POLINOMU VIENĀDOJUMI (AR ATRISINĀTIEM VINGRINĀJUMIEM) - MATEMĀTIKA - 2025

Par polinoma vienādojumi ir paziņojums, kas paaugstina vienlīdzību divu izteiksmju vai biedriem, kur vismaz viens no nosacījumiem, kas padara veido katru pusi no vienlīdzības ir polinomi P (x). Šie vienādojumi tiek nosaukti atbilstoši to mainīgo pakāpei.

Parasti vienādojums ir apgalvojums, kas nosaka divu izteiksmju vienādību, ja vismaz vienā no tām ir nezināmi lielumi, kurus sauc par mainīgajiem vai nezināmajiem. Lai gan ir daudz veidu vienādojumu, tos parasti klasificē divos veidos: algebriskos un pārpasaulīgos.

Polinomu vienādojumi satur tikai algebriskus izteiksmes, kuru vienādojumā var būt iesaistīts viens vai vairāki nezināmi. Pēc eksponenta (pakāpes), kas viņiem ir, tos var klasificēt: pirmā pakāpe (lineārā), otrā pakāpe (kvadrātiskā), trešā pakāpe (kubiskā), ceturtā pakāpe (kvartālā), pakāpe, kas ir lielāka par vai vienāda ar piecām, un neracionāla.

raksturojums

Polinomu vienādojumi ir izteiksmes, kuras veido vienādība starp diviem polinomiem; tas ir, ar galīgo reizinājumu summu starp nezināmām vērtībām (mainīgie) un fiksētiem skaitļiem (koeficientiem), kur mainīgajiem var būt eksponenti, un to vērtība var būt pozitīvs vesels skaitlis, ieskaitot nulli.

Eksponenti nosaka vienādojuma pakāpi vai veidu. Apzīmējums izteiksmē ar augstāko eksponentu atspoguļos polinoma absolūto pakāpi.

Polinomu vienādojumus sauc arī par algebriskajiem vienādojumiem, to koeficienti var būt reālie vai sarežģītie skaitļi, un mainīgie lielumi ir nezināmi skaitļi, kas apzīmēti ar burtu, piemēram: "x".

Ja P (x) aizstājot mainīgā "x" vērtību, rezultāts ir vienāds ar nulli (0), tad tiek uzskatīts, ka šī vērtība atbilst vienādojumam (tas ir risinājums), un to parasti sauc par polinoma sakni.

Izstrādājot polinoma vienādojumu, jūs vēlaties atrast visas saknes vai risinājumus.

Veidi

Ir vairāki polinoma vienādojumu veidi, kas tiek diferencēti pēc mainīgo skaita un arī pēc to eksponenta pakāpes.

Tādējādi polinomu vienādojumus - ja tā pirmais termins ir polinoms, kam ir tikai viens nezināms, ņemot vērā, ka tā pakāpe var būt jebkurš naturāls skaitlis (n) un otrais termins ir nulle -, var izteikt šādi:

a _{n *} x ⁿ + a _{n-1 *} x ^n-1 +… + a _{1 *} x ¹ + a _{0 *} x ₀ = 0

Kur:

- _{n, n-1} un ₀ ir reāli koeficienti (numuri).

- a _n atšķiras no nulles.

- Eksponents n ir pozitīvs vesels skaitlis, kas apzīmē vienādojuma pakāpi.

- x ir mainīgais vai nezināmais, kas jāmeklē.

Polinomu vienādojuma absolūtā vai lielāka pakāpe ir eksponents ar visaugstāko vērtību starp visiem, kas veido polinomu; tādējādi vienādojumus klasificē šādi:

Pirmā klase

Pirmās pakāpes polinomu vienādojumi, kas pazīstami arī kā lineārie vienādojumi, ir tie, kuros pakāpe (lielākais eksponents) ir vienāda ar 1, polinoma forma ir P (x) = 0; y sastāv no lineāra un neatkarīga termina. Tas ir rakstīts šādi:

ass + b = 0.

Kur:

- a un b ir reālie skaitļi un a ≠ 0.

- cirvis ir lineārs termins.

- b ir patstāvīgs termins.

Piemēram, vienādojums 13x - 18 = 4x.

Lai atrisinātu lineāros vienādojumus, visi termini, kas satur nezināmo x, jāpārnes uz vienlīdzības pusi, un tiem, kuriem to nav, jāpāriet uz otru pusi, lai to atrisinātu un iegūtu risinājumu:

13x - 18 = 4x

13x = 4x + 18

13x - 4x = 18

9x = 18

x = 18 ÷ 9

x = 2.

Tādējādi dotajam vienādojumam ir tikai viens risinājums vai sakne, kas ir x = 2.

Otrā klase

Otrās pakāpes polinomu vienādojumi, kas pazīstami arī kā kvadrātvienādojumi, ir tādi, kuros pakāpe (lielākais eksponents) ir vienāda ar 2, polinoma forma ir P (x) = 0 un sastāv no kvadrātveida termina , viens lineārs un viens neatkarīgs. To izsaka šādi:

ass ² + bx + c = 0.

Kur:

- a, b un c ir reālie skaitļi un a ≠ 0.

- ass ² ir kvadrātiskais termins, un "a" ir kvadrātiskā termina koeficients.

- bx ir lineārais termins, un "b" ir lineārā termina koeficients.

- c ir patstāvīgais termins.

Šķīdinātājs

Parasti šāda veida vienādojumus atrisina, no x vienādojuma noņemot x, un to sauc par izšķirtspējīgu:

Tur (b ² - 4ac) tiek saukts par vienādojuma diskriminatoru, un šī izteiksme nosaka risinājumu skaitu, kādi vienādojumam var būt:

- Ja (b ² - 4ac) = 0, vienādojumam būs viens divkāršs risinājums; tas ir, tam būs divi vienādi risinājumi.

- Ja (b ² - 4ac)> 0, vienādojumam būs divi dažādi reālie risinājumi.

- Ja (b ² - 4ac) <0, vienādojumam nav risinājuma (tam būs divi dažādi kompleksi risinājumi).

Piemēram, mums ir vienādojums 4x ² + 10x - 6 = 0, lai to vispirms atrisinātu, identificētu terminus a, b un c un pēc tam aizstātu to formulā:

a = 4

b = 10

c = -6.

Pastāv gadījumi, kad otrās pakāpes polinoma vienādojumos nav visu trīs terminu, un tāpēc tos risina atšķirīgi:

- Gadījumā, ja kvadrātvienādojumiem nav lineāra termina (tas ir, b = 0), vienādojumu izsaka kā ax ² + c = 0. Lai to atrisinātu, atrisiniet x ² un katrā kvadrātsaknē pielieciet kvadrātsaknes. , atceroties, ka jāņem vērā divas iespējamās pazīmes, kas varētu būt nezināmas:

ass ² + c = 0.

x ² = - c ÷ a

Piemēram, 5 x ² - 20 = 0.

5 x ² = 20

x ² = 20 ÷ 5

x = ± √4

x = ± 2

x ₁ = 2.

x ₂ = -2.

- Kad kvadrātiskajam vienādojumam nav neatkarīga termina (tas ir, c = 0), vienādojumu izsaka kā ax ² + bx = 0. Lai to atrisinātu, jāņem kopējais nezināmā x koeficients pirmajā loceklī; Tā kā vienādojums ir vienāds ar nulli, ir taisnība, ka vismaz viens no faktoriem būs vienāds ar 0:

ass ² + bx = 0.

x (ax + b) = 0.

Tādējādi jums:

x = 0.

x = -b ÷ a.

Piemēram: mums ir vienādojums 5x ² + 30x = 0. Vispirms koeficients:

5x ² + 30x = 0

x (5x + 30) = 0.

Tiek ģenerēti divi faktori, kas ir xy (5x + 30). Tiek uzskatīts, ka viens no tiem būs vienāds ar nulli, bet otrs ir atrisināts:

x ₁ = 0.

5x + 30 = 0

5x = -30

x = -30 ÷ 5

x ₂ = -6.

Augstākā pakāpe

Augstākas pakāpes polinoma vienādojumi ir tie, kas iet no trešās pakāpes un kurus var izteikt vai atrisināt ar vispārīgu polinomu vienādojumu jebkurai pakāpei:

a _{n *} x ⁿ + a _{n-1 *} x ^n-1 +… + a _{1 *} x ¹ + a _{0 *} x ₀ = 0

To izmanto, jo vienādojums ar grādu, kas lielāks par diviem, ir polinoma faktoringa rezultāts; tas ir, to izsaka kā polinomu reizinājumu ar vienu vai lielāku pakāpi, bet bez reālām saknēm.

Šāda veida vienādojumi ir tieši, jo divu faktoru reizinājums būs vienāds ar nulli, ja kāds no faktoriem ir nulle (0); tāpēc jāatrisina katrs no polinomu vienādojumiem, katram to koeficientam iestatot vienādu ar nulli.

Piemēram, mums ir trešās pakāpes vienādojums (kubiskais) x ³ + x ² + 4x + 4 = 0. Lai to atrisinātu, jāveic šādas darbības:

- Termini ir sagrupēti:

x ³ + x ² + 4x + 4 = 0

(x ³ + x ² ) + (4x + 4) = 0.

- Biedri tiek sadalīti, lai iegūtu kopējo nezināmo faktoru:

x ² (x + 1) + 4 (x + 1) = 0

(x ² + 4) _* (x + 1) = 0.

- Šādā veidā iegūst divus faktorus, kuriem jābūt vienādiem ar nulli:

(x ² + 4) = 0

(x + 1) = 0.

- Var redzēt, ka koeficientam (x ² + 4) = 0 nebūs reāla risinājuma, savukārt koeficientam (x + 1) = 0 tas ir. Tātad risinājums ir:

(x + 1) = 0

x = -1.

Atrisināti vingrinājumi

Atrisiniet šādus vienādojumus:

Pirmais vingrinājums

(2x ² + 5) _* (x - 3) _* (1 + x) = 0.

Risinājums

Šajā gadījumā vienādojumu izsaka kā polinomu reizinājumu; tas ir, tas ir ņemts vērā. Lai to atrisinātu, katram koeficientam jābūt vienādam ar nulli:

- 2x ² + 5 = 0, tam nav risinājuma.

- x - 3 = 0

- x = 3.

- 1 + x = 0

- x = - 1.

Tādējādi dotajam vienādojumam ir divi risinājumi: x = 3 un x = -1.

Otrais vingrinājums

x ⁴ - 36 = 0.

Risinājums

Tika dots polinoms, kuru var pārrakstīt kā kvadrātu starpību, lai nonāktu pie ātrāka risinājuma. Tādējādi vienādojums ir šāds:

(x ² + 6) _* (x ² - 6) = 0.

Lai rastu vienādojumu risinājumu, abi koeficienti tiek iestatīti vienāds ar nulli:

(x ² + 6) = 0, tam nav risinājuma.

(x ² - 6) = 0

x ² = 6

x = ± √6.

Tādējādi sākotnējam vienādojumam ir divi risinājumi:

x = √6.

x = - √6.

Atsauces

1. Andres, T. (2010). Matemātikas olimpiādes tresure. Springers. Ņujorka.
2. Eņģelis, AR (2007). Elementārā algebra. Pīrsona izglītība ,.
3. Bērs, R. (2012). Lineārā algebra un projektīvā ģeometrija. Kurjeru korporācija.
4. Baldors, A. (1941). Algebra. Havana: kultūra.
5. Castaño, HF (2005). Matemātika pirms aprēķina. Medeljinas Universitāte.
6. Cristóbal Sánchez, MR (2000). Olimpiskās sagatavošanās matemātikas rokasgrāmata. Jaume I. universitāte
7. Kreemly Pérez, ML (1984). Augstākā algebra I
8. Massara, NC-L. (deviņpadsmit deviņdesmit pieci). Matemātika 3.