FAKTORINGS: METODES UN PIEMĒRI - MATEMĀTIKA - 2025

Factorization ir metode, ar kuru polinomu izsaka reizināšanas faktoru, kas var būt numuriem vai burtiem, vai abus. Lai faktorētu, terminiem raksturīgie faktori tiek grupēti kopā, un šādā veidā polinoms tiek sadalīts vairākos polinomos.

Tādējādi, reizinot faktorus, rezultāts ir sākotnējais polinoms. Faktorings ir ļoti noderīga metode, ja jums ir algebriskas izteiksmes, jo to var pārveidot par vairāku vienkāršu terminu reizināšanu; piemēram: 2a ² + 2ab = 2a _* (a + b).

Dažos gadījumos polinomu nevar ņemt vērā, jo starp tā terminiem nav kopīga faktora; tādējādi šīs algebriskās izteiksmes ir dalāmas tikai pašas par sevi un 1. Piemēram: x + y + z.

Algebriskā izteiksmē kopējais faktors ir to veidojošo terminu lielākais kopīgais dalītājs.

Faktoringa metodes

Pastāv vairākas faktoringa metodes, kuras tiek izmantotas atkarībā no gadījuma. Daži no tiem ir šādi:

Faktorings pēc kopējā faktora

Šajā metodē tiek identificēti kopējie faktori; tas ir, tie, kas atkārtojas izteiksmes izteiksmē. Pēc tam tiek piemērots sadalīšanas īpašums, tiek ņemts vislielākais kopējais dalītājs un pabeigta faktorēšana.

Citiem vārdiem sakot, tiek noteikts kopējais izteiksmes faktors, un katrs termins ar to tiek dalīts; Iegūtie termini tiks reizināti ar lielāko kopējo dalītāju, lai izteiktu faktorizāciju.

1. piemērs

Faktors (b ² x) + (b ² y).

Risinājums

Vispirms atrodiet katra termina kopējo koeficientu, kas šajā gadījumā ir b ² , un tad sadaliet terminus ar kopējo koeficientu šādi:

(b ² x) / b ² = x

(b ² y) / b ² = y.

Faktorizāciju izsaka, reizinot kopējo koeficientu ar iegūtajiem terminiem:

(b ² x) + (b ² y) = b ² (x + y).

2. piemērs

Faktors (2a ² b ³ ) + (3ab ² ).

Risinājums

Šajā gadījumā mums ir divi faktori, kas katrā terminā atkārtojas, kas ir "a" un "b" un kas tiek pacelti pie varas. Lai tos ņemtu vērā, divi termini vispirms tiek sadalīti garā formā:

2 _* a _* a _* b _* b _* b + 3a _* b _* b

Var redzēt, ka koeficients "a" tiek atkārtots tikai vienu reizi otrajā termiņā, un koeficients "b" šajā gadījumā tiek atkārtots divreiz; tātad pirmajā termiņā paliek tikai 2, koeficients "a" un koeficients "b"; savukārt otrajā termiņā paliek tikai 3.

Tāpēc "a" un "b" atkārtošanās reizes tiek uzrakstītas un reizinātas ar faktoriem, kas paliek pāri no katra termina, kā parādīts attēlā:

Grupēšanas faktorings

Tā kā ne visos gadījumos polinoma lielākais kopējais dalītājs ir skaidri izteikts, ir jāveic citas darbības, lai varētu pārrakstīt polinomu un tādējādi faktoru.

Viens no šiem soļiem ir polinoma terminus sagrupēt vairākās grupās un pēc tam izmantot kopējā koeficienta metodi.

1. piemērs

Faktors ac + bc + ad + bd.

Risinājums

Ir 4 faktori, kur divi ir kopīgi: pirmajā terminā tas ir "c", bet otrajā - "d". Tādā veidā abi termini tiek grupēti un atdalīti:

(ac + bc) + (ad + bd).

Tagad ir iespējams izmantot kopējā koeficienta metodi, sadalot katru terminu ar kopējo koeficientu un pēc tam reizinot šo kopējo koeficientu ar iegūtajiem terminiem, piemēram:

(ac + bc) / c = a + b

(ad + bd) / d = a + b

c (a + b) + d (a + b).

Tagad mēs iegūstam binomu, kas ir kopīgs abiem terminiem. Lai to faktorētu, to reizina ar atlikušajiem faktoriem; tādā veidā jums:

ac + bc + ad + bd = (c + d) _* (a + b).

Pārbaudes faktorings

Šo metodi izmanto kvadrātisko polinomu faktoriem, ko sauc arī par trinomāliem; tas ir, tie, kas strukturēti kā ax ² ± bx + c, kur “a” vērtība atšķiras no 1. Šo metodi izmanto arī tad, ja trinomāls ir formā x ² ± bx + c un “a” vērtība = 1.

1. piemērs

Faktors x ² + 5x + 6.

Risinājums

Mums ir kvadrātu trinoms formā x ² ± bx + c. Lai to ņemtu vērā, vispirms jāatrod divi skaitļi, kas, reizinot, iegūst «c» vērtību (tas ir, 6) un to summa ir vienāda ar koeficientu «b», kas ir 5. Šie skaitļi ir 2 un 3. :

2 _* 3 = 6

2 + 3 = 5.

Tādā veidā izteiciens tiek vienkāršots šādi:

(x ² + 2x) + (3x + 6)

Katrs termins tiek ņemts vērā:

- Par (x ² + 2x) pieņem parasto terminu: x (x + 2)

- priekš (3x + 6) = 3 (x + 2)

Tādējādi izteiciens ir:

x (x +2) + 3 (x +2).

Tā kā mums ir kopīgs binom, lai samazinātu izteiksmi, mēs to reizinām ar atlikušajiem terminiem, un mums:

x ² + 5x + 6 = (x + 2) _* (x + 3).

2. piemērs

Faktors 4a ² + 12a + 9 = 0.

Risinājums

Lai iegūtu koeficientu, mums ir kvadrāts trinoms no formas ax ² ± bx + cy, reiziniet visu izteiksmi ar koeficientu x ² ; šajā gadījumā 4.

4a ² + 12a +9 = 0

4a ² (4) + 12a (4) + 9 (4) = 0 (4)

16 a ² + 12a (4) + 36 = 0

4 ² a ² + 12a (4) + 36 = 0

Tagad mums jāatrod divi skaitļi, kuri, reizinot ar otru, iegūst "c" vērtību (kas ir 36) un kuri, pievienojot, rezultātā dod termina "a" koeficientu, kas ir 6.

6 _* 6 = 36

6 + 6 = 12.

Šādi izteicienu pārraksta, ņemot vērā, ka 4 ² a ² = 4a _* 4a. Tāpēc sadalāmais īpašums attiecas uz katru termiņu:

(4a + 6) _* (4a + 6).

Visbeidzot, izteiksmi dala ar koeficientu ² ; tas ir, 4:

(4. + 6) _* (4. + 6) / 4 = ((4. + 6) / 2) _* ((4. + 6) / 2).

Izteiciens ir šāds:

4a ² + 12a +9 = (2a +3) _* (2a + 3).

Faktorings ar ievērojamiem izstrādājumiem

Ir gadījumi, kad, lai pilnībā ņemtu vērā polinomus ar iepriekšminētajām metodēm, tas kļūst par ļoti ilgu procesu.

Tāpēc izteiksmi var izveidot ar ievērojamo produktu formulām, un tādējādi process kļūst vienkāršāks. Starp visplašāk izmantotajiem ievērojamākajiem izstrādājumiem ir:

- Divu kvadrātu starpība: (a ² - b ² ) = (a - b) _* (a + b)

- Perfekts summas kvadrāts: a ² + 2ab + b ² = (a + b) ²

- Perfekts starpības kvadrāts: a ² - 2ab + b ² = (a - b) ²

- Divu kubu starpība: a ³ - b ³ = (ab) _* (a ² + ab + b ² )

- Divu kubu summa: a ³ - b ³ = (a + b) _* (a ² - ab + b ² )

1. piemērs

Faktors (5 ² - x ² )

Risinājums

Šajā gadījumā ir atšķirība starp diviem kvadrātiem; tāpēc tiek piemērota ievērojamā produkta formula:

(a ² - b ² ) = (a - b) _* (a + b)

(5 ² - x ² ) = (5 - x) _* (5 + x)

2. piemērs

Faktors 16x ² + 40x + 25 ²

Risinājums

Šajā gadījumā jums ir ideāls summas kvadrāts, jo jūs varat identificēt divus vārdus kvadrātā, un paliekošais termins ir rezultāts, reizinot tos ar pirmā termina kvadrātsakni un ar otrā termina kvadrātsakni.

a ² + 2ab + b ² = (a + b) ²

Lai ņemtu vērā tikai pirmā un trešā vārda kvadrātsaknes, tiek aprēķinātas:

√ (16x ² ) = 4x

√ (25 ² ) = 5.

Tad abus iegūtos terminus izsaka ar operācijas zīmi, un visu polinomu sadala kvadrātā:

16x ² + 40x + 25 ² = (4x + 5) ² .

3. piemērs

Faktors 27a ³ - b ³

Risinājums

Izteiciens apzīmē atņemšanu, kurā divi faktori tiek sagriezti kubiciņos. Lai tos ņemtu vērā, tiek piemērota formula kubu starpības ievērojamajam produktam, kas ir:

a ³ - b ³ = (ab) _* (a ² + ab + b ² )

Tādējādi koeficientam tiek ņemta katra binomināla termina kuba sakne un reizināta ar pirmā termina kvadrātu, kam pieskaitīts pirmā reizinājums ar otro terminu, plus otrais termins kvadrātā.

27.a ³ - b ³

³√ (27a ³ ) = 3a

³√ (-b ³ ) = -b

27.a ³ - b ³ = (3a - b) _*

27.a ³ - b ³ = (3a - b) _* (9a ² + 3ab + b ² )

Faktorings ar Ruffini likumu

Šo metodi izmanto, ja polinoms ir lielāks par diviem, lai vienkāršotu izteiksmi vairākiem zemākas pakāpes polinomiem.

1. piemērs

Faktors Q (x) = x ⁴ - 9x ² + 4x + 12

Risinājums

Vispirms meklējam skaitļus, kas dalās ar 12, kas ir patstāvīgais termins; Tie ir ± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 6 un ± 12.

Tad x tiek aizstāts ar šīm vērtībām, sākot no zemākās līdz augstākajai, un tādējādi tiek noteikts, ar kuru no vērtībām dalījums būs precīzs; tas ir, atlikušajai daļai jābūt 0:

x = -1

Q (-1) = (-1) ⁴ - 9 (-1) ² + 4 (-1) + 12 = 0.

x = 1

Q (1) = 1 ⁴ - 9 (1) ² + 4 (1) + 12 = 8 ≠ 0.

x = 2

Q (2) = 2 ⁴ - 9 (2) ² + 4 (2) + 12 = 0.

Un tā tālāk par katru dalītāju. Šajā gadījumā atrastie koeficienti ir x = -1 un x = 2.

Tagad tiek piemērota Ruffini metode, saskaņā ar kuru izteiksmes koeficienti tiks dalīti ar atrastajiem faktoriem, lai dalījums būtu precīzs. Polinomu termini ir sakārtoti no augstākā līdz zemākajam eksponentam; ja secībā trūkst termina ar nākamo pakāpi, tā vietā tiek ievietots 0.

Koeficienti atrodas shēmā, kā parādīts nākamajā attēlā.

Pirmais koeficients tiek pazemināts un reizināts ar dalītāju. Šajā gadījumā pirmais dalītājs ir -1, un rezultāts tiek ievietots nākamajā kolonnā. Tad koeficienta vērtību ar iegūto rezultātu pievieno vertikāli un rezultātu novieto zemāk. Tādā veidā process tiek atkārtots līdz pēdējai kolonnai.

Tad to pašu procedūru atkārto vēlreiz, bet ar otro dalītāju (kas ir 2), jo izteiksmi joprojām var vienkāršot.

Tādējādi katrai iegūtai saknei polinomam būs termins (x - a), kur "a" ir saknes vērtība:

(x - (-1)) _* (x - 2) = (x + 1) _* (x - 2)

No otras puses, šie termini jāreizina ar Ruffini noteikuma 1: 1 un -6 atlikušo daļu, kas ir pakāpi raksturojoši faktori. Tādā veidā veidojas izteiksme: (x ² + x - 6).

Polinoma faktorizācijas rezultāta iegūšana ar Ruffini metodi ir šāda:

x ⁴ - 9x ² + 4x + 12 = (x + 1) _* (x - 2) _* (x ² + x - 6)

Visbeidzot, 2. pakāpes polinomu, kas parādās iepriekšējā izteiksmē, var pārrakstīt kā (x + 3) (x-2). Tāpēc galīgā faktorizācija ir šāda:

x ⁴ - 9x ² + 4x + 12 = (x + 1) _* (x - 2) _* (x + 3) _* (x-2).

Atsauces

1. Artūrs Gudmens, LH (1996). Algebra un trigonometrija ar analītisko ģeometriju. Pīrsona izglītība.
2. J, V. (2014). Kā iemācīt bērniem par daudzskaitļa faktoringu.
3. Manuels Morillo, AS (sf). Matemātikas pamati ar lietojumprogrammām.
4. Roelse, PL (1997). Polinomu faktorizācijas lineārās metodes ierobežotajos laukos: teorija un ieviešana. Esenes Universitāte.
5. Šārpe, D. (1987). Gredzeni un faktorizācija.