 + 1, ir injektīva .
Trigonometriskām funkcijām ir raksturīga viļņiem raksturīga uzvedība, kad ir ļoti bieži atrast vērtības atkārtojumus atkarīgajā mainīgajā. Izmantojot īpašu kondicionēšanu, pamatojoties uz iepriekšējām zināšanām par šīm funkcijām, mēs varam sašaurināt domēnu, lai izpildītu injekcijas nosacījumus.
3. piemērs
Ļaujiet funkcijai F: → R noteikt ar F (x) = Cos (x)
Intervālā kosinusa funkcija tās rezultātus maina no nulles līdz vienai.
Avots: Autors.
Kā redzams diagrammā. Tas sākas no nulles pie x = - π / 2, pēc tam sasniedz maksimumu pie nulles. Pēc x = 0 vērtības sāk atkārtoties, līdz x = π / 2 atgriežas uz nulli . Tādā veidā ir zināms, ka F (x) = Cos (x) nav ievadīts intervālā.
Pētot funkcijas F (x) = Cos (x) grafiku, tiek novēroti intervāli, kur līknes uzvedība pielāgojas injekcijas kritērijiem. Piemēram, intervāls
Ja funkcija mainās, rezultāts ir no 1 līdz -1, neatkārtojot vērtības atkarīgajā mainīgajā.
Tādā veidā funkcijas funkcija F: → R definēta ar F (x) = Cos (x). Tas ir injicējams
Ir nelineāras funkcijas, kur notiek līdzīgi gadījumi. Racionālā tipa izteiksmēm, kurās saucējā ir vismaz viens mainīgais, pastāv ierobežojumi, kas novērš attiecību ievadāmību.
4. piemērs
Ļaujiet funkciju F: R → R definēt ar F (x) = 10 / x
Funkcija ir definēta visiem reālajiem skaitļiem, izņemot {0}, kam ir nenoteiktība (To nevar dalīt ar nulli) .
Kad atkarīgais mainīgais tuvojas nullei no kreisās puses, tas iegūst ļoti lielas negatīvās vērtības, un tūlīt pēc nulles atkarīgā mainīgā lielumi iegūst lielus pozitīvus skaitļus.
Šis traucējums rada izteiksmi F: R → R, ko nosaka F (x) = 10 / x
Neveiciet injekcijas.
Kā redzams iepriekšējos piemēros, vērtību izslēgšana domēnā kalpo, lai "labotu" šīs nenoteiktības. Mēs turpinām nulli izslēgt no domēna, atstājot sākuma un beigu kopas šādas:
R - {0} → R
Kur R - {0} simbolizē reālijas, izņemot komplektu, kura vienīgais elements ir nulle.
Tādā veidā izteiciens F: R - {0} → R, ko nosaka F (x) = 10 / x, ir injektīvs.
5. piemērs
Ļaujiet funkciju F: → R definēt ar F (x) = Sen (x)
Intervālā sinusa funkcija mainās tā rezultātos starp nulli un vienu.
Avots: Autors.
Kā redzams diagrammā. Tas sākas no nulles pie x = 0 un pēc tam sasniedz maksimumu pie x = π / 2. Pēc x = π / 2 vērtības sāk atkārtoties, līdz x = π atgriežas pie nulles . Tādā veidā ir zināms, ka F (x) = Sen (x) nav ievadīts intervālā.
Pētot funkcijas F (x) = Sen (x) grafiku, tiek novēroti intervāli, kur līknes uzvedība pielāgojas injekcijas kritērijiem. Piemēram, intervāls
Ja funkcija mainās, rezultāts ir no 1 līdz -1, neatkārtojot vērtības atkarīgajā mainīgajā.
Tādā veidā funkcija F: → R, ko definē F (x) = Sen (x). Tas ir injicējams
6. piemērs
Pārbaudiet, vai funkcija F: → R definēta ar F (x) = Tan (x)
F: → R definēts ar F (x) = Cos (x + 1)
F: R → R, ko definē ar līniju F (x) = 7x + 2
Atsauces
- Ievads loģikā un kritiskajā domāšanā. Merrilee H. Salmon. Pitsburgas Universitāte
- Matemātiskās analīzes problēmas. Pjotrs Bilers, Alfrēds Vitkovskis. Vroclavas universitāte. Polija.
- Abstraktās analīzes elementi. Mícheál O'Searcoid PhD. Matemātikas katedra. Dublinas Universitātes koledža, Beldfīlda, Dublinda 4.
- Ievads loģikā un deduktīvo zinātņu metodoloģijā. Alfrēds Tarskis, Ņujorkas Oksforda. Oksfordas Universitātes prese.
- Matemātiskās analīzes principi. Enrique Linés Escardó. Redakcijas redakcija S. A 1991. Barselona, Spānija.