- Formula
- Eiklīda attālums divās dimensijās
- Ne-Eiklīda virsmas
- Eiklīda attālums n dimensijās
- Kā aprēķināt Eiklīda attālumu
- Piemērs
- Atsauces
Eiklīda attālums ir pozitīvs skaitlis, kas norāda attālumu starp diviem punktiem, kas ir telpā, kurā ir izpildīti aksiomas un teorēmas no Eiklīda ģeometrija.
Attālums starp diviem punktiem A un B Eiklīda telpā ir vektora AB garums, kas pieder vienīgajai līnijai, kas iet caur šiem punktiem.
1. attēls. Viendimensionāla Eiklīda telpa, ko veido līnija (OX). Šajā telpā ir parādīti vairāki punkti, to koordinātas un attālumi. (Sagatavojis Ricardo Pérez).
Kosmoss, ko cilvēki uztver un kur mēs pārvietojamies, ir trīsdimensiju (trīsdimensiju) telpa, kurā tiek izpildītas Eiklida ģeometrijas aksiomas un teorēmas. Šajā telpā atrodas divdimensiju apakšplāksnes (plaknes) un viendimensiju apakšpozīcijas (līnijas).
Eiklīda telpas var būt viendimensiju (1-D), divdimensiju (2-D), trīsdimensiju (3-D) vai n-dimensijas (nD).
Punkti viendimensijas telpā X ir tie, kas pieder pie orientētās līnijas (OX), virziens no O līdz X ir pozitīvais virziens. Lai atrastu punktus uz šīs līnijas, tiek izmantota Dekarta sistēma, kas sastāv no numura piešķiršanas katram līnijas punktam.
Formula
Eiklīda attālumu d (A, B) starp punktiem A un B, kas atrodas uz līnijas, definē kā kvadrātsakni no kvadrāta ar atšķirībām to X koordinātēs:
d (A, B) = √ ((XB - XA) ^ 2)
Šī definīcija garantē, ka: attālums starp diviem punktiem vienmēr ir pozitīvs. Un ka attālums starp A un B ir vienāds ar attālumu starp B un A.
1. attēlā parādīta viendimensionālā Eiklīda telpa, ko veido līnija (OX) un vairāki punkti uz šīs līnijas. Katram punktam ir koordināta:
Punktam A ir koordināta XA = 2,5, punkta B koordinātei XB = 4 un punkta C koordinātei XC = -2,5
d (A, B) = √ ((4 - 2,5) 2) = 1,5
d (B, A) = √ ((2,5 - 4) 2) = 1,5
d (A, C) = √ ((- 2,5 - 2,5) 2) = 5,0
Eiklīda attālums divās dimensijās
Divdimensiju Eiklīda telpa ir plakne. Eiklīda plaknes punkti izpilda eiklīda ģeometrijas aksiomas, piemēram:
- Viena līnija iet caur diviem punktiem.
- Trīs plaknes punkti veido trīsstūri, kura iekšējie leņķi vienmēr veido līdz 180º.
- Taisnā trīsstūrī hipotenūza kvadrāts ir vienāds ar tās kāju kvadrātu summu.
Divās dimensijās punktam ir X un Y koordinātas.
Piemēram, punktam P ir koordinātas (XP, YP) un punkta Q koordinātas (XQ, YQ).
Eiklīda attālums starp punktu P un Q tiek definēts ar šādu formulu:
d (P, Q) = √ ((XQ - XP) ^ 2 + (YQ - YP) ^ 2)
Jāatzīmē, ka šī formula ir līdzvērtīga Pitagora teorēmai, kā parādīts 2. attēlā.
2. attēls. Attālums starp diviem punktiem P un Q plaknē atbilst Pitagora teorēmai. (Sagatavojis Ricardo Pérez).
Ne-Eiklīda virsmas
Ne visas divdimensiju telpas atbilst Eiklīda ģeometrijai. Sfēras virsma ir divdimensiju telpa.
Trijstūra leņķi uz sfēriskas virsmas nepārsniedz 180 ° un līdz ar to nav izpildīta Pitagora teorēma, tāpēc sfēriskā virsma nepilda Eiklida aksiomas.
Eiklīda attālums n dimensijās
Koordinātu jēdzienu var attiecināt uz lielākām dimensijām:
- Divdimensiju punktā P ir koordinātas (XP, YP)
- 3D formātā punktam Q ir koordinātas (XQ, YQ, ZQ)
- 4-D pozīcijā R punktam būs koordinātas (XR, YR, ZR, WR)
- nD punktā punktam P būs koordinātas (P1, P2, P3,… .., Pn)
Attālumu starp n-dimensijas Eiklīda telpas diviem punktiem P un Q aprēķina pēc šādas formulas:
d (P, Q) = √ ((Q1 - P1) ^ 2 + (Q2 - P2) ^ 2 + …… .. + (Qn - Pn) ^ 2)
Visu punktu Q atrašanās vieta n-dimensijas Eiklīda telpā, kas atrodas vienādā attālumā no cita fiksētā punkta P (centra), veido n-dimensijas hipersfēru.
Kā aprēķināt Eiklīda attālumu
Tālāk parādīts, kā tiek aprēķināts attālums starp diviem punktiem, kas atrodas Eiklīda trīsdimensiju telpā.
Pieņemsim, ka Dekarta koordinātu x, y, z punkts A :(( 2, 3, 1) un punktu B koordinātas B :( -3, 2, 2).
Mēs vēlamies noteikt attālumu starp šiem punktiem, kuriem tiek izmantotas vispārējās attiecības:
d (A, B) = √ ((-3 - 2) 2 + (2 - 3) 2 + (2 - 1) 2) = √ ((-5) 2 + (-1) 2 + (1) 2 )
d (A, B) = √ (25 + 1 + 1) = √ (27) = √ (9 * 3) = 3 √ (3) = 5 196
Piemērs
Ir divi punkti P un Q. Dekarta taisnstūra koordinātu x, y, z punktu P norāda P :(( 2, 3, 1) un koordinātu Q punktu Q :( -3, 2, 1).
Tiek lūgts atrast segmenta viduspunkta M koordinātas, kas savieno divus punktus.
Tiek pieņemts, ka nezināmajam punktam M ir koordinātas (X, Y, Z).
Tā kā M ir viduspunkts, ir jābūt patiesam, ka d (P, M) = d (Q, M), tātad arī d (P, M) ^ 2 = d (Q, M) ^ 2 ir jābūt patiesam:
(X - 2) ^ 2 + (Y - 3) ^ 2 + (Z - 1) ^ 2 = (X - (-3)) ^ 2 + (Y - 2) ^ 2 + (Z - 1) ^ 2
Tāpat kā šajā gadījumā trešais termins ir vienāds abos locekļos, iepriekšējais izteiciens vienkāršo:
(X - 2) ^ 2 + (Y - 3) ^ 2 = (X + 3) ^ 2 + (Y - 2) ^ 2
Pēc tam mums ir vienādojums ar diviem nezināmiem X un Y. Lai atrisinātu problēmu, ir nepieciešams vēl viens vienādojums.
Punkts M pieder līnijai, kas iet caur punktiem P un Q, ko varam aprēķināt šādi:
Vispirms atrodam līnijas direktora vektoru PQ : PQ = <-3-2, 2-3, 1-1> = <-5, -1, 0>.
Tad PM = OP + a PQ , kur OP ir punkta P pozīcijas vektors un ir parametrs, kas pieder pie reālajiem skaitļiem.
Iepriekš minēto vienādojumu sauc par līnijas vektora vienādojumu, kas Dekarta koordinātēs izpaužas šādā formā:
<X-2, Y-3, Z-1> = <2, 3, 1> + a <-5, -1, 0> = <2 - 5a, 3 - a, 0>
Līdzināsim atbilstošajiem komponentiem, kas mums ir:
X - 2 = 2-5 a; Y - 3 = 3 -a; Z - 1 = 0
Tas ir, X = 4 - 5a, Y = 6 - a, visbeidzot Z = 1.
Tas tiek aizstāts kvadrātiskā izteiksmē, kas attiecas uz X uz Y:
(4 - 5a - 2) ^ 2 + (6 - a - 3) ^ 2 = (4 - 5a + 3) ^ 2 + (6 - a - 2) ^ 2
Tas ir vienkāršots:
(2 - 5a) ^ 2 + (3 -a) ^ 2 = (7 - 5a) ^ 2 + (4 - a) ^ 2
Tagad izvēršas:
4 + 25 a ^ 2 - 20a + 9 + a ^ 2 - 6a = 49 + 25 a ^ 2 - 70a + 16 + a ^ 2 - 8a
Tas ir vienkāršots, atceļot līdzīgus nosacījumus abiem dalībniekiem:
4 - 20a + 9 - 6a = 49 - 70a + 16 - 8a
Parametrs a tiek notīrīts:
52 a = 49 + 16 - 4 - 9 = 52, iegūstot a = 1.
Tas ir, X = 4 - 5, Y = 6 - 1, visbeidzot Z = 1.
Visbeidzot mēs iegūstam Dekarta M koordinātas viduspunktā M:
M: (-1, 5, 1).
Atsauces
- Lehmann C. (1972) Analītiskā ģeometrija. UTEHA.
- Superprof. Attālums starp diviem punktiem. Atgūts no: superprof.es
- UNAM. Attālums starp afine sublineārajiem kolektoriem. Atgūts no: prometeo.matem.unam.mx/
- wikipedia. Eiklīda attālums. Atgūts no: es.wikipedia.com
- wikipedia. Eiklīda telpa. Atgūts no: es.wikipedia.com