SECĪGI ATVASINĀJUMI (AR ATRISINĀTIEM VINGRINĀJUMIEM) - MATEMĀTIKA - 2025

The secīgie atvasinājumi ir tie, kas iegūts no viena funkcija pēc otrās atvasinājuma. Secīgo atvasinājumu aprēķināšanas process ir šāds: mums ir funkcija f, kuru mēs varam atvasināt un tādējādi iegūt atvasinājuma funkciju f '. Šo f atvasinājumu mēs varam iegūt atkal, iegūstot (f ')'.

Šo jauno funkciju sauc par otro atvasinājumu; visi atvasinātie, kas aprēķināti no otrā, ir secīgi; Tiem, ko sauc arī par augstāku pakāpi, ir lieliski pielietojumi, piemēram, informācijas sniegšana par funkcijas grafika grafiku, otrā atvasinājuma pārbaude attiecībā uz relatīvajām galējībām un bezgalīgo virkņu noteikšana.

Definīcija

Izmantojot Leibnica notāciju, mums ir noteikts, ka funkcijas "y" atvasinājums attiecībā uz "x" ir dy / dx. Lai izteiktu otro y atvasinājumu, izmantojot Leibnica apzīmējumu, mēs rakstām šādi:

Kopumā secīgus atvasinājumus mēs varam izteikt šādi ar Leibnica apzīmējumu, kur n apzīmē atvasinājuma secību.

Pārējie izmantotie apzīmējumi ir šādi:

Daži piemēri, kur mēs varam redzēt dažādus apzīmējumus:

1. piemērs

Iegūstiet visus funkcijas f atvasinājumus, ko definē:

Izmantojot parastās atvasināšanas metodes, mums ir, ka f atvasinājums ir:

Atkārtojot procesu, mēs varam iegūt otro atvasinājumu, trešo atvasinājumu utt.

Ņemiet vērā, ka ceturtais atvasinājums ir nulle un nulles atvasinājums ir nulle, tāpēc mums ir:

2. piemērs

Aprēķiniet šādas funkcijas ceturto atvasinājumu:

Atvasinātās dotās funkcijas rezultātā:

Ātrums un paātrinājums

Viena no motivācijām, kas noveda pie atvasinājuma atklāšanas, bija momentāna ātruma definīcijas meklēšana. Formāla definīcija ir šāda:

Ļaujiet y = f (t) būt funkcijai, kuras grafiks apraksta daļiņas trajektoriju laikā t, tad tās ātrumu laikā t izsaka:

Kad ir iegūts daļiņas ātrums, mēs varam aprēķināt momentāno paātrinājumu, ko nosaka šādi:

Daļiņas, kuras ceļu nosaka y = f (t), momentānais paātrinājums ir:

1. piemērs

Daļiņa pārvietojas pa līniju atbilstoši pozīcijas funkcijai:

Kur "y" mēra metros un "t" sekundēs.

- Kurā mirklī tā ātrums ir 0?

- Kurā brīdī tā paātrinājums ir 0?

Atvasinot pozīcijas funkcijas «un», mums ir noteikts, ka tās ātrumu un paātrinājumu attiecīgi aprēķina:

Lai atbildētu uz pirmo jautājumu, ir pietiekami noteikt, kad funkcija v kļūst nulle; tas ir:

Mēs turpinām šādu jautājumu analogā veidā:

2. piemērs

Daļiņa pārvietojas pa līniju saskaņā ar šādu kustības vienādojumu:

Nosaka "t, y" un "v", ja a = 0.

Zinot, ka ātrumu un paātrinājumu piešķir

Mēs turpinām iegūt un iegūt:

Iegūstot a = 0, mums ir:

No kurienes mēs varam secināt, ka t vērtība a ir vienāda ar nulli ir t = 1.

Tad, novērtējot pozīcijas funkciju un ātruma funkciju pie t = 1, mums ir:

Lietojumprogrammas

Precīza atvasināšana

Secīgus atvasinājumus var iegūt arī ar netiešu atvasināšanu.

Piemērs

Ņemot vērā šo elipsi, atrodiet "y":

Netieši iegūstot attiecībā uz x, mums ir:

Tad netieši atkārtojot attiecībā uz x, mums dod:

Visbeidzot, mums ir:

Relatīvās galējības

Vēl viena izmantošana, ko mēs varam dot otrās kārtas atvasinājumiem, ir funkcijas relatīvo galējību aprēķināšana.

Pirmā atvasinājuma kritērijs vietējām galējībām saka mums, ka, ja mums ir nepārtraukta funkcija f ar intervālu (a, b) un ir c, kas pieder pie šī intervāla, ka f 'pazūd c (tas ir, ka c ir kritisks punkts), var rasties viens no trim gadījumiem:

- Ja f´ (x)> 0 jebkuram x, kas pieder (a, c), un f´ (x) <0 x, kas pieder c (b), tad f (c) ir vietējais maksimums.

- Ja f´ (x) <0 jebkuram x, kas pieder (a, c), un f´ (x)> 0 x, kas pieder c, b), tad f (c) ir vietējais minimums.

- Ja f´ (x) ir tāda pati zīme (a, c) un (c, b), tas nozīmē, ka f (c) nav vietēja galējība.

Izmantojot otrā atvasinājuma kritēriju, mēs varam uzzināt, vai funkcijas kritiskais skaits ir vietējais maksimums vai minimums, neredzot, kāda ir funkcijas pazīme iepriekšminētajos intervālos.

Otrās novirzes kritērijs norāda, ka, ja f´ (c) = 0 un ka f´´ (x) ir nepārtraukts (a, b), notiek tā, ka, ja f´´ (c)> 0, tad f (c) ir vietējais minimums un, ja f´´ (c) <0, tad f (c) ir vietējais maksimums.

Ja f´´ (c) = 0, mēs neko nevaram secināt.

Piemērs

Ņemot vērā funkciju f (x) = x ⁴ + (4/3) x ³ - 4x ² , atrodiet f relatīvos maksimumus un minimumus, izmantojot otrā atvasinājuma kritēriju.

Vispirms aprēķina f´ (x) un f´´ (x) un mums ir:

f´ (x) = 4x ³ + 4x ² - 8x

f´´ (x) = 12x ² + 8x - 8

Tagad f´ (x) = 0 ja un tikai tad, ja 4x (x + 2) (x - 1) = 0, un tas notiek, ja x = 0, x = 1 vai x = - 2.

Lai noteiktu, vai iegūtie kritiskie skaitļi ir relatīvas galējības, ir pietiekami novērtēt ar f'´ un tādējādi novērot tā zīmi.

f´´ (0) = - 8, tātad f (0) ir vietējais maksimums.

f´´ (1) = 12, tātad f (1) ir vietējais minimums.

f´´ (- 2) = 24, tātad f (- 2) ir vietējais minimums.

Teilora sērija

F ir funkcija, kas definēta šādi:

Šai funkcijai ir konverģences rādiuss R> 0, un tai ir visu kārtas atvasinājumi (-R, R). F secīgie atvasinājumi dod mums:

Ja x = 0, tad c _n vērtības kā atvasinājumu funkciju var iegūt šādi:

Ja par f tiek ņemts = 0 (tas ir, f ^ 0 = f), tad funkciju var pārrakstīt šādi:

Tagad apskatīsim funkciju kā virkņu jaudu pie x = a:

Ja mēs veiktu analīzi, kas ir analoga iepriekšējai, mums būtu, ka funkciju f mēs varam uzrakstīt šādi:

Šīs sērijas ir pazīstamas kā Teilora sērijas no f līdz a. Kad a = 0, mums ir konkrētais gadījums, ko sauc par Maclaurin sēriju. Šim sērijas veidam ir liela matemātiska nozīme, jo īpaši skaitliskajā analīzē, jo, pateicoties tām, mēs varam definēt tādas datoru funkcijas kā e ^x , sin (x) un cos (x).

Piemērs

Iegūstiet Maclaurin sēriju e ^x .

Ņemiet vērā: ja f (x) = e ^x , tad f ⁽ⁿ⁾ (x) = e ^x un f ⁽ⁿ⁾ (0) = 1, tātad tā Maklaurīna sērija ir:

Atsauces

1. Frenks Airess, Dž., Un Mendelsons, E. (nd). Aprēķins 5ed. Mc Graw Hill.
2. Leithold, L. (1992). Aprēķins ar analītisko ģeometriju. HARLA, SA
3. Purcell, EJ, Varberg, D., & Rigdon, SE (2007). Aprēķins. Meksika: Pīrsona izglītība.
4. Saenz, J. (2005). Diferenciālie aprēķini. Hipotenūza.
5. Saenz, J. (nd). Integrāls aprēķins. Hipotenūza.