KLUČU ATŠĶIRĪBA: FORMULAS, VIENĀDOJUMI, PIEMĒRI, VINGRINĀJUMI - MATEMĀTIKA - 2025

Kubu atšķirība ir binomial algebriska izteiksme formā ³ - b ³ , kur termini a un b var būt reāli skaitļi vai dažādu veidu algebriski izteiksmes. Kubu atšķirības piemērs ir: 8 - x ³ , jo 8 var uzrakstīt kā 2 ³ .

Ģeometriski mēs varam domāt par lielu kubu ar sānu a, no kura tiek atņemts mazais kubs ar sānu b, kā parādīts 1. attēlā:

1. attēls. Kubu atšķirība. Avots: F. Zapata.

Iegūtā skaitļa tilpums ir precīzi atšķirīgs kubiņos:

V = a ³ - b ³

Lai atrastu alternatīvu izteiksmi, tiek novērots, ka šo skaitli var sadalīt trīs prizmās, kā parādīts zemāk:

2. attēls. Kubu starpība (pa kreisi no vienādības) ir vienāda ar daļējo tilpumu summu (pa labi). Avots: F. Zapata.

Prizmai ir tilpums, ko piešķir produkta trīs dimensijas: platums x augstums x dziļums. Tādā veidā iegūtais tilpums ir:

V = a ³ - b ³ = a ² .b + b ³ + ab ²

B faktors ir kopīgs labajā pusē. Turklāt iepriekš parādītajā attēlā ir īpaši taisnība, ka:

b = (a / 2) ⇒ a = b + b

Tāpēc var teikt, ka: b = a - b. Tādējādi:

Šis kubu atšķirības izteikšanas veids izrādīsies ļoti noderīgs daudzās lietojumprogrammās un būtu iegūts tādā pašā veidā, pat ja trūkstošā kuba puse stūrī atšķīrās no b = a / 2.

Ņemiet vērā, ka otrās iekavas ļoti atgādina ievērojamo summu no kvadrāta, bet šķērsgriezums netiek reizināts ar 2. Lasītājs var izvērst labo pusi, lai pārliecinātos, ka ³ - b ³ patiešām ir iegūts .

Piemēri

Ir vairākas atšķirības klucīšos:

1 - m ⁶

a ⁶ b ³ - 8z ¹² un ⁶

(1/125) .x ⁶ - 27.y ⁹

Analizēsim katru no tiem. Pirmajā piemērā skaitli 1 var uzrakstīt kā 1 = 1 ^3, un termins m ⁶ kļūst: (m ² ) ³ . Abi termini ir perfekti klucīši, tāpēc to atšķirība ir šāda:

1 - m ⁶ = 1 ³ - (m ² ) ³

Otrajā piemērā termini tiek pārrakstīti:

a ⁶ b ³ = (a ² b) ³

8z ¹² y ⁶ = 2 ³ (z ⁴ ) ³ (y ² ) ³ = (2z ⁴ y ² ) ³

Šo kubu atšķirība ir: (a ² b) ³ - (2z ⁴ y ² ) ³ .

Visbeidzot, frakcija (1/125) ir (1/5 ³ ), x ⁶ = (x ² ) ³ , 27 = 3 ³ un y ⁹ = (y ³ ) ³ . Aizstājot to visu sākotnējā izteiksmē, jūs iegūstat:

(1/125) .x ⁶ - 27 y ⁹ = ³ - (3y ³ ) ³

Faktorējot kubu atšķirību

Kubu atšķirības faktorēšana vienkāršo daudzas algebriskas operācijas. Lai to izdarītu, vienkārši izmantojiet iepriekš iegūto formulu:

3. attēls. Kubu starpības faktorizācija un ievērojamā koeficienta izteiksme. Avots: F. Zapata.

Tagad šīs formulas piemērošanas procedūra sastāv no trim posmiem:

- Pirmkārt, iegūst katra starpības vārda kubu sakni.

- Tad konstruē binominālu un trinomu, kas parādās formulas labajā pusē.

- visbeidzot, binomijs un trinoms tiek aizstāti, lai iegūtu galīgo faktorizāciju.

Ilustrēsim šo darbību izmantošanu ar katru no iepriekš piedāvātajiem kubu atšķirības piemēriem un tādējādi iegūsim tā faktisko ekvivalentu.

1. piemērs

Veiciet koeficientu izteiksmei 1 - m ^6, ievērojot aprakstītās darbības. Sākumā pārrakstām izteiksmi kā 1 - m ⁶ = 1 ³ - (m ² ) ^3, lai iegūtu katra termina atbilstošās kuba saknes:

Pēc tam konstruē binominālu un trinomu:

a = 1

b = m ²

Tātad:

a - b = 1 - m ²

(a ² + ab + b ² ) = 1 ² + 1.m ² + (m ² ) ² = 1 + m ² + m ⁴

Visbeidzot, tas tiek aizstāts formulā a ³ - b ³ = (ab) (a ² + ab + b ² ):

1 - m ⁶ = (1 - m ² ) (1 + m ² + m ⁴ )

2. piemērs

Faktorizēt:

a ⁶ b ³ -8z ¹² y ⁶ = (a ² b) ³ - (2z ⁴ y ² ) ³

Tā kā šie ir perfekti kubi, kuba saknes ir tūlītējas: a ² b un 2z ⁴ un ² , no tā izriet, ka:

- Binomāli: a ² b - 2z ⁴ un ²

- Trinomiāls: (a ² b) ² + a ² b. 2z ⁴ y ² + (a ² b + 2z ⁴ y ² ) ²

Un tagad tiek veidota vēlamā faktorizācija:

a ⁶ b ³ -8z ¹² y ⁶ = (a ² b - 2z ⁴ y ² ). =

= (a ² b - 2z ⁴ y ² ).

Faktorings principā ir gatavs, taču bieži vien ir jāvienkāršo katrs termins. Tad tiek izstrādāts ievērojamais produkts - summas kosmētika -, kas parādās beigās, un pēc tam tiek pievienoti līdzīgi termini. Atceroties, ka summas kvadrāts ir:

Ievērojamais produkts labajā pusē ir izstrādāts šādi:

(a ² b + 2z ⁴ un ² ) ² = a ⁴ b ² + 4a ² b.z ⁴ un ² + 4z ⁸ un ⁴

Aizstājot iegūto izplešanos, faktorizējot kubu starpību:

a ⁶ b ³ -8z ¹² y ⁶ = (a ² b - 2z ⁴ y ² ). =

Visbeidzot, sagrupējot līdzīgus terminus un faktorējot skaitliskos koeficientus, kuri visi ir vienmērīgi, iegūstam:

(a ² b - 2z ⁴ y ² ). = 2 (a ² b - 2z ⁴ y ² ).

3. piemērs

Faktorings (1/125) x ⁶ - 27 y ⁹ ir daudz vienkāršāks nekā iepriekšējā gadījumā. Vispirms tiek identificēti a un b ekvivalenti:

a = (1/5) x ²

b = 3y ³

Tad tos tieši aizvieto formulā:

(1/125) .x ⁶ - 27 y ⁹ =.

Vingrinājums atrisināts

Kluču atšķirībai, kā jau teicām, Algebrā ir daudz dažādu pielietojumu. Apskatīsim dažus:

1. vingrinājums

Atrisiniet šādus vienādojumus:

a) x ⁵ - 125 x ² = 0

b) 64 - 729 x ³ = 0

Risinājums

Vispirms vienādojumu ņem vērā šādā veidā:

x ² (x ³ - 125) = 0

Tā kā 125 ir ideāls kubs, iekavas tiek rakstītas kā kubu starpība:

x ² . (x ³ - 5 ³ ) = 0

Pirmais risinājums ir x = 0, bet mēs atradīsim vairāk, ja x ³ - 5 ³ = 0, tad:

x ³ = 5 ³ → x = 5

Risinājums b

Vienādojuma kreiso pusi pārraksta šādi: 64 - 729 x ³ = 4 ³ - (9x) ³ . Tādējādi:

4 ³ - (9x) ³ = 0

Tā kā eksponents ir vienāds:

9x = 4 → x = 9/4

2. vingrinājums

Faktors izteiksme:

(x + y) ³ - (x - y) ³

Risinājums

Šī izteiksme ir kubu atšķirība, ja faktoringa formulā mēs atzīmējam, ka:

a = x + y

b = x- y

Tad vispirms konstruē binomu:

a - b = x + y - (x- y) = 2y

Un tagad trinomiāls:

a ² + ab + b ² = (x + y) ² + (x + y) (xy) + (xy) ²

Tiek izstrādāti nozīmīgi produkti:

Tālāk jums ir jāaizstāj un jāsamazina līdzīgi termini:

a ² + ab + b ² = x ² + 2xy + y ² + x ² - y ² + x ² - 2xy + y ² = 3x ² + y ²

Faktoringa rezultāti:

(x + y) ³ - (x - y) ³ = 2 gadi . (3x ² + y ² )

Atsauces

1. Baldors, A. 1974. Algebra. Redakcija Cultural Venezolana SA
2. CK-12 fonds. Kubu summa un starpība. Atgūts no: ck12.org.
3. Hanas akadēmija. Kubu atšķirību faktorēšana. Atgūts no: es.khanacademy.org.
4. Matemātika ir jautri uzlabota. Divu kubu atšķirība. Atgūts no: mathsisfun.com
5. UNAM. Faktorējot kubu atšķirību. Atgūts no: dcb.fi-c.unam.mx.