FUNKCIJAS DOMĒNS UN APAKŠDOMĒNS (AR PIEMĒRIEM) - MATEMĀTIKA - 2025

Funkcijas domēna un pretdomēna jēdzienus parasti māca aprēķinu kursos, kurus māca universitātes grāda sākumā.

Pirms domēna un kontradomena noteikšanas jums jāzina, kas ir funkcija. Funkcija f ir korespondences likums (noteikums), kas izveidots starp divu kopu elementiem.

Komplektu, no kura tiek izvēlēti elementi, sauc par funkcijas domēnu, un kopu, uz kuru šie elementi tiek nosūtīti caur f, sauc par pretdomēnu.

Matemātikā funkciju ar domēnu A un pretdomēnu B apzīmē ar izteiksmi f: A → B.

Iepriekšējais izteiciens saka, ka kopas A elementi tiek nosūtīti uz kopu B, ievērojot korespondences likumu f.

Funkcija katram komplekta A elementam piešķir atsevišķu kopas B elementu.

Domēns un domēns

Ņemot vērā reālā mainīgā f (x) reālo funkciju, mums ir, ka funkcijas domēns būs visi reālie skaitļi tā, ka, novērtējot ar f, rezultāts ir reālais skaitlis.

Parasti funkcijas pretdomēns ir reālo skaitļu kopa R. Kontrdomēnu sauc arī par funkcijas f ierašanās komplektu vai kodēnu.

Vai funkcijas kontdomēns vienmēr ir R?

Nē. Kamēr funkcija nav detalizēti izpētīta, reālo skaitļu kopumu R parasti uzskata par pretdomēnu.

Bet, kad funkcija ir izpētīta, par pretdomēnu var uzskatīt piemērotāku kopu, kas būs R apakškopa.

Pareizais komplekts, kas tika minēts iepriekšējā rindkopā, atbilst funkcijas attēlam.

Funkcijas f attēla vai diapazona definīcija attiecas uz visām vērtībām, kas rodas, novērtējot f domēna elementu.

Piemēri

Šie piemēri ilustrē, kā aprēķināt funkcijas domēnu un tās attēlu.

1. piemērs

Ļaujiet f reālai funkcijai, ko definē ar f (x) = 2.

F domēns ir visi reālie skaitļi, un, novērtējot ar f, rezultāts ir reālais skaitlis. Pagaidām kontradomens ir vienāds ar R.

Tā kā dotā funkcija ir nemainīga (vienmēr vienāda ar 2), nav svarīgi, kurš reālais skaitlis ir izvēlēts, jo, novērtējot to f, rezultāts vienmēr būs vienāds ar 2, kas ir reālais skaitlis.

Tāpēc dotās funkcijas domēns ir visi reālie skaitļi; tas ir, A = R.

Tagad, kad ir zināms, ka funkcijas rezultāts vienmēr ir vienāds ar 2, mums ir, ka funkcijas attēls ir tikai cipars 2, tāpēc funkcijas pretdomēnu var no jauna definēt kā B = Img (f) = {divi}.

Tāpēc f: R → {2}.

2. piemērs

Ļaujiet g būt reālai funkcijai, ko definē ar g (x) = √x.

Kamēr nav zināms g attēls, g domēns ir B = R.

Izmantojot šo funkciju, jāņem vērā, ka kvadrātsaknes ir noteiktas tikai skaitļiem, kas nav negatīvi; tas ir, skaitļiem, kas ir lielāki vai vienādi ar nulli. Piemēram, √-1 nav reāls skaitlis.

Tāpēc funkcijas g domēnam jābūt visiem skaitļiem, kas lielāki vai vienādi ar nulli; tas ir, x ≥ 0.

Tāpēc A = [0, + ∞).

Lai aprēķinātu diapazonu, jāņem vērā, ka jebkurš g (x) rezultāts, jo tas ir kvadrātsakne, vienmēr būs lielāks vai vienāds ar nulli. Tas ir, B = [0, + ∞).

Noslēgumā g: [0, + ∞) → [0, + ∞).

3. piemērs

Ja mums ir funkcija h (x) = 1 / (x-1), tad šī funkcija nav definēta x = 1, jo saucējs iegūtu nulli un dalījums ar nulli nav definēts.

No otras puses, jebkurai citai reālajai vērtībai rezultāts būs reāls skaitlis. Tāpēc domēnā ir visas reālijas, izņemot vienu; tas ir, A = R \ {1}.

Tādā pašā veidā var novērot, ka vienīgā vērtība, kuru rezultātā nevar iegūt, ir 0, jo, lai frakcija būtu vienāda ar nulli, skaitītājam jābūt nullei.

Tāpēc funkcijas attēls ir visu reālu kopums, izņemot nulli, tāpēc B = R \ {0} tiek uzskatīts par kontradomēnu.

Noslēgumā h: R \ {1} → R \ {0}.

Novērojumi

Domēnam un attēlam nav jābūt tādam pašam komplektam, kā parādīts 1. un 3. piemērā.

Kad funkcija ir iezīmēta Dekarta plaknē, domēnu attēlo ar X asi, bet pretdomēnu vai diapazonu attēlo ar Y asi.

Atsauces

1. Flemings, W., un Varbergs, DE (1989). Priekškalkulu matemātika. Prentice Hall PTR.
2. Flemings, W., un Varbergs, DE (1989). Priekškalkulu matemātika: problēmu risināšanas pieeja (2, ilustrēts red.). Mičigana: Prentice zāle.
3. Flemings, W., un Varbergs, D. (1991). Algebra un trigonometrija ar analītisko ģeometriju. Pīrsona izglītība.
4. Larsons, R. (2010). Precalculus (8 izd.). Cengage mācīšanās.
5. Leāls, JM un Vilorija, NG (2005). Plaknes analītiskā ģeometrija. Mérida - Venecuēla: Venezolana CA redakcija
6. Perezs, CD (2006). Iepriekšēja aprēķināšana. Pīrsona izglītība.
7. Purcell, EJ, Varberg, D., & Rigdon, SE (2007). Kalkuluss (devītais izdevums). Prentice zāle.
8. Saenz, J. (2005). Diferenciālais aprēķins ar agrīnām transcendentām funkcijām zinātnei un inženierijai (otrais izdevums, ed.). Hipotenūza.
9. Skots, Kalifornija (2009). Dekarta plaknes ģeometrija, daļa: Analītiskie koniski (1907) (atkārtots izdošana). Zibens avots.
10. Sullivans, M. (1997). Iepriekšēja aprēķināšana. Pīrsona izglītība.