NETIEŠIE ATVASINĀJUMI: KĀ TIE TIEK RISINĀTI UN VINGRINĀJUMI ATRISINĀTI - MATEMĀTIKA - 2025

Par netieši atvasinājumi ir līdzekļi, ko izmanto kā diferenciāciju tehniku piemērota funkcijām. Tos piemēro, ja parastās metodēs nav iespējams atrisināt atkarīgā mainīgā atvasināšanu. Šo klīrensu veic kā neatkarīgā mainīgā funkciju.

Piemēram, izteiksmē 3xy ³ - 2y + xy ² = xy, jūs nevarat iegūt izteiksmi, kas definē “y” kā “x” funkciju. Tātad, iegūstot diferenciālo izteiksmi dy / dx.

Kā tiek atrisināti netiešie atvasinājumi?

Lai atrisinātu netiešu atvasinājumu, mēs sākam ar netiešu izteiksmi. Piemēram: 3xy ³ - 2y + xy ² - xy = 0. Tas jau ir pareizi atrisināts, tomēr tas nav nepieciešams nosacījums, lai iegūtu y atvasinājumu attiecībā pret x. Pēc tam katrs elements tiek iegūts, ievērojot ķēdes noteikumu jauktām funkcijām:

3xy ³ sastāv no 2 mainīgajiem, tāpēc d (3xy ³ ) uzskatīs par funkciju atvasinājumu.

d (3xy ³ ) / dx = 3Y ³ + 3Y ^2. (3x) y '= 3Y ³ + 9xy ² y'

Kur elements y 'ir pazīstams kā' y prime 'un apzīmē dy / dx

-2y To iegūst saskaņā ar likumu KU = K.U '

d (-2y) = -2 y '

xy ^{2 tiek} pieņemts vēl viens diferenciālis, ko veido funkciju produkts

d (xy ² ) = y ² + 2xy y '

-oksiju izturas homologiski

d (-xy) = -y - x y '

Tie tiek aizstāti vienlīdzīgi, zinot, ka nulles atvasinājums ir nulle.

3Y ³ + 9xy ² y '- 2 y' + y ² + 2xy y '- y - x y' = 0

Elementi, kuriem ir termins y ', ir sagrupēti vienā vienlīdzības pusē

3y ³ + y ² - y = -9xy ² y '+ 2 y' + x y '

Kopīgo koeficientu y 'iegūst no vienlīdzības labās puses

3y ³ + y ² - y = y '(-9xy ² + x + 2)

Visbeidzot tiek izdzēsts termins, kas reizina y '. Tādējādi iegūstot izteiksmi, kas atbilst y netiešajam atvasinājumam attiecībā pret x.

y '= dy / dx = (3Y ³ + y ² - y) / (- 9xy ² + x + 2)

Ķēdes noteikums

Netiešā atvasinājumā vienmēr tiek ievērots ķēdes noteikums. Visas diferenciālās izteiksmes tiks norādītas kā neatkarīgā mainīgā X funkcija. Tātad katram mainīgajam θ, kas nav X, pēc atvasināšanas jāietver termins dθ / dx.

Šis termins parādīsies tikai pirmajā pakāpē vai ar eksponentu, kas vienāds ar 1. Šī kvalitāte to padara pilnīgi skaidru, izmantojot tradicionālās faktoringa metodes. Tādējādi ir iespējams iegūt izteiksmi, kas nosaka diferenciāli dθ / dx.

Ķēdes noteikums parāda diferenciācijas vai atvasināšanas procesa progresīvo raksturu. Kur katrai saliktajai funkcijai f ir f atšķirīgā izteiksme

Darbības kārtība

Katrā piemērotajā atvasināšanas formulā vai likumā ir jāņem vērā mainīgo lielumu secība. Tiek ievēroti ar neatkarīgo mainīgo saistītie kritēriji, nemainot tā korelāciju ar atkarīgo mainīgo.

Atkarīgā mainīgā attiecības atvasināšanas brīdī tiek ņemtas tieši; Izņemot to, ka tā tiks uzskatīta par otro funkciju, tāpēc ķēdes noteikuma kritērijs tiek piemērots jauktām funkcijām.

To var attīstīt izteiksmēs ar vairāk nekā 2 mainīgajiem. Pēc vieniem un tiem pašiem principiem tiks apzīmētas visas atšķirības, kas attiecas uz atkarīgajiem mainīgajiem.

Grafiski tiek apstrādāts tas pats kritērijs, kas nosaka atvasinājumu. Kamēr atvasinājums ir pieskares līnijas slīpums pret līkni plaknē, pārējie diferenciāļi, kas pieder pie atkarīgajiem mainīgajiem (dy / dx, dz / dx), apzīmē plaknes, kas pieskaras vektora ķermeņiem un ko apraksta vairāku mainīgo funkcijas.

Netiešs

Funkcija tiek uzskatīta par netieši noteikts, ja izteiksme y = f (x) var tikt attēlots kā multiplā mainīgā funkciju F (x, y) = 0 tik ilgi, kamēr F ir definēts R ² plaknē .

3xy ³ - 2y + xy ² = xy var rakstīt formā 3xy ³ - 2y + xy ² - xy = 0

Ņemot vērā to, ka funkciju y = f (x) nav iespējams skaidri izteikt.

Vēsture

Apmēram septiņpadsmitajā gadsimtā dažādi matemātikas pētnieki sāka nosaukt diferenciālo aprēķinu. Pirmo reizi tas tika pieminēts ar Ņūtona un Leibnica ieguldījumu. Abas apstrādāja diferenciālo aprēķinu no dažādiem skatu punktiem, taču to rezultāti sakrita.

Kamēr Ņūtons koncentrējās uz diferenciāciju kā izmaiņu ātrumu vai ātrumu, Leibnica pieeja bija ģeometriskāka. Var teikt, ka Ņūtons uzbruka minējumiem, ko atstājuši Apolonijs no Perges un Leibnizs, pieļaujot Fermata ģeometriskās idejas.

Netiešais atvasinājums parādās uzreiz, apsverot diferenciālo un integrālo vienādojumu. Tie paplašināja Leibnica ģeometrisko koncepciju līdz R ³ un pat daudzdimensionālām telpām.

Lietojumprogrammas

Netiešie atvasinājumi tiek izmantoti dažādās situācijās. Tās ir izplatītas valūtas maiņas kursa problēmās starp saistītajiem mainīgajiem, kur atkarībā no pētījuma jēgas mainīgie tiks uzskatīti par atkarīgiem vai neatkarīgiem.

Viņiem ir arī interesanti ģeometriski pielietojumi, piemēram, refleksijas vai ēnu problēmās, uz figūrām, kuru formu var matemātiski modelēt.

Tos bieži izmanto ekonomikas un inženierzinātnēs, kā arī dažādos dabas parādību un eksperimentālo ēku pētījumos.

Atrisināti vingrinājumi

1. vingrinājums

Definējiet netiešo izteiksmi, kas nosaka dy / dx

Katrs izteiksmes elements ir diferencēts

Izveido ķēdes noteikumu katrā kompetentajā gadījumā

Vienādības vienā pusē grupējot elementus, kuriem ir dy / dx

Tas tiek ņemts vērā, izmantojot kopējo koeficientu

Tas tiek atrisināts, iegūstot meklēto izteiksmi

2. vingrinājums

Definējiet netiešo izteiksmi, kas nosaka dy / dx

Izsakot veicamos atvasinājumus

Netieša atvasināšana saskaņā ar ķēdes likumu

Faktoringa kopējie elementi

Grupējot terminu dy / dx vienā vienlīdzības pusē

Kopējais koeficients diferenciālajam elementam

Mēs izolējam un iegūstam meklēto izteiksmi

Atsauces

1. Atsevišķa mainīgā aprēķins. Rons Larsons, Brūss H. Edvards. Cengagas mācības, 10. novembrī 2008. gads
2. Netiešās funkcijas teorēma: vēsture, teorija un lietojumprogrammas. Stīvens G. Krants, Harolds R. Parks. Springer Science & Business Media, 9. novembris. 2012. gads
3. Vairāku mainīgo analīze. Satish Širali, Harkrishan Lal Vasudeva. Springer Science & Business Media, 13. decembris. 2010. gads
4. Sistēmas dinamika: mehatronisko sistēmu modelēšana, modelēšana un vadība. Prāvests C. Karnopps, Donalds L. Margolis, Ronalds C. Rozenbergs. Džons Vilijs un dēli, 7. marts 2012. gads
5. Aprēķins: matemātika un modelēšana. Viljams Bauldijs, Džozefs R. Fiedlers, Frenks R. Giordano, Eds Lodi, Riks Vitrajs. Addison Wesley Longman, 1. janvāris 1999. gads