NORMĀLS SADALĪJUMS: FORMULA, RAKSTURLIELUMI, PIEMĒRS, VINGRINĀJUMS - MATEMĀTIKA - 2025

Normālais sadalījums vai Gausa sadalījums ir varbūtības sadalījums nepārtrauktā mainīgo, kurā varbūtību blīvuma funkcija ir aprakstīta ar eksponenciālo funkciju kvadrātiskās un negatīvo argumentu, kas rada zvanveida forma.

Normālā sadalījuma nosaukums cēlies no fakta, ka šis sadalījums attiecas uz lielāko skaitu situāciju, kad noteiktā grupā vai populācijā ir iesaistīts kāds nepārtraukts nejaušs mainīgais.

1. attēls. Normālais sadalījums N (x; μ, σ) un tā varbūtības blīvums f (s; μ, σ). (Pašu izstrādāts)

Piemēri, kur tiek piemērots normālais sadalījums, ir: vīriešu vai sieviešu augums, dažāda fiziskā lieluma lieluma izmaiņas vai izmērāmas psiholoģiskas vai socioloģiskas iezīmes, piemēram, intelektuālais koeficients vai noteikta produkta patēriņa paradumi.

No otras puses, to sauc par Gausa sadalījumu vai Gausa zvanu, jo tieši šis vācu matemātiskais ģēnijs tiek kreditēts ar viņa atklājumu lietošanai, ko viņš tam devis, lai aprakstītu astronomisko mērījumu statistisko kļūdu 1800. gadā.

Tomēr tiek teikts, ka šo statistisko sadalījumu iepriekš 1733. gadā publicēja cits izcils franču izcelsmes matemātiķis, piemēram, Abraham de Moivre.

Formula

Normālo sadalījuma funkciju nepārtrauktā mainīgajā x ar parametriem μ un σ apzīmē ar:

N (x; μ, σ)

un tas ir skaidri uzrakstīts šādi:

N (x; μ, σ) = ∫ _-∞ ^x f (s; μ, σ) ds

kur f (u; μ, σ) ir varbūtības blīvuma funkcija:

f (s; μ, σ) = (1 / (σ√ (2π)) Exp (- s ² / (2σ ² ))

Konstanci, kas reizina eksponenciālo funkciju varbūtības blīvuma funkcijā, sauc par normalizācijas konstantu, un tā ir izvēlēta tādā veidā, ka:

N (+ ∞, μ, σ) = 1

Iepriekšējā izteiksme nodrošina, ka varbūtība, ka izlases mainīgais x ir no -∞ līdz + ∞, ir 1, tas ir, 100% varbūtība.

Parametrs μ ir nepārtraukta nejauša mainīgā lieluma x aritmētiskais vidējais un σ tā paša mainīgā lieluma dispersijas standarta novirze vai kvadrātsakne. Gadījumā, ja μ = 0 un σ = 1, tad mums ir parastais normālais sadalījums vai tipiskais normālais sadalījums:

N (x; μ = 0, σ = 1)

Normālā sadalījuma raksturojums

1- Ja izlases veida statistiskais mainīgais seko normālam varbūtības blīvuma f (s; μ, σ) sadalījumam, lielākā daļa datu tiek sagrupēti ap vidējo vērtību μ un izkliedēti ap to tādā veidā, ka nedaudz vairāk par ⅔ no datiem ir no μ - σ līdz μ + σ.

2 - standartnovirze σ vienmēr ir pozitīva.

3- Blīvuma funkcijas f forma ir līdzīga zvana formai, tāpēc šo funkciju bieži sauc par Gausa zvanu vai Gausa funkciju.

4- Gausa sadalījumā vidējais, vidējais un režīms sakrīt.

5- Varbūtības blīvuma funkcijas lēciena punkti ir precīzi pie μ - σ un μ + σ.

6- Funkcija f ir simetriska attiecībā pret asi, kas šķērso tās vidējo vērtību μ, un tai ir asimptotiski nulle x ⟶ + ∞ un x ⟶ -∞.

7- Jo augstāka ir σ vērtība, jo lielāka ir datu izkliede, troksnis vai attālums ap vidējo vērtību. Citiem vārdiem sakot, jo augstāka zvana forma ir atvērtāka. No otras puses, σ mazs norāda, ka kauliņi ir tuvu vidējam un zvaniņa forma ir slēgtāka vai smailāka.

8- Sadalījuma funkcija N (x; μ, σ) norāda varbūtību, ka nejaušais mainīgais ir mazāks vai vienāds ar x. Piemēram, 1. attēlā (iepriekš) varbūtība P, ka mainīgais x ir mazāks vai vienāds ar 1,5, ir 84% un atbilst laukumam zem varbūtības blīvuma funkcijas f (x; μ, σ) no -∞ līdz x.

Pārliecības intervāli

9 - Ja dati notiek pēc normāla sadalījuma, tad 68,26% no tiem ir starp μ - σ un μ + σ.

10-95,44% datu, kas seko normālam sadalījumam, ir starp μ - 2σ un μ + 2σ.

11-99,74% datu, kas seko normālam sadalījumam, ir starp μ - 3σ un μ + 3σ.

12 - Ja izlases veida mainīgais x seko sadalījumam N (x; μ, σ), tad mainīgais

z = (x - μ) / σ seko parastajam normālajam sadalījumam N (z; 0,1).

Mainīgo no mainīgā x uz z sauc par standartizāciju vai mašīnrakstīšanu, un tā ir ļoti noderīga, piemērojot standarta sadalījuma tabulas datiem, kas seko nestandarta normālajam sadalījumam.

Normālā sadalījuma pielietojumi

Lai piemērotu normālo sadalījumu, ir jāietver varbūtības blīvuma integrāla aprēķināšana, kas no analītiskā viedokļa nav viegls un ne vienmēr ir datorprogramma, kas ļauj to skaitliski aprēķināt. Šim nolūkam tiek izmantotas normalizēto vai standartizēto vērtību tabulas, kas ir nekas cits kā normālais sadalījums gadījumos, kad μ = 0 un σ = 1.

Standartizēta normāla izplatīšanas tabula (1/2. Daļa)

Standartizēta normāla izplatīšanas tabula (2/2. Daļa)

Jāatzīmē, ka šajās tabulās nav ietvertas negatīvas vērtības. Tomēr, izmantojot Gausa varbūtības blīvuma funkcijas simetrijas īpašības, var iegūt atbilstošās vērtības. Zemāk parādītais atrisinātais uzdevums norāda uz tabulas izmantošanu šajos gadījumos.

Piemērs

Pieņemsim, ka jums ir nejaušu datu kopums x, kas seko normālam vidējā 10 sadalījumam un standartnovirzei 2. Jums tiek lūgts atrast varbūtību, ka:

a) izlases lielums x ir mazāks vai vienāds ar 8.

b) ir mazāks vai vienāds ar 10.

c) ka mainīgais x ir mazāks par 12.

d) varbūtība, ka x vērtība ir no 8 līdz 12.

Risinājums:

a) Lai atbildētu uz pirmo jautājumu, jums vienkārši jāaprēķina:

N (x; μ, σ)

Ar x = 8, μ = 10 un σ = 2. Mēs saprotam, ka tas ir neatņemams elements, kam nav analītiska risinājuma pamatfunkcijās, bet risinājums tiek izteikts kā kļūdas funkcijas erf (x) funkcija.

No otras puses, pastāv iespēja integrālu risināt skaitliskā formā, un to dara daudzi kalkulatori, izklājlapas un datorprogrammas, piemēram, GeoGebra. Šajā attēlā parādīts skaitliskais risinājums, kas atbilst pirmajam gadījumam:

2. attēls. Varbūtības blīvums f (x; μ, σ). Aizēnotais laukums apzīmē P (x ≤ 8). (Pašu izstrādāts)

un atbilde ir tāda, ka varbūtība, ka x ir mazāks par 8, ir šāda:

P (x ≤ 8) = N (x = 8; μ = 10, σ = 2) = 0,1587

b) Šajā gadījumā mēs cenšamies atrast varbūtību, ka nejaušais mainīgais x ir zem vidējā, kas šajā gadījumā ir vērts 10. Atbildei nav nepieciešami aprēķini, jo mēs zinām, ka puse datu ir zem vidējā, bet otra puse virs vidējā. Tāpēc atbilde ir šāda:

P (x ≤ 10) = N (x = 10; μ = 10, σ = 2) = 0,5

c) Lai atbildētu uz šo jautājumu, mums jāaprēķina N (x = 12; μ = 10, σ = 2), ko var izdarīt ar kalkulatoru, kuram ir statistikas funkcijas, vai izmantojot programmatūru, piemēram, GeoGebra:

3. attēls. Varbūtības blīvums f (x; μ, σ). Aizēnotais laukums apzīmē P (x ≤ 12). (Pašu izstrādāts)

Atbilde uz c daļu ir redzama 3. attēlā, un tā ir:

P (x ≤ 12) = N (x = 12; μ = 10, σ = 2) = 0,8413.

d) Lai atrastu varbūtību, ka izlases mainīgais x ir no 8 līdz 12, mēs varam izmantot a un c daļas rezultātus šādi:

P (8 ≤ x ≤ 12) = P (x ≤ 12) - P (x ≤ 8) = 0,8413 - 0,1587 = 0,6826 = 68,26%.

Vingrinājums atrisināts

Uzņēmuma akciju vidējā cena ir 25 USD ar standarta novirzi 4 USD. Nosakiet varbūtību, ka:

a) Darbības izmaksas ir mazākas par 20 USD.

b) kuras izmaksas pārsniedz USD 30.

c) cena ir no USD 20 līdz USD 30.

Izmantojiet standarta parasto izplatīšanas tabulas, lai atrastu atbildes.

Risinājums:

Lai izmantotu tabulas, jāpāriet uz normalizēto vai drukāto z mainīgo:

20 USD normalizētajā mainīgajā ir vienāds ar z = (20 USD - 25 USD) / 4 USD = -5 / 4 = -1,25 un

30 USD normalizētajā mainīgajā ir vienāds ar z = (30 USD - 25 USD) / 4 USD = +5 / 4 = +1,25.

a) 20 USD ir vienāds ar -1,25 normalizētajā mainīgajā, bet tabulā nav negatīvu vērtību, tāpēc mēs atrodam vērtību +1,25, kas dod vērtību 0,8944.

Ja no šīs vērtības atņem 0,5, rezultāts būs laukums no 0 līdz 1,25, kas, starp citu, ir identisks (pēc simetrijas) laukumam starp -1,25 un 0. Atņemšanas rezultāts ir 0,8944 - 0,5 = 0,3944, kas ir laukums no -1,25 līdz 0.

Bet interese ir par apgabalu no -∞ līdz -1,25, kas būs 0,5 - 0,3944 = 0,1056. Tāpēc tiek secināts, ka varbūtība, ka krājumi ir zemāki par 20 USD, ir 10,56%.

b) 30 USD ievadītajā mainīgajā z ir 1,25. Šai vērtībai tabulā parādīts skaitlis 0,8944, kas atbilst laukumam no -∞ līdz +1,25. Platība starp +1,25 un + ∞ ir (1 - 0,8944) = 0,1056. Citiem vārdiem sakot, varbūtība, ka akcija maksā vairāk nekā 30 USD, ir 10,56%.

c) Varbūtība, ka darbībai ir izmaksas no USD 20 līdz USD 30, tiks aprēķināta šādi:

100% -10,56% - 10,56% = 78.88%

Atsauces

1. Statistika un varbūtība. Normāls sadalījums. Atgūts no: projectdescartes.org
2. Ģeogebra. Klasiskā ģeogebra, varbūtības aprēķins. Atjaunots no geogebra.org
3. MathWorks. Gausa sadalījums. Atgūts no: es.mathworks.com
4. Mendenhall, W. 1981. Vadības un ekonomikas statistika. 3. izdevums. Grupo Editorial Iberoamérica.
5. Stat Trek. Iemāci sev statistiku. Puasona sadalījums. Atgūts no: stattrek.com,
6. Triola, M. 2012. Elementārā statistika. 11. Ed Pearon izglītība.
7. Vigo universitāte. Galvenie nepārtrauktie sadalījumi. Atgūts no: anapg.webs.uvigo.es
8. Wikipedia. Normāls sadalījums. Atgūts no: es.wikipedia.org