DAĻĒJI ATVASINĀJUMI: APZĪMĒJUMI, PIEMĒRI UN ATRISINĀTI VINGRINĀJUMI - MATEMĀTIKA - 2025

Par daļēju atvasinājumi ar funkciju vairāki mainīgie ir tie, kas nosaka izmaiņas atkarībā no funkcijas, kad viens no mainīgajiem ir arī bezgalīgi mazs variāciju, bet pārējie mainīgie lielumi nemainās.

Lai ideja būtu konkrētāka, pieņemsim, ka ir divu mainīgo funkcijas gadījums: z = f (x, y). Funkcijas f daļējs atvasinājums attiecībā uz mainīgo x tiek aprēķināts kā parastais atvasinājums attiecībā uz x, bet mainīgo y ņem kā it kā nemainīgu.

1. attēls. Funkcija f (x, y) un tās daļējie atvasinājumi ∂ _x f y ∂ _y f punktā P. (Izstrādājis R. Peress ar ģeogebru)

Daļējs atvasinājumu apzīmējums

Funkcijas f (x, y) daļēju atvasinātu darbību ar mainīgo x apzīmē kādā no šiem veidiem:

Daļējos atvasinājumos tiek izmantots simbols ∂ (sava ​​veida noapaļots d burts, saukts arī par Jacobi's d) pretstatā parastajam atvasinājumam vienas mainīgās funkcijas gadījumā, ja atvasinājumam tiek izmantots burts d.

Vispārīgi runājot, daudzdimensiju funkcijas daļējs atvasinājums attiecībā uz vienu no tā mainīgajiem rada jaunu funkciju tajos pašos sākotnējās funkcijas mainīgajos:

∂ _x f (x, y) = g (x, y)

∂ _y f (x, y) = h (x, y).

Daļēja atvasinājuma aprēķins un nozīme

Lai noteiktu funkcijas maiņas ātrumu vai slīpumu noteiktam punktam (x = a, y = b) virzienā, kas ir paralēls X asij:

1- Tiek aprēķināta funkcija ∂ _x f (x, y) = g (x, y), mainīgajā x ņemot parasto atvasinājumu un atstājot mainīgo y nemainīgu vai nemainīgu.

2 - Tad tiek aizstāta punkta x = a un y = b vērtība, kurā mēs vēlamies uzzināt funkcijas izmaiņas ātrumu x virzienā:

{Slīpums x virzienā punktā (a, b)} = ∂ _x f (a, b).

3- Lai aprēķinātu y virziena izmaiņu ātrumu koordinātu punktā (a, b), vispirms aprēķina ∂ _un f (x, y) = h (x, y).

4- Tad punkts (x = a, y = b) tiek aizstāts ar iepriekšējo rezultātu, lai iegūtu:

{Slīpums y virzienā punktā (a, b)} = ∂ _y f (a, b)

Daļēju atvasinājumu piemēri

Daži daļēju atvasinājumu piemēri ir šādi:

1. piemērs

Ņemot vērā funkciju:

f (x, y) = -x ^ 2 - y ^ 2 + 6

Atrodiet funkcijas f daļējos atvasinājumus attiecībā uz mainīgo x un mainīgo y.

Risinājums:

∂ xf = -2x

∂ yf = -2y

Ņemiet vērā, ka, lai aprēķinātu funkcijas f daļēju atvasinājumu attiecībā uz mainīgo x, tika veikts parastais atvasinājums attiecībā uz x, bet mainīgais y tika pieņemts tā, it kā tas būtu nemainīgs. Līdzīgi, aprēķinot f daļējo atvasinājumu attiecībā uz y, mainīgais x ir pieņemts tā, it kā tas būtu konstants.

Funkcija f (x, y) ir virsma, ko sauc par paraboloīdu un kas parādīta 1. attēlā okera krāsā.

2. piemērs

No 1. piemēra atrodiet funkcijas f (x, y) izmaiņu ātrumu (vai slīpumu) X ass un Y ass virzienā (x = 1, y = 2).

Risinājums: Lai atrastu nogāzes x un y virzienos dotajā punktā, vienkārši aizstājiet punkta vērtības funkcijā ∂ _x f (x, y) un funkcijā ∂ _y f (x, y):

∂ _x f (1,2) = -2⋅ 1 = -2

∂ _un f (1,2) = -2⋅ 2 = -4

1. attēlā parādīta līknes (sarkanā krāsā) pieskares līnija, ko nosaka funkcijas f (x, y) krustojums ar plakni y = 2, šīs līnijas slīpums ir -2. 1. attēlā parādīta arī pieskares līnija (zaļā krāsā) līknei, kas nosaka funkcijas f krustojumu ar plakni x = 1; Šīs līnijas slīpums ir -4.

Vingrinājumi

1. vingrinājums

Koniskais stikls noteiktā laikā satur ūdeni tā, lai ūdens virsmai būtu rādiuss r un dziļums h. Bet stikla apakšā ir neliels caurums, caur kuru ūdens tiek zaudēts ar ātrumu C kubikcentimetri sekundē. Nosaka nolaišanās ātrumu no ūdens virsmas centimetros sekundē.

Risinājums:

Pirmkārt, ir jāatceras, ka ūdens tilpums attiecīgajā mirklī ir:

Apjoms ir divu mainīgo lieluma, rādiusa r un dziļuma h, funkcija: V (r, h).

Kad tilpums mainās par bezgalīgu daudzumu dV, mainās arī ūdens virsmas rādiuss r un ūdens dziļums h atbilstoši šādām attiecībām:

dV = ∂ _r V dr + ∂ _h V dh

Mēs turpinām aprēķināt V daļējos atvasinājumus attiecīgi attiecībā uz r un h:

∂ _r V = ∂ _r (⅓ π r ^ 2 h) = ⅔ π rh

∂ _h V = ∂ _h (⅓ π r ^ 2 h) = ⅓ π r ^ 2

Turklāt rādiuss r un dziļums h atbilst šādām attiecībām:

Abu locekļu dalīšana ar laika starpību dt dod:

dV / dt = π r ^ 2 (dh / dt)

Bet dV / dt ir pazaudētā ūdens tilpums laika vienībā, kas, kā zināms, ir C centimetri sekundē, bet dh / dt ir brīvā ūdens virsmas nolaišanās ātrums, ko sauc par v. Tas ir, ūdens virsma dotajā mirklī nolaižas ar ātrumu v (cm / s), ko piešķir:

v = C / (π r ^ 2).

Kā skaitlisku pielietojumu pieņemsim, ka r = 3 cm, h = 4 cm un noplūdes ātrums C ir 3 cm ^ 3 / s. Tad virsmas nolaišanās ātrums šajā mirklī ir:

v = 3 / (π 3 ^ 2) = 0,11 cm / s = 1,1 mm / s.

2. vingrinājums

Klairauda - Švarca teorēma norāda, ka, ja funkcija ir nepārtraukta neatkarīgajos mainīgajos un arī tās daļējie atvasinājumi attiecībā pret neatkarīgajiem mainīgajiem ir nepārtraukti, tad otrās kārtas jauktos atvasinājumus var nomainīt. Pārbaudiet šo funkcijas teorēmu

f (x, y) = x ^ 2 y, tas ir, ir jābūt taisnībai, ka f _xy f = ∂ _yx f.

Risinājums:

∂ _xy f = ∂ _x (∂ _y f), kamēr ∂ _yx f = ∂ _y (∂ _x f)

∂ _x f = 2 xy; ∂ _y f = x ^ 2

∂ _xy f = ∂ _x (∂ _y f) = 2x

∂ _yx f = ∂ _y (∂ _x f) = 2x

Ir pierādīts, ka Švarca teorēma pastāv, jo funkcija f un tās daļējie atvasinājumi ir nepārtraukti visiem reālajiem skaitļiem.

Atsauces

1. Frenks Airess, Dž., Un Mendelsons, E. (2000). Aprēķins 5ed. Mc Graw Hill.
2. Leithold, L. (1992). Aprēķins ar analītisko ģeometriju. HARLA, SA
3. Purcell, EJ, Varberg, D., & Rigdon, SE (2007). Aprēķins. Meksika: Pīrsona izglītība.
4. Saenz, J. (2005). Diferenciālie aprēķini. Hipotenūza.
5. Saenz, J. (2006). Integrāls aprēķins. Hipotenūza.
6. Wikipedia. Daļējs atvasinājums. Atgūts no: es.wikipedia.com