ENEAGONS: ĪPAŠĪBAS, KĀ IZVEIDOT ENEGONU, PIEMĒRI - MATEMĀTIKA

Enegon ir daudzstūris ar deviņām pusēm un deviņiem virsotnes, kas var būt vai var nebūt pareizi. Nosaukums eneágono cēlies no grieķu valodas un sastāv no grieķu vārdiem ennea (deviņi) un gonon (leņķis).

Alternatīvs deviņpusējā daudzstūra nosaukums ir nonagon, kas cēlies no latīņu valodas vārda nonus (deviņi) un gonon (virsotne). No otras puses, ja enegona malas vai leņķi ir savstarpēji nevienlīdzīgi, tad jums ir neregulārs eneagons. Ja, no otras puses, visas deviņas enegona malas un deviņi leņķi ir vienādi, tad tas ir parasts eneagons.

1. attēls. Parastais un neregulārais eneagons. (Pašu izstrādāts)

Eneagona īpašības

Daudzstūrim ar n malām tā iekšējo leņķu summa ir:

(n - 2) * 180º

Enegonā tas būtu n = 9, tā iekšējo leņķu summa ir:

Sa = (9 - 2) * 180º = 7 * 180º = 1260º

Jebkurā daudzstūrī diagonāļu skaits ir:

D = n (n - 3) / 2, un enegona gadījumā, tā kā n = 9, tad mums ir D = 27.

Regulārs enegons

Parastajā egonā vai nonagonā ir deviņi (9) iekšējie leņķi ar vienādu izmēru, tāpēc katrs leņķis mēra vienu devīto daļu no iekšējo leņķu kopsummas.

Enegona iekšējo leņķu lielums ir 1260º / 9 = 140º.

2. attēls. Parasta eneagona apotēma, rādiuss, malas, leņķi un virsotnes. (Pašu izstrādāts)

Lai iegūtu formulu parastā enegona laukumam ar malu d, ir ērti izgatavot dažas palīgkonstrukcijas, piemēram, tās, kas parādītas 2. attēlā.

O centru atrod, izsekojot divu blakus esošo pusi bisektoriem. O centrs ir vienādā attālumā no virsotnēm.

Garuma rādiuss r ir segments no centra O līdz enegona virsotnei. 2. attēlā parādīts r rādiuss OD un OE garumā r.

Apoteēma ir segments, kas iet no centra uz enegona vienas puses viduspunktu. Piemēram, OV ir apotēma, kuras garums ir a.

Enegona apgabals, kas pazīstams ar sānu un apotem

Mēs ņemam vērā trīsstūri ODE 2. attēlā. Šī trīsstūra laukums ir tā bāzes DE un augstuma OV reizinājums ar 2:

ODE zona = (DE * OV) / 2 = (d * a) / 2

Tā kā egonā ir 9 vienāda laukuma trīsstūri, tiek secināts, ka to laukums ir:

Enegona laukums = (9/2) (d * a)

Zināma enegona laukums pusē

Ja ir zināms tikai enegona malu d garums, tad, lai piemērotu iepriekšējā iedaļas formulu, ir jāatrod apotemes garums.

Mēs uzskatām pareizo trīsstūri OJE J (sk. 2. attēlu). Ja tiek piemērota pieskares trigonometriskā attiecība, mēs iegūstam:

dzeltenbrūns (∡ OEJ) = OV / EJ.

Leņķis ∡OEJ = 140º / 2 = 70º, jo EO ir enegona iekšējā leņķa bisektors.

No otras puses, OV ir a.

Tad, tā kā J ir ED viduspunkts, izriet, ka EJ = d / 2.

Aizstājot iepriekšējās vērtības, kas mums ir:

dzeltenbrūns (70º) = a / (d / 2).

Tagad mēs notīrām apotemes garumu:

a = (d / 2) dzeltenbrūns (70º).

Iepriekšējo rezultātu aizstāj ar apgabala formulu, lai iegūtu:

Enegona laukums = (9/2) (d * a) = (9/2) (d * (d / 2) dzeltenbrūns (70º))

Visbeidzot, ir formula, kas ļauj iegūt regulārā enegona laukumu, ja ir zināms tikai tā malu garums d:

Enegona laukums = (9/4) d ² iedegums (70º) = 6,1818 d ²

Regulārā enegona perimetrs zināja tā pusi

Daudzstūra perimetrs ir tā malu summa. Enegona gadījumā, tā kā katra no pusēm mēra garumu d, tā perimetrs būs deviņu reižu summa d, tas ir:

Perimetrs = 9 d

Eneona perimetram bija zināms tā rādiuss

Ņemot vērā labo trīsstūri OJE J (sk. 2. attēlu), tiek piemērota trigonometriskā kosinusa attiecība:

cos (∡ OEJ) = EJ / OE = (d / 2) / r

Kur to iegūst no:

d = 2r cos (70º)

Aizstājot šo rezultātu, iegūstam perimetra formulu kā funkciju no enegona rādiusa:

Perimetrs = 9 d = 18 r cos (70º) = 6,1564 r

Kā izveidot parastu enegonu

1- Lai izveidotu parastu eneagonu ar lineālu un kompasu, sāciet no apkārtmēra c, kas apzīmē eneagonu. (skatīt 3. attēlu)

2- Divas perpendikulāras līnijas tiek novilktas caur apkārtmēru centru O. Tad vienas līnijas līniju A un B krustojumus apzīmē ar apkārtmēru.

3- Ar kompasu, kas centrējas uz krustojumu B un atveri, kas vienāda ar rādiusu BO, tiek novilkta loka, kas pārtrauc sākotnējo apkārtmēru C punktā.

3. attēls. Parastā enegona veidošanas darbības. (Pašu izstrādāts)

4- Iepriekšējais solis tiek atkārtots, bet, veidojot centru punktā A un rādiusā AO, tiek novilkta loka, kas pārtver apkārtmēru c punktā E.

5- Atverot maiņstrāvu un centrā A, tiek novilkta apkārtmēra loka. Līdzīgi ar BE un centra B atvēršanu tiek uzzīmēts vēl viens loks. Šo divu loka krustojums ir atzīmēts kā punkts G.

6- Izveidojot centru G un atverot GA, tiek novilkta loka, kas pārtver sekundāro asi (šajā gadījumā horizontāli) punktā H. Otrās ass krustojums ar sākotnējo apkārtmēru c ir apzīmēts kā I.

7- IH segmenta garums ir vienāds ar enegona malas garumu d.

8- Ar kompasa atvērumu IH = d secīgi tiek novilktas loka A rādiusa AJ, centra J rādiusa AK, centra K rādiusa KL un centra L rādiusa LP.

9 - Līdzīgi, sākot no A un no labās malas, tiek novilktas loka ar rādiusu IH = d, kas norāda punktus M, N, C un Q uz sākotnējā apkārtmēra c.

10. Visbeidzot tiek novilkti segmenti AJ, JK, KL, LP, AM, MN, NC, CQ un visbeidzot PB.

Jāatzīmē, ka konstrukcijas metode nav pilnīgi precīza, jo var pārliecināties, ka pēdējās malas PB ir par 0,7% garāka nekā otras puses. Līdz šim nav zināma 100% precīza būvniecības metode ar lineālu un kompasu.

Piemēri

Šeit ir daži izstrādāti piemēri.

1. piemērs

Mēs vēlamies izveidot regulāru egonu, kura malas ir 2 cm. Kādam rādiusam jābūt tā apkārtmēram, kas to apņem, lai, piemērojot iepriekš aprakstīto konstrukciju, iegūtu vēlamo rezultātu?

Iepriekšējā sadaļā tika aprēķināta formula, kas saista apvilktās apļa rādiusu r ar regulārā enega sānu d:

d = 2r cos (70º)

Atrisinot r no iepriekšējās izteiksmes, mums ir:

r = d / (2 cos (70º)) = 1,4619 * d

Iepriekšējā formulā aizstājot vērtību d = 2 cm, r rādiuss ir 2,92 cm.

2. piemērs

Kāds ir regulārā enegona laukums ar 2 cm malu?

Lai atbildētu uz šo jautājumu, mums jāatsaucas uz iepriekš parādīto formulu, kas ļauj mums atrast zināmā enegona laukumu pēc tā malas garuma d: