VIRVE (ĢEOMETRIJA): GARUMS, TEORĒMA UN VINGRINĀJUMI - MATEMĀTIKA - 2025

Horda , in plaknes ģeometrija, ir līnijas segments, kas savieno divus punktus uz līknes. Tiek uzskatīts, ka līnija, kas satur šo segmentu, ir līknes secīga līnija. Tas bieži ir aplis, bet akordi noteikti var tikt vilkti uz daudzām citām līknēm, piemēram, elipsi un parabolas.

1. attēlā pa kreisi ir līkne, kurai pieder punkti A un B. Akords starp A un B ir zaļais segments. Labajā pusē ir apkārtmērs un viena no tā virknēm, jo ​​ir iespējams zīmēt bezgalības pakāpes.

1. attēls. Pa kreisi patvaļīgas līknes horda un pa labi apļa horda. Avots: Wikimedia Commons.

Apkārtmērā tā diametrs ir īpaši interesants, ko sauc arī par galveno akordu. Tas ir akords, kas vienmēr satur apkārtmēra centru un mēra divreiz lielāku rādiusu.

Nākamajā attēlā parādīts apkārtmēra rādiuss, diametrs, horda un arī loka. Risinot problēmas, ir svarīgi pareizi identificēt katru.

2. attēls. Apkārtnes elementi. Avots: Wikimedia Commons.

Apļa horda garums

Akorda garumu aplī varam aprēķināt no 3.a un 3.b attēla. Ņemiet vērā, ka vienmēr veidojas trīsstūris ar divām vienādām pusēm (vienādsānu): segmentiem OA un OB, kas mēra R, apkārtmēra rādiusu. Trijstūra trešā puse ir segments AB, ko sauc par C, kas precīzi atbilst akorda garumam.

Lai nodalītu leņķi per, kas pastāv starp diviem rādiusiem un kura virsotne ir apkārtmēra centrs O, ir jānovelk līnija perpendikulāri akordam C. Tas ir centrālais leņķis, jo tā virsotne ir centrs, un bisektora līnija ir arī apkārtmēru piestiprinoša līnija.

Tūlīt veidojas divi taisnstūri, kuru hipotenūza mēra R. Tā kā bisektors un līdz ar to diametrs akordu sadala divās vienādās daļās, izrādās, ka viena no kājām ir puse no C, kā norādīts 3.b attēls.

No leņķa sinusa definīcijas:

grēks (θ / 2) = pretējā kāja / hipotenūza = (C / 2) / R

Tādējādi:

sin (θ / 2) = C / 2R

C = 2R sin (θ / 2)

3. attēls. Trijstūris, ko veido divi rādiusi un apkārtmērs, ir vienādsānu (3. attēls), jo tam ir divas vienādas malas. Bisektors to sadala divos taisnstūros (3.b attēls). Avots: sagatavojusi F. Zapata.

Stīgu teorēma

Stīgu teorēma iet šādi:

Nākamajā attēlā parādīti divi tāda paša apkārtmēra akordi: AB un CD, kas krustojas punktā P. Akordā AB ir definēti segmenti AP un PB, savukārt akordā CD ir definēti CP un PD. Tātad, saskaņā ar teorēmu:

AP. PB = CP. P.S.

4. attēls. Apļa akorda teorēma. Avots: F. Zapata.

Atrisināti stīgu vingrinājumi

- 1. vingrinājums

Aplim ir 48 cm garš akords, kas atrodas 7 cm attālumā no centra. Aprēķiniet apļa laukumu un apkārtmēru perimetru.

Risinājums

Lai aprēķinātu apļa A laukumu, pietiek zināt kvadrāta apkārtmēra rādiusu, jo tā ir taisnība:

A = π.R ²

Tagad ar sniegtajiem datiem izveidotais skaitlis ir taisnais trīsstūris, kura kājas ir attiecīgi 7 un 24 cm.

5. attēls. Atrisinātā uzdevuma ģeometrija 1. Avots: F. Zapata.

Tādēļ, lai atrastu vērtību R ² , Pitagora teorēmas c ² = a ² + b ² ir piemērots tieši , jo R ir hipotenūza trijstūra:

R ² = (7 cm) ² + (24 cm) ² = 625 cm ²

Tātad pieprasītā teritorija ir:

A = π. 625 cm ² = 1963,5 cm ²

Attiecībā uz perimetru vai perimetra L garumu to aprēķina pēc:

L = 2π. R

Aizvietojošās vērtības:

R = √625 cm ² = 25 cm

L = 2π. 25 cm = 157,1 cm.

- 2. vingrinājums

Nosakiet apļa akordu, kura vienādojums ir:

x ² + y ² - 6x - 14 g -111 = 0

Akorda viduspunkta koordinātas ir P (17/2; 7/2).

Risinājums

Akorda P viduspunkts neietilpst apkārtmērā, bet akorda gala punkti ir. Problēmu var atrisināt, izmantojot iepriekš izteikto virkņu teorēmu, taču vispirms ir ērti uzrakstīt apkārtmēra vienādojumu kanoniskā formā, lai noteiktu tā rādiusu R un tā centru O.

1. solis: iegūstiet apkārtmēra kanonisko vienādojumu

Apļa ar centru (h, k) kanoniskais vienādojums ir:

(xh) ² + (YK) ² = R ²

Lai to iegūtu, jums jāaizpilda kvadrāti:

(x ² - 6x) + (y ² - 14 g) -111 = 0

Ņemiet vērā, ka 6x = 2. (3x) un 14y = 2. (7y), lai iepriekšējā izteiksme tiktu pārrakstīta šādi, paliekot nemainīgai:

(x ² - 6x + 3 ² -3 ² ) + (y ² - 14 g. + 7 ² -7 ² ) -111 = 0

Un tagad, atceroties ievērojamā produkta definīciju (ab) ² = a ² - 2ab + b ^2, jūs varat rakstīt:

(x - 3) ² - 3 ² + (y - 7) ² - 7 ² - 111 = 0

= (x - 3) ² + (y - 7) ² = 111 + 3 ² + 7 ² → (x - 3) ² + (y - 7) ² = 169

Aplocei ir centrs (3,7) un rādiuss R = √169 = 13. Šajā attēlā parādīta apkārtmēra diagramma un akordi, kas tiks izmantoti teorēmā:

6. attēls. Izšķirta uzdevuma apkārtmēra grafiks. 2. Avots: F. Zapata, izmantojot Mathway tiešsaistes grafisko kalkulatoru.

2. solis: nosakiet segmentus, kurus izmantot virknes teorēmā

Izmantojamie segmenti ir virknes CD un AB, kā norādīts 6. attēlā, abas tiek sagrieztas punktā P, tāpēc:

CP. PD = AP. PB

Tagad mēs atradīsim attālumu starp punktiem O un P, jo tas mums dos segmenta OP garumu. Ja šim garumam pievienosim rādiusu, mums būs segments CP.

Attālums d _OP starp diviem koordinātu punktiem (x ₁ , y ₁ ) un (x ₂ , y ₂ ) ir:

d _OP ² = OP ² = (x ₂ - x ₁ ) ² + (y ₂ - y ₁ ) ² = (3 - 17/2) ² + (7- 7/2) ² = 121/4 + 49/4 = 170/4

d _OP = OP = √170 / 2

Ar visiem iegūtajiem rezultātiem plus grafiku mēs izveidojam šādu segmentu sarakstu (skatīt 6. attēlu):

CO = 13 cm = R

OP = √170 / 2 cm

CP = OP + R = 13 + √170 / 2 cm

PD = OD - OP = 13 - √170 / 2 cm

AP = PB

2.AP = akorda garums

Aizstājot virknes teorēmu:

CP. PD = AP. PB = = AP ²

= AP ²

253/2 = AP ²

AP = √ (253/2)

Virknes garums ir 2.AP = 2 (√253 / 2) = √506

Vai lasītājs varētu problēmu atrisināt citā veidā?

Atsauces

1. Baldor, A. 2004. Plaknes un kosmosa ģeometrija ar trigonometriju. Publicaciones Cultural SA de CV México.
2. C-K12. Akorda garums. Atgūts no: ck12.org.
3. Escobar, J. The Circumference. Atgūts no: matematicas.udea.edu.co.
4. Villena, M. Cónicas. Atgūts no: dspace.espol.edu.ec.
5. Wikipedia. Virve (ģeometrija). Atgūts no: es.wikipedia.org.