DISKRĒTAIS VARBŪTĪBAS SADALĪJUMS: RAKSTURLIELUMI, VINGRINĀJUMI - MATEMĀTIKA - 2025

The diskrēti varbūtību sadalījums ir funkcija, ar ko katra X (s) = elements {x1, x2, …, xi, …}, kur X ir diskrēts gadījuma lielums dots un S ir paraugs telpa, varbūtība, ka minētais notikums notiek. Šo X (S) funkciju f, kas definēta kā f (xi) = P (X = xi), dažreiz sauc par varbūtības masas funkciju.

Šo varbūtību masu parasti attēlo tabulas veidā. Tā kā X ir diskrēts nejaušs mainīgais, X (S) ir ierobežots notikumu skaits vai saskaitāma bezgalība. Starp visizplatītākajiem diskrēto varbūtības sadalījumiem mums ir vienmērīgs sadalījums, binomālais sadalījums un Puasona sadalījums.

raksturojums

Varbūtības sadalījuma funkcijai jāatbilst šādiem nosacījumiem:

Turklāt, ja X ņem tikai ierobežotu skaitu vērtību (piemēram, x1, x2,…, xn), tad p (xi) = 0, ja i> ny, tāpēc nosacījuma b bezgalīgā virkne kļūst par ierobežota sērija.

Šī funkcija pilda arī šādas īpašības:

B B ir notikums, kas saistīts ar izlases mainīgo X. Tas nozīmē, ka B ir X (S). Konkrēti, pieņemsim, ka B = {xi1, xi2, …}. Tādējādi:

Citiem vārdiem sakot, notikuma B varbūtība ir vienāda ar individuālo iznākumu varbūtību summu, kas saistīta ar B.

No tā mēs varam secināt, ka, ja a <b, notikumi (X ≤ a) un (a <X ≤ b) ir savstarpēji izslēdzoši, un turklāt to savienojums ir notikums (X ≤ b), tāpēc mums ir:

Veidi

Vienots sadalījums pa n punktiem

Mēdz teikt, ka izlases mainīgais X seko sadalījumam, kam raksturīga vienmērība n punktos, ja katrai vērtībai tiek piešķirta tāda pati varbūtība. Tās varbūtības masas funkcija ir:

Pieņemsim, ka mums ir eksperiments, kam ir divi iespējamie iznākumi, tā var būt monētas mešana, kuras iespējamie rezultāti ir galvas vai astes, vai vesela skaitļa izvēle, kura rezultāts var būt pāra skaitlis vai nepāra skaitlis; šāda veida eksperimenti ir zināmi kā Bernoulli testi.

Parasti divus iespējamos iznākumus sauc par panākumiem un neveiksmēm, kur p ir veiksmes varbūtība un 1-p ir neveiksmes varbūtība. Mēs varam noteikt x veiksmes varbūtību n Bernoulli testos, kas ir neatkarīgi viens no otra, ar šādu sadalījumu.

Binomu sadalījums

Tā ir funkcija, kas atspoguļo x panākumu gūšanas varbūtību n neatkarīgos Bernuļu testos, kuru panākumu varbūtība ir p. Tās varbūtības masas funkcija ir:

Šis grafiks parāda masas varbūtības funkciju dažādām binomālā sadalījuma parametru vērtībām.

Šis sadalījums ir parādā savu vārdu franču matemātiķim Simeonam Poissonam (1781-1840), kurš to ieguva kā binomālā sadalījuma robežu.

Puasona sadalījums

Nejaušam mainīgajam X tiek teikts parametra λ Puasona sadalījums, ja tas var ņemt pozitīvās veselās vērtības 0,1,2,3, … ar šādu varbūtību:

Šajā izteiksmē λ ir vidējais skaitlis, kas atbilst notikuma gadījumiem katrā laika vienībā, un x ir notikuma reižu skaits.

Tās varbūtības masas funkcija ir:

Šeit ir diagramma, kas attēlo varbūtības masas funkciju dažādām Puasona sadalījuma parametru vērtībām.

Ņemiet vērā: kamēr panākumu skaits ir mazs un binomālā sadalījumā veikto testu skaits n ir liels, mēs vienmēr varam tuvināt šos sadalījumus, jo Puasona sadalījums ir binomālā sadalījuma robeža.

Galvenā atšķirība starp šiem diviem sadalījumiem ir tāda, ka, kaut arī binomijs ir atkarīgs no diviem parametriem, proti, n un p, Puasons ir atkarīgs tikai no λ, ko dažreiz sauc par sadalījuma intensitāti.

Pagaidām mēs esam runājuši tikai par varbūtības sadalījumu gadījumos, kad dažādi eksperimenti ir neatkarīgi viens no otra; tas ir, kad viena rezultāta neietekmē kāds cits rezultāts.

Ja notiek eksperimenti, kas nav neatkarīgi, hipergeometriskais sadalījums ir ļoti noderīgs.

Hipergeometriskais sadalījums

Ļaujiet N būt kopējam ierobežotās kopas objektu skaitam, no kuriem mēs kaut kādā veidā varam identificēt k no tiem, tādējādi veidojot apakškopu K, kuras komplementu veido atlikušie Nk elementi.

Ja mēs nejauši izvēlamies n objektus, tad izlases mainīgajam X, kas apzīmē objektā esošo K skaitu minētajā izvēlē, ir N, n un k parametru hipergeometriskais sadalījums. Tās varbūtības masas funkcija ir:

Šis grafiks attēlo varbūtības masas funkciju dažādām hipergeometriskā sadalījuma parametru vērtībām.

Atrisināti vingrinājumi

Pirmais vingrinājums

Pieņemsim, ka varbūtība, ka radiosakaru caurule (ievietota noteikta veida iekārtā) darbosies vairāk nekā 500 stundas, ir 0,2. Ja tiek pārbaudītas 20 mēģenes, kāda ir varbūtība, ka tieši k no tām darbosies vairāk nekā 500 stundas, k = 0, 1,2,…, 20?

Risinājums

Ja X ir cauruļu skaits, kas strādā vairāk nekā 500 stundas, mēs pieņemsim, ka X ir binomālais sadalījums. Tātad

Un tā:

Ja k≥11, varbūtības ir mazākas par 0,001

Tādējādi mēs varam redzēt, kā palielinās varbūtība, ka k šo darbu ilgāk par 500 stundām, līdz tas sasniedz maksimālo vērtību (ar k = 4) un pēc tam sāk samazināties.

Otrais vingrinājums

Monēta tiek nomesta 6 reizes. Kad rezultāts būs dārgs, mēs sacīsim, ka tas ir veiksmīgs. Kāda ir varbūtība, ka precīzi nāks divas galvas?

Risinājums

Šajā gadījumā mums ir n = 6, un gan veiksmes, gan neveiksmes varbūtība ir p = q = 1/2

Tāpēc varbūtība, ka tiek dotas divas galvas (tas ir, k = 2), ir

Trešais vingrinājums

Kāda ir varbūtība atrast vismaz četras galvas?

Risinājums

Šajā gadījumā mums ir k = 4, 5 vai 6

Trešais vingrinājums

Pieņemsim, ka 2% no rūpnīcā ražotajām precēm ir bojātas. Atrodiet varbūtību P, ka 100 priekšmetu paraugā ir trīs bojāti priekšmeti.

Risinājums

Šim gadījumam mēs varētu piemērot binomālo sadalījumu n = 100 un p = 0,02, iegūstot rezultātu:

Tomēr, tā kā p ir mazs, mēs izmantojam Puasona tuvinājumu ar λ = np = 2. Tātad,

Atsauces

1. Kai Lai Čunga. Elementārā varbūtības teorija ar stohastiskiem procesiem. Springer-Verlag New York Inc
2. Kenneth.H. Roze.Diskrētā matemātika un tās pielietojumi. SAMCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
3. Pols L. Meijers. Varbūtība un statistikas lietojumi. SA ALHAMBRA MEXICANA.
4. Seimūrs Lipschutz Ph.D. 2000 atrisinātās diskrētās matemātikas problēmas. Makgrevs-Hils.
5. Seimūrs Lipschutz Ph.D. Teorijas un varbūtības problēmas. Makgrevs-Hils.