- Kā jūs veicat bijektīvo funkciju?
- Funkcijas injektivitāte
- Funkcijas Surjektivitāte
- Funkciju kondicionēšana
- Piemēri: atrisināti vingrinājumi
- 1. vingrinājums
- 2. vingrinājums
- 3. vingrinājums
- 4. vingrinājums
- Piedāvātie vingrinājumi
- Atsauces
Bijective funkcija ir tāds, kas atbilst dubultu nosacījumu, ka tā injective un surjective . Tas ir, visiem domēna elementiem kodomenā ir viens attēls, un, savukārt, kodomens ir vienāds ar funkcijas pakāpi ( R f ).
Tas tiek izpildīts, apsverot individuālas attiecības starp domēna un kodēna elementiem. Vienkāršs piemērs ir funkcija F: R → R, ko definē ar līniju F (x) = x
Avots: Autors
Tiek novērots, ka katrai domēna vai sākuma kopas vērtībai (abi termini ir vienādi piemērojami) kodomenā vai ierašanās komplektā ir viens attēls. Turklāt kododinamā elementā nav tikai attēla.
Tādā veidā F: R → R, ko definē ar līniju F (x) = x ir bij
Kā jūs veicat bijektīvo funkciju?
Lai uz to atbildētu, ir jābūt skaidrībai par jēdzieniem, kas saistīti ar funkcijas iesmidzināšanu un pārspīlēšanu , kā arī par funkciju kondicionēšanas kritērijiem, lai tos pielāgotu prasībām.
Funkcijas injektivitāte
Funkcija ir injektīva, ja katrs tās domēna elements ir saistīts ar vienu kododēna elementu. Kododēna elements var būt tikai viena domēna elementa attēls, šādā veidā atkarīgā mainīgā vērtības nevar atkārtot.
Lai uzskatītu par injekcijas funkciju, jāievēro šādi nosacījumi:
1 x 1 ≠ x 2 ⇒ F (x 1 ) ≠ F (x 2 )
Funkcijas Surjektivitāte
Funkciju klasificē kā surjektīvu, ja katrs tās kodēna elements ir vismaz viena domēna elementa attēls.
Lai uzskatītu par funkciju surjektīvu , jāizpilda šādi nosacījumi:
Ļaujiet F: D f → C f
∀ b ℮ C f E a ℮ D f / F (a) = b
Tas ir algebrisks veids, kā noteikt, ka katram “b”, kas pieder C f , ir “a”, kas pieder D f tā, ka funkcija, kas novērtēta ar “a”, ir vienāda ar “b”.
Funkciju kondicionēšana
Dažreiz funkciju, kas nav bijektīva, var pakļaut noteiktiem nosacījumiem. Šie jaunie nosacījumi var padarīt to par bijektīvu funkciju. Ir spēkā visa veida funkcijas domēna un kodēna modifikācijas, ja mērķis ir atbilstošās attiecībās izpildīt injekcijas un surjektivitātes īpašības.
Piemēri: atrisināti vingrinājumi
1. vingrinājums
Ļaujiet funkciju F: R → R definēt ar līniju F (x) = 5x +1
A:
Tiek novērots, ka katrai domēna vērtībai kodomenā ir attēls. Šis attēls ir unikāls, kas padara F par injektīvu . Tādā pašā veidā mēs novērojam, ka funkcijas kodēns ir vienāds ar tās rangu. Tādējādi izpildot surjektivitātes nosacījumu .
Būdami vienlaikus injekcijas un surjektīvi, mēs varam secināt
F: R → R, ko definē ar līniju F (x) = 5x +1 ir bijektīva funkcija.
Tas attiecas uz visām lineārajām funkcijām (funkcijām, kuru mainīgā augstākā pakāpe ir viena).
2. vingrinājums
Ļaujiet funkciju F: R → R definēt ar F (x) = 3x 2 - 2
Zīmējot horizontālu līniju, tiek novērots, ka grafiks ir atrodams vairāk nekā vienā gadījumā. Tāpēc funkcija F nav injicējama, un tāpēc tā nebūs biji aktīva , kamēr tā ir definēta R → R
Līdzīgi ir ar kodēna vērtībām, kas nav neviena domēna elementa attēli. Tādēļ šī funkcija nav surjektīva, un tā ir arī pelnījusi kondicionēt ierašanās komplektu.
Mēs turpinām funkcijas domēna un kodēna nosacījumu
F: →
Ja tiek novērots, ka jaunais domēns aptver vērtības no nulles līdz pozitīvai bezgalībai. Izvairīšanās no tādu vērtību atkārtošanās, kas ietekmē injicējamību.
Tāpat kododēns ir modificēts, skaitot no "-2" līdz pozitīvai bezgalībai, izslēdzot no kodēna vērtības, kas neatbilda nevienam domēna elementam
Tādā veidā var pārliecināties, ka F : → noteikts ar F (x) = 3x 2 - 2
Tas ir bijektīvs
3. vingrinājums
Ļaujiet funkciju F: R → R definēt ar F (x) = Sen (x)
Intervālā sinusa funkcija mainās tā rezultātos starp nulli un vienu.
Avots: Autors.
Funkcija F neatbilst injekcijas un surjektivitātes kritērijiem, jo atkarīgā mainīgā lielumus atkārto ik pēc π intervāla. Turklāt kodēna vārdi ārpus intervāla nav neviena domēna elementa attēls.
Izpētot funkcijas F (x) = Sen (x) grafiku, tiek novēroti intervāli, kur līknes uzvedība atbilst bijektivitātes kritērijiem . Piemēram, intervāls D f = domēnam. Un C f = kodēnam.
Ja funkcija mainās, rezultāts ir no 1 līdz -1, neatkārtojot vērtības atkarīgajā mainīgajā. Un tajā pašā laikā kodēns ir vienāds ar vērtībām, kuras pieņem izteiksme Sen (x)
Tādējādi funkcija F: → definēta ar F (x) = Sen (x). Tas ir bijektīvs
4. vingrinājums
Norādiet nepieciešamos nosacījumus D f un C f . Tātad izteiciens
F (x) = -x 2 ir bij.
Avots: Autors
Rezultātu atkārtošanos novēro, kad mainīgais iegūst pretējas vērtības:
F (2) = F (-2) = -4
F (3) = F (-3) = -9
F (4) = F (-4) = -16
Domēns ir kondicionēts, ierobežojot to līdz reālās līnijas labajai pusei.
D f =
Tādā pašā veidā tiek novērots, ka šīs funkcijas diapazons ir intervāls, kurš, darbojoties kā kodēns, atbilst surjektivitātes nosacījumiem.
Tādā veidā mēs to varam secināt
Izteiciens F: → noteikts ar F (x) = -x 2 Tas ir bijektīvs
Piedāvātie vingrinājumi
Pārbaudiet, vai šīm funkcijām ir bijektīva:
F: → R noteikts ar F (x) = 5 ct (x)
F: → R definēts ar F (x) = Cos (x - 3)
F: R → R, ko definē ar līniju F (x) = -5x + 4
Atsauces
- Ievads loģikā un kritiskajā domāšanā. Merrilee H. Salmon. Pitsburgas Universitāte
- Matemātiskās analīzes problēmas. Pjotrs Bilers, Alfrēds Vitkovskis. Vroclavas universitāte. Polija.
- Abstraktās analīzes elementi. Mícheál O'Searcoid PhD. Matemātikas katedra. Dublinas Universitātes koledža, Beldfīlda, Dublinda 4
- Ievads loģikā un deduktīvo zinātņu metodoloģijā. Alfrēds Tarskis, Ņujorkas Oksforda. Oksfordas Universitātes prese.
- Matemātiskās analīzes principi. Enrique Linés Escardó. Redakcijas redakcija S. A 1991. Barselona, Spānija.