KOPĪGS FAKTORS, APVIENOJOT TERMINUS: PIEMĒRI, VINGRINĀJUMI - MATEMĀTIKA - 2025

Kopējs faktors, sagrupējot terminu ir algebriskā procedūra, kas ļauj jums rakstīt kādu algebriskas izteiksmes formā faktoriem. Lai sasniegtu šo mērķi, vispirms pareizi jāsagrupē izteiksme un jāņem vērā, ka katrai šādi izveidotajai grupai faktiski ir kopīgs faktors.

Pareiza tehnikas pielietošana prasa zināmu praksi, taču ne velti to apgūstat. Vispirms apskatīsim ilustratīvu piemēru, kas aprakstīts soli pa solim. Tad lasītājs var izmantot to, ko viņi ir iemācījušies, katrā no vingrinājumiem, kas parādīsies vēlāk.

1. attēls. Kopīga faktora ņemšana, grupējot terminus, atvieglo darbu ar algebriskajām izteiksmēm. Avots: Pixabay.

Piemēram, pieņemsim, ka jums jāņem vērā šāda izteiksme:

2x ² + 2xy - 3zx - 3zy

Šī algebriskā izteiksme sastāv no 4 monomāliem vai terminiem, atdalītiem ar + un - zīmēm, proti:

2x ² , 2xy, -3zx, -3zy

Cieši aplūkojot, x ir kopīgs pirmajiem trim, bet ne pēdējam, savukārt y ir kopīgs otrajam un ceturtajam, un z ir kopīgs trešajam un ceturtajam.

Tātad principā četriem terminiem vienlaikus nav kopīgu faktoru, taču, ja tie ir sagrupēti, kā parādīsim nākamajā sadaļā, iespējams, ka parādīsies viens, kas palīdz uzrakstīt izteiksmi kā divu vai vairāku produktu reizinājumu. faktori.

Piemēri

Faktora izteiksme: 2x ² + 2xy - 3zx - 3zy

1. solis : grupa

2x ² + 2xy - 3zx - 3zy = (2x ² + 2xy) + (-3zx - 3zy)

2. solis: atrodiet katras grupas kopējo faktoru

2x ² + 2xy - 3zx - 3zy =

= (2x ² + 2xy) - (3zx + 3zy) =

= 2x (x + y) - 3z (x + y)

Es mportant : negatīvais zīme ir arī kopīgs faktors, kas ir jāņem vērā.

Tagad ņemiet vērā, ka iekavas (x + y) tiek atkārtotas divos nosacījumos, kas iegūti, grupējot. Tas ir kopīgais faktors, kas tika meklēts.

3. solis: ņemt vērā visu izteiksmi

2x ² + 2xy - 3zx - 3zy = (x + y) (2x - 3Z)

Ar iepriekšējo rezultātu ir sasniegts faktoringa mērķis, kas nav nekas cits kā pārveidot algebrisko izteiksmi, kas balstīta uz terminu saskaitīšanu un atņemšanu, divu vai vairāku faktoru reizinājumā, mūsu piemērā: (x + y) un (2x - 3z).

Svarīgi jautājumi par kopējo faktoru, grupējot

1. jautājums : kā uzzināt, ka rezultāts ir pareizs?

Atbilde : Izplatīšanas īpašība tiek piemērota iegūtajam rezultātam, un pēc samazināšanas un vienkāršošanas šādi iegūtajam izteicienam jāatbilst oriģinālam, ja nē, tad ir kļūda.

Iepriekšējā piemērā mēs strādājam pretēji rezultātam, lai pārbaudītu, vai tas ir pareizs:

(x + y) (2x - 3z) = 2x ² -3zx + 2xy - 3zy

Tā kā papildinājumu secība nemaina summu, pēc izplatīšanas īpašuma piemērošanas tiek atgriezti visi sākotnējie noteikumi, ieskaitot zīmes, tāpēc faktorizācija ir pareiza.

2. jautājums: vai to varēja grupēt citā veidā?

Atbilde: ir algebriski izteicieni, kas ļauj vairāk nekā vienu veidu grupēt, bet citi - ne. Izvēlētajā piemērā lasītājs pats var izmēģināt citas iespējas, piemēram, grupēt šādi:

2x ² + 2xy - 3zx - 3zy = (2x ² - 3zx) + (2xy - 3zy)

Un jūs varat pārbaudīt, vai rezultāts ir tāds pats kā šeit iegūtais. Optimālas grupas atrašana ir prakses jautājums.

3. jautājums: Kāpēc no algebriskās izteiksmes ir nepieciešams ņemt kopēju faktoru?

Atbilde : jo ir lietojumprogrammas, kurās faktiskā izteiksme atvieglo aprēķinus. Piemēram, pieņemsim, ka vēlaties iestatīt 2x ² + 2xy - 3zx - 3zy vienādu ar 0. Kādas ir iespējas?

Lai atbildētu uz šo jautājumu, faktiskā versija ir daudz noderīgāka nekā sākotnējā izstrāde. Tas ir teikts šādi:

(x + y) (2x - 3z) = 0

Viena iespēja, ka izteiksmes vērtība ir 0, ir tāda, ka x = -y, neatkarīgi no z vērtības. Un otrs ir tas, ka x = (3/2) z, neatkarīgi no y vērtības.

Vingrinājumi

- 1. vingrinājums

Izdaliet šādas izteiksmes kopējo faktoru, grupējot terminus:

ass + ay + bx + pa

Risinājums

Pirmie divi ir sagrupēti ar kopējo koeficientu "a" un pēdējie divi ar kopējo koeficientu "b":

ass + ay + bx + ar = a (x + y) + b (x + y)

Kad tas ir izdarīts, tiek atklāts jauns kopīgais faktors, kas ir (x + y), lai:

ax + ay + bx + by = a (x + y) + b (x + y) = (x + y) (a + b)

Vēl viens veids, kā grupēties

Šis izteiciens atbalsta citu veidu grupēšanu. Let's redzēt, kas notiek, ja termini tiek pārkārtoti un tiek izveidota grupa ar tiem, kas satur x, un vēl viens ar tiem, kas satur y:

ax + ay + bx + by = ax + bx + ay + by = x (a + b) + y (a + b)

Tādā veidā jaunais kopīgais koeficients ir (a + b):

ax + ay + bx + by = ax + bx + ay + by = x (a + b) + y (a + b) = (x + y) (a + b)

Kas noved pie tāda paša rezultāta no pirmās pārbaudītās grupas.

- 2. vingrinājums

Šāda algebriskā izteiksme ir jāraksta kā divu faktoru reizinājums:

3a ³ - 3a ² b + 9ab ² -a ² + ab-3b ²

Risinājums

Šajā izteicienā ir 6 termini. Mēģināsim grupēt pirmo un ceturto, otro un trešo un visbeidzot piekto un sesto:

3a ³ - 3a ² b + 9ab ² -a ² + ab-3b ² = (3a ³ -a ² ) + (- 3a ² b + 9ab ² ) + (ab-3b ² )

Tagad katra iekava ir ņemta vērā:

= (3a ³ -a ² ) + (- 3a ² b + 9ab ² ) + (ab -3b ² ) = a ² (3a - 1) + 3ab (3b – a) + b (a-3b)

No pirmā acu uzmetiena šķiet, ka situācija ir bijusi sarežģīta, taču lasītāju nevajadzētu atturēt, jo mēs gatavojamies pārrakstīt pēdējo terminu:

a ² (3a - 1) + 3ab (3b – a) + b (a-3b) = a ² (3a - 1) + 3ab (3b-a) - b (3b-a)

Pēdējiem diviem terminiem tagad ir kopīgs faktors, kas ir (3b-a), tāpēc tos var ņemt vērā. Ir ļoti svarīgi neaizmirst par pirmo terminu a ² (3a - 1), kam jāturpina visu pievienot kā papildinājumu, pat ja jūs ar to nedarbojaties:

a ² (3a - 1) + 3ab (3b-a) - b (3b-a) = a ² (3a - 1) + (3b-a) (3ab-b)

Izteiciens ir samazināts līdz diviem terminiem, un pēdējā tiek atklāts jauns kopīgais faktors, kas ir "b". Tagad tas paliek:

a ² (3a-1) + (3b-a) (3ab-b) = a ² (3a-1) + b (3b-a) (3a-1)

Nākamais parādītais faktors ir 3a - 1:

a ² (3a-1) + b (3b-a) (3a-1) = (3a-1)

Vai arī, ja vēlaties, bez iekavām:

(3a – 1) = (3a – 1) (a ² –ab + 3b ² )

Vai lasītājs var atrast citu veidu grupēšanai, kas noved pie tā paša rezultāta?

2. attēls. Piedāvātie faktoringa vingrinājumi. Avots: F. Zapata.

Atsauces

1. Baldor, A. 1974. Elementārā algebra. Kultūras Venezolana SA
2. Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice zāle.
3. Galvenie faktoringa gadījumi. Atgūts no: julioprofe.net.
4. UNAM. Matemātikas pamati: faktorizācija, grupējot terminus. Grāmatvedības un administrācijas fakultāte.
5. Zils, D. 1984. Algebra un trigonometrija. MacGraw Hill.