TRĪSSTŪRA NEVIENLĪDZĪBA: PIERĀDĪJUMS, PIEMĒRI, ATRISINĀTI VINGRINĀJUMI - MATEMĀTIKA - 2025

To sauc par nevienlīdzīgu trīsstūra īpašību, kas atbilst diviem reāliem skaitļiem, kas sastāv no to summas absolūtās vērtības vienmēr ir mazāka vai vienāda ar to absolūto vērtību summu. Šis īpašums ir pazīstams arī kā Minkovska nevienādība vai trīsstūrveida nevienlīdzība.

Šo skaitļu īpašību sauc par trīsstūrveida nevienlīdzību, jo trijstūros gadās, ka vienas malas garums vienmēr ir mazāks vai vienāds ar pārējo divu summu, kaut arī šī nevienādība ne vienmēr attiecas uz trijstūru laukumu.

1. attēls. Divu skaitļu summas absolūtā vērtība vienmēr ir mazāka vai vienāda ar to absolūto vērtību summu. (Sagatavojis R. Peress)

Ir vairāki trīsstūrveida nevienādības pierādījumi reālajos skaitļos, taču šajā gadījumā mēs to izvēlēsimies, pamatojoties uz absolūtās vērtības īpašībām un binomālo kvadrātu.

Teorēma: Katram skaitļu a un b pārim, kas pieder pie reālajiem skaitļiem, kas mums ir:

- a + b - ≤ - a - + - b -

Demonstrācija

Sākumā apsveram nevienlīdzības pirmo locekli, kurš tiks sadalīts kvadrātā:

- a + b - ^ 2 = (a + b) ^ 2 = a ^ 2 + 2 ab + b ^ 2 (1. ek.)

Iepriekšējā solī mēs izmantojām īpašību, ka jebkurš skaitlis kvadrātā ir vienāds ar minētā kvadrāta skaitļa absolūto vērtību, tas ir: -x- ^ 2 = x ^ 2. Ir izmantota arī kvadrātveida binomijas paplašināšana.

Katrs cipars x ir mazāks vai vienāds ar tā absolūto vērtību. Ja skaitlis ir pozitīvs, tas ir vienāds, bet, ja skaitlis ir negatīvs, tas vienmēr būs mazāks par pozitīvu. Šajā gadījumā tās absolūtā vērtība, tas ir, var apgalvot, ka x ≤ - x -.

Produkts (ab) ir skaitlis, tāpēc piemēro, ka (ab) ≤ - ab -. Kad šis īpašums tiek piemērots (1. ekvivalents), mums ir:

- a + b - ^ 2 = a ^ 2 + 2 (ab) + b ^ 2 ≤ a ^ 2 + 2 - ab - + b ^ 2 (Eq. 2)

Ņemot vērā to, ka - ab - = - a - b - la (Eq. 2) var uzrakstīt šādi:

- a + b - ^ 2 ≤ a ^ 2 + 2 - a - b - + b ^ 2 (Eq. 3)

Bet, tā kā mēs iepriekš teicām, ka skaitļa kvadrāts ir vienāds ar kvadrātā skaitļa absolūto vērtību, tad 3. vienādojumu var pārrakstīt šādi:

- a + b - ^ 2 ≤ -a- ^ 2 + 2 -a- -b- + -b- ^ 2 (Eq. 4)

Otrajā nevienlīdzības loceklī tiek atzīts ievērojams produkts, kas, piemērojot, noved pie:

- a + b - ^ 2 ≤ (-a- + -b -) ^ 2 (5. ek.)

Iepriekšējā izteiksmē jāatzīmē, ka abās nevienlīdzības daļās kvadrātā izteiktās vērtības ir pozitīvas, tāpēc arī jāpārliecinās, ka:

- a + b - ≤ (-a- + -b-) (Eq. 6)

Iepriekšējais izteiciens ir tieši tas, ko jūs vēlējāties parādīt.

Piemēri

Tālāk mēs pārbaudīsim trīsstūrveida nevienlīdzību ar vairākiem piemēriem.

1. piemērs

Mēs ņemam vērtību a = 2 un vērtību b = 5, tas ir, abus pozitīvos skaitļus, un mēs pārbaudām, vai nevienlīdzība ir apmierināta vai nē.

- 2 + 5 - ≤ -2- + -5-

- 7 - ≤ -2- + -5-

7 ≤ 2+ 5

Vienādība ir pārbaudīta, tāpēc ir izpildīta trīsstūra nevienlīdzības teorēma.

2. piemērs

Tiek izvēlētas šādas vērtības a = 2 un b = -5, tas ir, pozitīvs skaitlis un otrs negatīvs, mēs pārbaudām, vai nevienlīdzība ir apmierināta.

- 2 - 5 - ≤ -2- + - 5-

- -3 - ≤ -2- + - 5-

3 ≤ 2 + 5

Vienādība ir apmierināta, tāpēc ir pārbaudīta trīsstūrveida nevienlīdzības teorēma.

3. piemērs

Mēs ņemam vērtību a = -2 un vērtību b = 5, tas ir, negatīvu skaitli un otru pozitīvu, mēs pārbaudām, vai nevienlīdzība ir apmierināta.

- -2 + 5 - ≤ -2- + -5-

- 3 - ≤ --2- + -5-

3 ≤ 2 + 5

Nevienlīdzība ir pārbaudīta, tāpēc teorēma ir izpildīta.

4. piemērs

Tiek izvēlētas šādas vērtības a = -2 un b = -5, tas ir, abi negatīvie skaitļi, un mēs pārbaudām, vai nevienlīdzība ir apmierināta.

- -2 - 5 - ≤ --2- + - 5-

- -7 - ≤ --2- + - 5-

7 ≤ 2+ 5

Vienlīdzība ir pārbaudīta, tāpēc ir izpildīta Minkovska nevienlīdzības teorēma.

5. piemērs

Mēs ņemam vērtību a = 0 un vērtību b = 5, tas ir, skaitli nulli un otru pozitīvu, tad mēs pārbaudām, vai nevienlīdzība ir apmierināta vai nē.

- 0 + 5 - ≤ -0- + -5-

- 5 - ≤ -0- + -5-

5 ≤ 0+ 5

Vienādība ir izpildīta, tāpēc ir pārbaudīta trīsstūra nevienlīdzības teorēma.

6. piemērs

Mēs ņemam vērtību a = 0 un vērtību b = -7, tas ir, skaitli nulli un otru pozitīvu, tad mēs pārbaudām, vai nevienlīdzība ir apmierināta vai nē.

- 0 - 7 - ≤ -0- + - 7-

- -7 - ≤ -0- + --7-

7 ≤ 0+ 7

Vienādība ir pārbaudīta, tāpēc ir izpildīta trīsstūrveida nevienlīdzības teorēma.

Atrisināti vingrinājumi

Turpmākajos vingrinājumos ģeometriski attēlojiet trijstūra nevienādību vai Minkovska nevienādību skaitļiem a un b.

Cipars a tiks attēlots kā segments uz X ass, tā sākums O sakrīt ar X ass nulli un segmenta otrs gals (punktā P) būs X ass pozitīvā virzienā (pa labi), ja a > 0, bet, ja a <0, tas būs vērsts pret X ass negatīvo virzienu, cik vienību norāda tās absolūtā vērtība.

Līdzīgi skaitlis b tiks attēlots kā segments, kura izcelsme ir punktā P. Otra galējība, tas ir, punkts Q būs pa labi no P, ja b ir pozitīvs (b> 0), un punkts Q būs -b - vienības pa kreisi no P, ja b <0.

1. vingrinājums

Grafējiet trijstūra nevienādību a = 5 un b = 3 - a + b - ≤ - a - + - b -, kur c = a + b.

2. vingrinājums

Grafējiet trīsstūrveida nevienādību a = 5 un b = -3.

- a + b - ≤ - a - + - b -, kur c = a + b.

3. vingrinājums

Grafiski parādiet trijstūra nevienādību a = -5 un b = 3.

- a + b - ≤ - a - + - b -, kur c = a + b.

4. vingrinājums

Grafiski konstruējiet trīsstūrveida nevienādību a = -5 un b = -3.

- a + b - ≤ - a - + - b -, kur c = a + b.

Atsauces

1. E. Vaitsits. Būla algebra un tās pielietojumi. Redakcijas uzņēmums Continental CA
2. Mícheál O 'Searcoid. (2003) Abstraktās analīzes elementi. . Matemātikas katedra. Dublinas universitātes koledža, Beldfīlda, Dublinda.
3. J. van Wyk. (2006) Matemātika un inženierzinātnes datorzinātnēs. Datorzinātņu un tehnoloģijas institūts. Nacionālais standartu birojs. Vašingtona, DC 20234
4. Ēriks Lehmans. Datorzinātnes matemātika. Google Inc.
5. F Thomson Leighton (1980). Aprēķins. Masačūsetsas Tehnoloģiju institūta Matemātikas un datorzinātņu katedra un AI laboratorija.
6. Hanas akadēmija. Trīsstūra nevienlīdzības teorēma. Atgūts no: khanacademy.org
7. Wikipedia. Trīsstūrveida nevienādība. Atgūts no: es. wikipedia.com