SINTĒTISKĀ DALĪŠANA: METODE UN ATRISINĀTIE VINGRINĀJUMI - MATEMĀTIKA - 2025

Sintētisks sadalījums ir vienkāršs veids, dalot polinomu P (x) kādu no formā: d (x) = x - c. Piemēram, polinomu P (x) = (x ⁵ + 3x ⁴ -7x ³ + 2x ² -8x + 1) var attēlot kā divu vienkāršāko polinomu (x + 1) un (x ⁴ + 2x ³ ) reizinājumu. ).

Tas ir ļoti noderīgs rīks, jo tas ne tikai ļauj mums sadalīt polinomus, bet arī ļauj novērtēt polinomu P (x) pie jebkura c skaitļa, kas savukārt precīzi norāda, vai minētais skaitlis ir polinoma nulle vai nē.

Pateicoties dalīšanas algoritmam, mēs zinām, ka, ja mums ir divi nemainīgi polinomi P (x) un d (x), tad ir unikāli polinomi q (x) un r (x), tā ka ir taisnība, ka P (x) = q (x) d (x) + r (x), kur r (x) ir nulle vai mazāka par q (x). Šie polinomi ir zināmi kā koeficients un attiecīgi attiecīgi atlikums vai atlikums.

Gadījumos, kad polinoms d (x) ir formas x- c, sintētiskais dalījums dod mums īsu veidu, kā noteikt, kas ir q (x) un r (x).

Sintētiskā dalīšanas metode

Ļaujiet P (x) = a _n x ⁿ + a _n-1 x ^n-1 +… + a ₁ x + a ₀ polinomu, kuru vēlamies sadalīt, un d (x) = xc dalītāju. Lai dalītu ar sintētisko dalīšanas metodi, rīkojamies šādi:

1- Pirmajā rindā pierakstām P (x) koeficientus. Ja kāda X jauda neparādās, mēs uzliekam nulli kā tā koeficientu.

2- Otrajā rindā pa kreisi no _n mēs novietojam c un mēs novilkam dalīšanas līnijas, kā parādīts šajā attēlā:

3- Mēs pazeminām vadošo koeficientu līdz trešajai rindai.

Šajā izteiksmē b _n-1 = a _n

4- Mēs reizinām c ar vadošo koeficientu b _n-1 un rezultātu uzrakstām otrajā rindā, bet vienu kolonnu pa labi.

5- Mēs pievienojam kolonnu, kurā uzrakstām iepriekšējo rezultātu, un rezultātu novietojam zem šīs summas; tas ir, tajā pašā kolonnā, trešajā rindā.

Pievienojot, rezultātā mums ir _n-1 + c * b _n-1 , kuru ērtības labad mēs sauksim par b _n-2

6- Mēs reizinām c ar iepriekšējo rezultātu un otrajā rindā rezultātu uzrakstam pa labi.

7- Mēs atkārtojam 5. un 6. darbību, līdz mēs sasniedzam koeficientu ₀ .

8- mēs rakstām atbildi; tas ir, koeficients un pārējais. Tā kā mēs dalām n pakāpes polinomu ar 1. pakāpes polinomu, mums ir, ka koeficients būtu n-1 pakāpes.

C koeficienta polinoma koeficienti būs skaitļi trešajā rindā, izņemot pēdējo, kas būs polinoma atlikums vai dalījuma atlikums.

Atrisināti vingrinājumi

- 1. piemērs

Ar sintētiskās dalīšanas metodi veic šādu dalīšanu:

(x ⁵ + 3x ⁴ -7x ³ + 2x ² -8x + 1): (x + 1).

Risinājums

Vispirms dividenžu koeficientus uzrakstam šādi:

Tad kreisajā pusē, otrajā rindā, kopā ar sadalošajām rindām mēs rakstām c. Šajā piemērā c = -1.

Mēs pazeminām vadošo koeficientu (šajā gadījumā b _n-1 = 1) un reizinām to ar -1:

Mēs uzrakstam tā rezultātu otrajā rindā pa labi, kā parādīts zemāk:

Mēs pievienojam numurus otrajā kolonnā:

Reizinām 2 ar -1 un rezultātu uzrakstam trešās kolonnas otrajā rindā:

Trešajā kolonnā mēs pievienojam:

Mēs rīkojamies tāpat, līdz mēs sasniedzam pēdējo kolonnu:

Tādējādi mums ir, ka pēdējais iegūtais skaitlis ir dalījuma atlikums, un atlikušie skaitļi ir koeficienta koeficients polinomam. Tas ir rakstīts šādi:

Ja mēs vēlamies pārbaudīt, vai rezultāts ir pareizs, pietiek ar to, lai pārliecinātos, ka šāds vienādojums ir patiess:

P (x) = q (x) * d (x) + r (x)

Tātad mēs varam pārbaudīt, vai iegūtais rezultāts ir pareizs.

- 2. piemērs

Veiciet šādu polinomu dalīšanu ar sintētiskās dalīšanas metodi

(7x ³ -x + 2): (x + 2)

Risinājums

Šajā gadījumā apzīmējums x ² neparādās, tāpēc kā tā koeficientu uzrakstīsim 0. Tādējādi polinoms būtu 7x ³ + 0x ² -x + 2.

Mēs rakstām viņu koeficientus pēc kārtas, tas ir:

Otrās rindas kreisajā pusē mēs uzrakstām C = -2 vērtību un novelk dalīšanas līnijas.

Mēs pazeminām vadošo koeficientu b _n-1 = 7 un reizinām to ar -2, otrajā rindā pa labi ierakstot tā rezultātu.

Mēs pievienojam un turpinām, kā iepriekš paskaidrots, līdz mēs sasniedzam pēdējo termiņu:

Šajā gadījumā atlikums ir r (x) = - 52, un iegūtais koeficients ir q (x) = 7x ² -14x + 27.

- 3. piemērs

Vēl viens veids, kā izmantot sintētisko dalījumu, ir šāds: pieņemsim, ka mums ir n pakāpes polinoms P (x), un mēs vēlamies uzzināt, kāda ir vērtība, novērtējot to ar x = c.

Izmantojot dalīšanas algoritmu, polinomu P (x) var uzrakstīt šādā veidā:

Šajā izteiksmē q (x) un r (x) ir attiecīgi koeficients un pārējais. Ja d (x) = x- c, tad, novērtējot pie polinoma pie c, mēs iegūstam sekojošo:

Tāpēc atliek tikai atrast ar (x), un mēs to varam izdarīt, pateicoties sintētiskajai dalīšanai.

Piemēram, mums ir polinoms P (x) = x ⁷ -9x ⁶ + 19x ⁵ + 12x ⁴ -3x ³ + 19x ² -37x-37, un mēs vēlamies uzzināt, kāda ir tā vērtība, novērtējot to ar x = 5. Lai to izdarītu, mēs veicam dalījums starp P (x) un d (x) = x -5 ar sintētiskās dalīšanas metodi:

Kad operācijas ir veiktas, mēs zinām, ka P (x) var rakstīt šādi:

P (x) = (x ⁶ -4x ⁵ –x ⁴ + 7x ³ + 32x ² + 179x + 858) * (x-5) + 4253

Tāpēc, novērtējot to, mums:

P (5) = (5-4 (5) -5 + 7 (5) +32 (5) +179 (5) +858) * (5-5) + 4253

P (5) = (5-4 (5) -5 + 7 (5) +32 (5) +179 (5) +858) * (0) + 4253

P (5) = 0 + 4253 = 4253

Kā redzam, polinoma vērtību var atrast sintētiskā dalījumā, novērtējot to pie c, nevis vienkārši aizstājot c ar x.

Ja mēs mēģinātu novērtēt P (5) tradicionālā veidā, mēs būtu spiesti veikt dažus aprēķinus, kas bieži kļūst garlaicīgi.

- 4. piemērs

Polinomu dalīšanas algoritms attiecas arī uz polinomiem ar sarežģītiem koeficientiem, un tāpēc mums ir, ka sintētiskās dalīšanas metode darbojas arī šādiem polinomiem. Mēs redzēsim piemēru zemāk.

Mēs izmantosim sintētisko dalīšanas metodi, lai parādītu, ka z = 1+ 2i ir nulle no polinoma P (x) = x ³ + (1 + i) x ² - (1 + 2i) x + (15 + 5i); tas ir, atlikušais dalījums P (x) ar d (x) = x - z ir vienāds ar nulli.

Mēs rīkojamies tāpat kā iepriekš: pirmajā rindā mēs rakstām P (x) koeficientus, tad otrajā mēs rakstām z un novelkam dalījuma līnijas.

Mēs veicam sadalīšanu tāpat kā iepriekš; tas ir:

Mēs varam novērot, ka atlikums ir nulle; tāpēc secinām, ka z = 1+ 2i ir nulle no P (x).

Atsauces

1. Baldors Aurēlijs. Algebra Grupo Editorial Patria.
2. Demana, Waits, Foley & Kennedy. Prekalkulārs: grafiskā, ciparu un algebriskā 7.reda. Pīrsona izglītība.
3. Flemming W & Varserg D. Algebra un trigonometrija ar analītisko ģeometriju. Prentice zāle
4. Maikls Sulivans. Prekalkulus 4. ed. Pīrsona izglītība.
5. Sarkans. Armando O. Algebra 1 6. izd. Atēna.