ALGEBRISKI ATVASINĀJUMI (AR PIEMĒRIEM) - MATEMĀTIKA - 2025

The algebrisko atvasinājumi sastāv no pētījuma atvasinājums gadījumā algebrisko funkcijas. Atvasinājuma jēdziena pirmsākumi meklējami Senajā Grieķijā. Šī jēdziena attīstību motivēja nepieciešamība atrisināt divas svarīgas problēmas - vienu fizikā un otru matemātikā.

Fizikā atvasinājums atrisina kustīga objekta momentāna ātruma noteikšanas problēmu. Matemātikā tas ļauj jums atrast līknes pieskares līniju noteiktā punktā.

Lai gan patiešām ir daudz vairāk problēmu, kuras tiek atrisinātas, izmantojot atvasinājumu, kā arī tā vispārinājumus, rezultāti, kas parādījās pēc tā koncepcijas ieviešanas.

Diferenciālā aprēķina pionieri ir Ņūtons un Leibniza. Pirms formālās definīcijas sniegšanas mēs attīstīsim ideju, kas tai ir pamatā, no matemātiskā un fiziskā viedokļa.

Atvasinājums kā pieskares līnijas slīpums pret līkni

Pieņemsim, ka funkcijas y = f (x) grafiks ir nepārtraukts grafiks (bez virsotnēm, virsotnēm vai spraugām), un lai A = (a, f (a)) tam būtu fiksēts punkts. Mēs vēlamies atrast līnijas F vienādības vienumu ar funkcijas f grafiku punktā A.

Paņemsim jebkuru citu grafika punktu P = (x, f (x)), kas atrodas tuvu punktam A, un novilksim sekvences līniju, kas iet cauri A un P. Secanta līnija ir līnija, kas izliek līknes grafiku par vienu vai vairāk punktu.

Lai iegūtu vēlamo pieskares līniju, mums jāaprēķina tikai slīpums, jo mums jau ir punkts uz līnijas: punkts A.

Ja mēs pārvietojam punktu P pa grafiku un tuvāk un tuvāk punktam A, iepriekšminētā secant līnija tuvosies tangences līnijai, kuru mēs vēlamies atrast. Ņemot robežu, kad "P ir tendence uz A", abas līnijas sakristu, tāpēc arī to slīpums.

Secant līnijas slīpumu norāda

Teiciens, ka P tuvojas A, ir līdzvērtīgs teikumam, ka “x” tuvojas “a”. Tādējādi pieskares līnijas slīpums pret f grafiku punktā A būs vienāds ar:

Iepriekš minēto izteiksmi apzīmē ar f '(a), un to definē kā funkcijas f atvasinājumu punktā „a”. Tāpēc mēs redzam, ka analītiski funkcijas atvasinājums punktā ir robeža, bet ģeometriski tas ir pieskares līnijas slīpums pret funkcijas grafiku punktā.

Tagad mēs aplūkosim šo jēdzienu no fizikas viedokļa. Mēs nonāksim pie tā paša iepriekšējās robežas izpausmes, kaut arī pa citu ceļu, tādējādi iegūstot definīcijas vienprātību.

Atvasinājums kā kustīga objekta momentāns ātrums

Apskatīsim īsu piemēru, ko nozīmē momentāns ātrums. Piemēram, kad tiek teikts, ka automašīna, lai sasniegtu galapunktu, to izdarīja ar ātrumu 100 km stundā, kas nozīmē, ka stundā tā nobrauca 100 km.

Tas nebūt nenozīmē, ka visas stundas laikā automašīna vienmēr bija nobraukusi 100 km, automašīnas spidometrs dažos brīžos varēja atzīmēt mazāk vai vairāk. Ja jums vajadzēja apstāties pie luksofora, jūsu ātrums tajā laikā bija 0 km. Tomēr pēc stundas brauciens bija 100 km.

Tas ir tas, ko sauc par vidējo ātrumu, un to nosaka nobrauktā attāluma un pagājušā laika attiecība, kā mēs tikko redzējām. Tūlītējs ātrums, no otras puses, ir tas, kas noteiktā momentā (laikā) iezīmē automašīnas spidometra adatu.

Apskatīsim to tagad vispārīgāk. Pieņemsim, ka objekts pārvietojas pa līniju un ka šo pārvietojumu attēlo vienādojums s = f (t), kur mainīgais t mēra laiku un mainīgais s pārvietojumu, ņemot vērā tā sākumu momentāns t = 0, šajā laikā tas ir arī nulle, tas ir, f (0) = 0.

Šo funkciju f (t) sauc par pozīcijas funkciju.

Tiek meklēta izteiksme objekta momentānam ātrumam fiksētā momentānā "a". Šajā ātrumā mēs to apzīmēsim ar V (a).

Ļaujiet, lai t būtu jebkurš mirklis, kas ir tuvu tūlītējam "a". Laika intervālā starp “a” un “t” objekta pozīcijas izmaiņas nosaka ar f (t) -f (a).

Vidējais ātrums šajā laika intervālā ir:

Kas ir momentāna ātruma V (a) tuvinājums. Šī tuvināšana būs labāka, jo t tuvosies “a”. Tādējādi

Ņemiet vērā, ka šī izteiksme ir tāda pati kā iepriekšējā gadījumā iegūtā, bet no citas perspektīvas. Tas ir tas, ko sauc par funkcijas f atvasinājumu punktā "a", un kā iepriekš minēts, to apzīmē ar f '(a).

Ņemiet vērā, ka, veicot izmaiņas h = xa, mums ir tas, ka, kad “x” ir tendence uz “a”, “h” ir tendence uz 0, un iepriekšējā robeža tiek pārveidota (līdzvērtīgi) uz:

Abi izteicieni ir līdzvērtīgi, taču dažreiz labāk ir izmantot vienu, nevis otru, atkarībā no gadījuma.

Funkcijas f atvasinājums jebkurā vietā "x", kas pieder pie tā domēna, tiek definēts vispārīgāk kā

Visizplatītākais apzīmējums, kas attēlo funkcijas y = f (x) atvasinājumu, ir tas, ko mēs tikko redzējām (f 'vai y'). Tomēr vēl viens plaši izmantots apzīmējums ir Leibnica apzīmējums, kas attēlots kā jebkurš no šiem izteicieniem:

Tā kā atvasinājums būtībā ir ierobežojums, tas var būt vai nebūt, jo limiti ne vienmēr pastāv. Ja tā pastāv, tiek uzskatīts, ka attiecīgā funkcija ir diferencējama dotajā brīdī.

Algebriskā funkcija

Algebriskā funkcija ir polinomu kombinācija, izmantojot saskaitīšanu, atņemšanu, reizinājumus, koeficientus, spēkus un radikāļus.

Polinoms ir formas izpausme

P _n = a _n x ⁿ + a _n-1 x ^n-1 + a _n-2 x ^n-2 +… + a ₂ x ² + a ₁ x + a ₀

Kur n ir naturāls skaitlis, un visi a _i ar i = 0,1, …, n ir racionāli skaitļi un _n ≠ 0. Šajā gadījumā tiek apgalvots, ka šī polinoma pakāpe ir n.

Šie ir algebrisko funkciju piemēri:

Eksponenciālās, logaritmiskās un trigonometriskās funkcijas šeit nav iekļautas. Atvasināšanas noteikumi, kurus mēs redzēsim tālāk, ir derīgi funkcijām kopumā, bet mēs ierobežosim sevi un piemērosim tos algebrisko funkciju gadījumā.

Apvedceļa noteikumi

Konstantes atvasinājums

Norāda, ka konstantes atvasinājums ir nulle. Tas ir, ja f (x) = c, tad f '(x) = 0. Piemēram, konstanta funkcijas 2 atvasinājums ir vienāds ar 0.

Spēka atvasinājums

Ja f (x) = x ⁿ , tad f '(x) = nx ^n-1 . Piemēram, atvasinājums no x ³ ir 3x ² . Tā rezultātā mēs iegūstam, ka identitātes funkcijas f (x) = x atvasinājums ir f '(x) = 1x ^1-1 = x ⁰ = 1.

Vēl viens piemērs ir šāds: ļaujiet f (x) = 1 / x ² , tad f (x) = x ^-2 un f '(x) = - 2x ^-2-1 = -2x ^-3 .

Šis īpašums ir derīgs arī saknēm, jo ​​saknes ir racionālas, un iepriekšminēto var izmantot arī šajā gadījumā. Piemēram, kvadrātsaknes atvasinājumu piešķir ar

Saskaitīšanas un atņemšanas atvasinājums

Ja f un g ir diferencējamas funkcijas x, tad arī f + g summa ir diferencējama un ir pārliecināts, ka (f + g) '(x) = f' (x) + g '(x).

Līdzīgi mums ir, ka (fg) '(x) = f' (x) -g '(x). Citiem vārdiem sakot, summas (atņemšanas) atvasinājums ir atvasinājumu summa (vai atņemšana).

Piemērs

Ja h (x) = x ² + x-1, tad

h '(x) = (x ² ) + (x)' - (1) '= 2x + 1-0 = 2x + 1.

Atvasināts no produkta

Ja f un g ir diferencējamas funkcijas x, tad reizinājums fg ir arī diferencējams x, un tā ir taisnība, ka

(fg) '(x) = f' (x) g (x) + f (x) g '(x).

Rezultātā no tā izriet, ka, ja c ir konstante un f ir diferencējama funkcija x, tad cf ir arī diferencējama x un (cf) '(x) = cf' (X).

Piemērs

Ja f (x) = 3x (x ² +1), tad

f '(x) = (3x)' (x ² +1) + (3x) (x ² +1) '= 3 (x)' (x ² +1) + 3x

= 3 (1) (x ² +1) + 3x = 3 (x ² +1) + 3x (2x) = 3x ² + 3 + 6x ²

= 9x ² +3.

Koeficienta atvasinājums

Ja f un g ir atšķirami x un g (x) ≠ 0, tad f / g ir arī atšķirams pie x, un ir taisnība, ka

Piemērs: ja h (x) = x ³ / (x ² -5x), tad

h '(x) = / (x ⁵ -5x) ² = / (x ⁵ -5x) ² .

Ķēdes noteikums

Šis noteikums ļauj iegūt funkciju sastāvu. Norādiet šo: ja y = f (u) ir atšķirams pie u, yu = g (x) ir atšķirams pie x, tad saliktā funkcija f (g (x)) ir atšķirama pie x, un tā ir taisnība, ka “= f “(g (x)) g” (x).

Tas ir, saliktās funkcijas atvasinājums ir ārējās funkcijas atvasinājuma (ārējais atvasinājums) un iekšējās funkcijas atvasinājuma (iekšējais atvasinājums) reizinājums.

Piemērs

Ja f (x) = (x ⁴ -2x) ³ , tad

f '(x) = 3 (x ⁴ -2x) ² (x ⁴ -2x)' = 3 (x ⁴ -2x) ² (4x ³ -2).

Ir arī rezultāti funkcijas apgrieztā atvasinājuma aprēķināšanai, kā arī vispārinājumi augstākas kārtas atvasinājumiem. Pieteikumi ir plaši. Starp tiem izceļas tā lietderība optimizācijas problēmās un maksimālās un minimālās funkcijas.

Atsauces

1. Alarcon, S., González, M., & Quintana, H. (2008). Diferenciālie aprēķini. ITM.
2. Kabrera, VM (1997). Aprēķins 4000. Redakcijas Progreso.
3. Castaño, HF (2005). Matemātika pirms aprēķina. Medeljinas Universitāte.
4. Eduardo, NA (2003). Ievads aprēķinā. Sliekšņa izdevumi.
5. Fuentes, A. (2016). PAMATMAKSAS. Ievads aprēķinam. Lulu.com.
6. Purcell, EJ, Rigdon, SE, un Varberg, DE (2007). Aprēķins. Pīrsona izglītība.
7. Saenz, J. (2005). Diferenciālais aprēķins (otrais izdevums). Barquisimeto: hipotenūza.
8. Tomass, GB un Weir, MD (2006). Aprēķins: vairāki mainīgie. Pīrsona izglītība.