DIAMETRS: SIMBOLI UN FORMULAS, KĀ TO IEGŪT, APKĀRTMĒRS - MATEMĀTIKA - 2025

Diametrs ir taisna līnija, kas iet caur centru slēgtā plakanu līkni vai skaitli divās vai trijās dimensijās, un arī pievienojas tai pretī punktus. Parasti tas ir aplis (plakana līkne), aplis (plakana figūra), lode vai labais apļveida cilindrs (trīsdimensiju objekti).

Lai arī apkārtmēru un apli parasti uzskata par sinonīmiem, starp abiem terminiem ir atšķirība. Apkārtmērs ir slēgta līkne, kas ieskauj apli, kas atbilst nosacījumam, ka attālums starp jebkuru tā punktu un centru ir vienāds. Šis attālums nav nekas cits kā apkārtmēra rādiuss. Tā vietā aplis ir plakana figūra, ko ierobežo apkārtmērs.

1. attēls. Velosipēdu riteņu diametrs ir svarīga to dizaina iezīme. Avots: Pixabay.

Apkārtmēra, apļa un lodes gadījumā diametrs ir taisns segments, kurā ir vismaz trīs punkti: centrs plus divi punkti perimetra vai apļa malā vai sfēras virsma.

Un labajā apļveida cilindrā diametrs attiecas uz šķērsgriezumu, kas kopā ar augstumu ir tā divi raksturīgie parametri.

Aploces un apļa diametrs, ko simbolizē ø vai vienkārši burts “D” vai “d”, ir saistīts ar tā perimetru, kontūru vai garumu, ko apzīmē ar burtu L:

L = π.D = π. vai

Ikreiz, kad ir kāds apkārtmērs, koeficients starp tā garumu un diametru ir iracionālais skaitlis π = 3.14159…, šādā veidā:

π = L / D

Kā iegūt diametru?

Ja jums ir zīmējums ar apkārtmēru vai apli, vai tieši apļveida priekšmets, piemēram, monēta vai gredzens, ar lineālu ir ļoti viegli atrast diametru. Jums vienkārši jāpārliecinās, ka lineāla mala vienlaikus pieskaras diviem punktiem uz apkārtmēru un tā centru.

Suports, vernieris vai suports ir ļoti piemērots, lai izmērītu ārējo un iekšējo diametru uz monētām, stīpām, gredzeniem, riekstiem, caurulēm un daudz ko citu.

2. attēls. Monētas diametru mēra digitālais vernjērs. Avots: Pixabay.

Ja objekta vai tā zīmējuma vietā mums ir tādi dati kā rādiuss R, tad, reizinot ar 2, mums ir diametrs. Un, ja ir zināms apkārtmēra garums vai perimetrs, diametru var arī uzzināt, notīrot:

Cits veids, kā atrast diametru, ir jāzina apļa laukums, sfēriskā virsma, cilindra šķērsgriezums, cilindra izliektais laukums vai sfēras vai cilindra tilpumi. Viss atkarīgs no tā, kāda ģeometriska figūra tā ir. Piemēram, diametrs ir iesaistīts šādās jomās un apjomos:

-Lokļa laukums : π. (D / 2) ²
- Sfēriskās virsmas laukums : 4π. (D / 2) ²
-Lodes tilpums : (4/3) π. (D / 2) ³
-Ar tilpumu labais apļveida cilindrs : π. (D / 2) ² .H (H ir cilindra augstums)

Pastāvīga platuma skaitļi

Aplis ir nemainīga platuma plakana figūra, jo, lai kur jūs to aplūkotu, platums ir diametrs D. Tomēr ir arī citi varbūt mazāk zināmi skaitļi, kuru platums arī ir nemainīgs.

Pirmkārt, redzēsim, ko saprot ar figūras platumu: tas ir attālums starp divām paralēlām līnijām - atbalsta līnijām, kuras savukārt ir perpendikulāras dotajam virzienam un kuras ieslogo skaitli, kā parādīts kreisajā attēlā:

3. attēls. Jebkuras plakanas figūras (pa kreisi) un Reuleaux trīsstūra platums, nemainīga platuma figūra (pa labi). Avots: F. Zapata.

Blakus labajai pusei ir Reuleaux trīsstūris, kas ir nemainīga platuma skaitlis un kas atbilst kreisajā attēlā norādītajiem nosacījumiem. Ja figūras platums ir D, tā perimetru norāda ar Barbera teorēmu:

L = π.D

Sanfrancisko pilsētas Kalifornijā kanalizācijas caurule ir veidota kā Reuleaux trīsstūris, kas nosaukts vācu inženiera Franca Reuleaux (1829 - 1905) vārdā. Tādā veidā vāki nevar izkrist caur caurumu, un to izgatavošanai tiek izmantots mazāk materiāla, jo to laukums ir mazāks nekā apļa laukums:

A = (1- √3) .πD ² = 0,705D ²

Atrodoties lokā:

A = π (D / 2) ² = (π / 4) D ² = 0,785. D ²

Bet šis trīsstūris nav vienīgais nemainīgā platuma skaitlis. Jūs varat veidot tā sauktos Reuleaux daudzstūrus kopā ar citiem daudzstūriem, kuriem ir nepāra skaits sānu.

Apkārtmēra diametrs

Nākamajā attēlā ir apļa elementi, kas definēti šādi:

Akords : līnijas segments, kas savieno divus punktus uz apkārtmēru. Attēlā ir akords, kas savieno punktus C un D, ​​bet var tikt uzzīmēti bezgalīgi akordi, kas savieno jebkuru punktu punktu uz apkārtmēru.

Diametrs : tas ir akords, kas iet caur centru, savienojot divus apkārtmēru punktus ar centru O. Tas ir garākais apkārtmēra akords, šī iemesla dēļ to sauc par “galveno akordu”.

Rādiuss : līnijas segments, kas savieno centru ar jebkuru perimetra punktu. Tā vērtība, tāpat kā diametrs, ir nemainīga.

Apkārtmērs : tas ir visu punktu kopums, kas atrodas vienādā attālumā no O.

Loks : to definē kā apkārtmēru segmentu, ko ierobežo divi rādiusi (attēlā nav uzzīmēts).

4. attēls. Perimetra daļas, ieskaitot diametru, kas iet caur centru. Avots: Wikimedia Commons.

- 1. piemērs

Parādītais taisnstūris ir 10 collas garš, un, kad to velmē, veido taisnu apļveida cilindru, kura diametrs ir 5 collas. Atbildiet uz sekojošiem jautājumiem:

5. attēls. Velmētais taisnstūris kļūst par labo apaļu cilindru. Avots: Jiménez, R. Matemātika II. Ģeometrija un trigonometrija. 2. Izdevums. Pīrsons.

a) Kāda ir caurules kontūra?
b) Atrodiet taisnstūra laukumu
c) Atrodiet cilindra šķērsgriezuma laukumu.

Risinājums

Caurules kontūra ir L = π.D = 5π in = 15,71 collas.

Risinājums b

Taisnstūra laukums ir pamatnes x augstums, ar pamatni L jau ir aprēķināts un augstums ir 10 collas saskaņā ar paziņojumu, tāpēc:

A = 15,71 x 10 collas = 157,1 in ² .

Risinājums c

Visbeidzot, pieprasīto platību aprēķina šādi:

A = π (D / 2) ² = (π / 4) D ² = (π / 4) x (5 collas) ² = 19,63 collas ² .

- 2. piemērs

Aprēķiniet iekrāsoto laukumu 5.a attēlā. Laukumam ir L puse.

6. attēls. Kreisajā attēlā atrodiet aizēnoto laukumu. Jiménez, R. Matemātika II. Ģeometrija un trigonometrija. 2. Izdevums. Pīrsons.

Risinājums

5.b attēlā ir zīmēti divi vienāda lieluma pusloki rozā un zilā krāsā, kas ir uzlikti uz sākotnējā attēla. Starp viņiem viņi veido pilnīgu apli. Ja atradīsit kvadrāta laukumu un atņemsit apļa laukumu, 5.b attēlā jūs izveidosit ēnoto laukumu. Un, rūpīgi izpētot, izrādās, ka tā ir puse no aizēnotajiem laukumiem 5a.

-Square laukums: L ^2-
Pusloka diametrs: L ^- Apļa platums
: π. (L / 2) ² = (π / 4) L ²
-Ar apgabalu atšķirība = puse no aizēnotā laukuma =

L ² - (π / 4) L ² = L ² = 0,2146 L ²

-Aizklātais laukums = 2 x 0,2146 L ² = 0,4292L2

Cik diametru ir apkārtmēram?

Uz apļa var uzzīmēt bezgalīgus diametrus, un jebkurš no tiem mēra to pašu.

Atsauces

1. Antonio. Reuleaux trīsstūri un citas nemainīga platuma līknes. Atgūts no: divulgators.com.
2. Baldor, A. 2002. Plaknes un kosmosa ģeometrija un trigonometrija. Patria kultūras grupa.
3. Jiménez, R. Matemātika II. Ģeometrija un trigonometrija. 2. Izdevums. Pīrsons.
4. Wikipedia. Reuleaux trīsstūris. Atgūts no: es.wikipedia.org.
5. Volframs Matemātika. Diametrs. Atgūts no: mathworld.wolfram.com.