ČETRSTŪRIS: ELEMENTI, ĪPAŠĪBAS, KLASIFIKĀCIJA, PIEMĒRI - MATEMĀTIKA - 2025

Četrstūris ir daudzstūris ar četrām pusēm un četras virsotnes. Tās pretējās puses ir tās, kurām nav kopīgu virsotņu, savukārt secīgās puses ir tās, kurām ir kopēja virsotne.

Četrstūrī blakus esošajiem leņķiem ir viena puse, bet pretējiem leņķiem nav kopēju malu. Vēl viena svarīga četrstūra īpašība ir tā, ka tā četru iekšējo leņķu summa ir divreiz lielāka par plaknes leņķi, tas ir, par 360º vai 2π radiāniem.

1. attēls. Dažādi četrstūri. Avots: F. Zapata.

Diagonāles ir segmenti, kas savieno virsotni ar pretējo, un dotajā četrstūrī no katras virsotnes var novilkt vienu diagonāli. Kopējais četrstūra diagonāļu skaits ir divi.

Četrstūri ir skaitļi, kas cilvēcei zināmi kopš seniem laikiem. Par to liecina arheoloģiskie ieraksti, kā arī mūsdienās saglabājušās konstrukcijas.

Tāpat šodien četrstūriem joprojām ir svarīga klātbūtne ikviena ikdienas dzīvē. Lasītājs var atrast šo formu ekrānā, uz kura viņš lasa tekstu tieši šajā brīdī, uz logiem, durvīm, automobiļu detaļām un neskaitāmās citās vietās.

Četrstūra klasifikācija

Saskaņā ar pretējo pušu paralēlismu četrstūri tiek klasificēti šādi:

1. Trapecveida, kad nav paralēles un četrstūris ir izliekts.
2. Trapecveida, ja ir paralēlisms starp vienu pretējo malu pāri.
3. Paralēlogramma, kad tās pretējās malas ir paralēlas divas pa divām.

2. attēls. Četrstūru klasifikācija un apakšklasifikācija. Avots: Wikimedia Commons.

Paralēlogrammas veidi

Savukārt paralelogrammas pēc to leņķiem un sāniem var klasificēt šādi:

1. Taisnstūris ir paralelogramma, kurai ir četri vienādi iekšējie leņķi. Taisnstūra iekšējie leņķi veido taisnu leņķi (90º).
2. Kvadrāts ir taisnstūris ar četrām vienāda lieluma malām.
3. Rombs ir paralelograms ar četrām vienādām pusēm, bet atšķirīgiem blakus esošiem leņķiem.
4. Rhomboid, paralelogramma ar dažādiem blakus leņķiem.

Trapece

Trapecveida ir izliekts četrstūris ar divām paralēlām pusēm.

3. attēls. Trapecveida pamatnes, malas, augstums un vidusdaļa. Avots: Wikimedia Commons.

- Trapecveida formā paralēlas malas sauc par pamatnēm, bet ne paralēlas puses - par sānu.

- Trapecveida augstums ir attālums starp abām pamatnēm, tas ir, segmenta garums ar galiem pie pamatiem un perpendikulārs tiem. Šo segmentu sauc arī par trapecveida augstumu.

- Mediāna ir segments, kas savieno sānu viduspunktus. Var parādīt, ka mediāna ir paralēla trapecveida pamatnēm un tās garums ir vienāds ar bāzu puslodi.

- Trapecveida laukums ir tā augstums, kas reizināts ar pamatņu pussummu:

Trapecveida veidi

- taisnstūra trapecveida : tā ir tāda, kurai mala ir perpendikulāra pamatiem. Šī puse ir arī trapecijas augstums.

- Vienpadsmitdaļu trapecveida : tāda, kuras malas ir vienāda garuma. Traucējumā vienādsānu leņķi blakus pamatiem ir vienādi.

-Scalene trapezium : viena ar dažāda garuma malām. Tās pretējie leņķi var būt viens akūts un otrs izteikts, taču var arī gadīties, ka abi ir izteikti vai abi ir akūti.

4. attēls. Trapecijas veidi. Avots: F. Zapata.

Paralēlogramma

Paralēlagramma ir četrstūris, kura pretējās malas ir paralēlas divas pa divām. Paralēlogrammā pretējie leņķi ir vienādi un blakus esošie leņķi ir papildinoši, vai, izsakoties citā veidā, blakus esošie leņķi ir līdz 180º.

Ja paralelogrammai ir taisns leņķis, tad būs arī visi citi leņķi, un iegūto skaitli sauc par taisnstūri. Bet, ja taisnstūrim ir arī blakus esošās malas ar vienādu garumu, tad visas tās malas ir vienādas, un iegūtais skaitlis ir kvadrāts.

5. attēls. Paralēlogrammas. Taisnstūris, kvadrāts un rombs ir paralelogramas. Avots: F. Zapata.

Ja paralēlajai diagrammai ir divas blakus esošas malas ar vienādu garumu, visas tās malas būs vienāda garuma, un iegūtais skaitlis ir rombs.

Paralēlagrammas augstums ir segments, kura gali ir tā pretējās pusēs un perpendikulāri tiem.

Paralelogrammas laukums

Paralēlogrammas laukums ir reizinājums no pamatnes, reizinot ar tās augstumu, ja pamatne ir mala, kas ir perpendikulāra augstumam (6. attēls).

Paralelogrammas diagonāles

Diagonāles kvadrāts, kas sākas no virsotnes, ir vienāds ar abām pusēm, kas atrodas blakus minētajai virsotnei, kvadrātu summai plus šo pušu dubultā reizinājums ar šīs virsotnes leņķa kosinusu:

f ² = a ² + d ² + 2 ad cos (α)

6. attēls. Paralēlogramma. Pretēji leņķi, augstums, diagonāles. Avots: F. Zapata.

Diagonāles kvadrāts, kas atrodas pretī paralelograma virsotnei, ir vienāds ar abām pusēm, kas atrodas blakus minētajai virsotnei, kvadrātu summai, atņemot šo malu dubultā reizinājumu ar šīs virsotnes leņķa kosinusu:

g ² = a ² + d ² - 2 ar cos (α)

Paralēlogrammu likums

Jebkurā paralēlajā diagrammā tās malu kvadrātu summa ir vienāda ar diagonāļu kvadrātu summu:

a ² + b ² + c ² + d ² = f ² + g ²

re ctángulo

Taisnstūris ir četrstūris, kura pretējās malas ir paralēlas divas pa divām un kurai ir arī taisns leņķis. Citiem vārdiem sakot, taisnstūris ir paralelograma veids ar taisnu leņķi. Tā kā tā ir paralelograma, taisnstūrim ir pretējas malas ar vienādu garumu a = c un b = d.

Bet tāpat kā jebkurā paralēlajā diagrammā blakus esošie leņķi ir papildinājumi un pretējie leņķi ir vienādi, taisnstūrī, jo tam ir taisns leņķis, tas noteikti veidos taisnu leņķi pārējos trīs leņķos. Citiem vārdiem sakot, taisnstūrī visi iekšējie leņķi mēra 90º vai π / 2 radiānus.

Taisnstūra diagonāles

Kā parādīts zemāk, taisnstūrī diagonāles ir vienāda garuma. Arguments ir šāds; Taisnstūris ir paralelograms ar visiem taisnajiem leņķiem, un tāpēc tas manto visas paralēles diagrammas īpašības, ieskaitot formulu, kas norāda diagonāļu garumu:

f ² = a ² + d ² + 2 ad cos (α)

g ² = a ² + d ² - 2 ar cos (α)

ar α = 90º

Tā kā Cose (90º) = 0, tad gadās, ka:

f ² = g ² = a ² + d ²

Tas ir, f = g, un tāpēc taisnstūra divu diagonāļu garumi f un g ir vienādi, un to garumu izsaka:

Turklāt, ja taisnstūrī ar blakus esošām pusēm a un b par pamatni ņem vienu pusi, otra puse būs augstumā, un attiecīgi taisnstūra laukums būs:

Taisnstūra laukums = ass b.

Perimetrs ir visu taisnstūra malu summa, bet, tā kā pretstati ir vienādi, no tā izriet, ka taisnstūrim ar malām a un b perimetru piešķir pēc šādas formulas:

Taisnstūra perimetrs = 2 (a + b)

7. attēls. Taisnstūris ar malām a un b. Diagonāles f un g ir vienāda garuma. Avots: F. Zapata.

Kvadrāts

Kvadrāts ir taisnstūris, kura blakus esošās malas ir vienādas. Ja kvadrātam ir puse a, tad tā diagonālēm f un g ir vienāds garums, kas ir f = g = (√2) a.

Kvadrāta laukums ir kvadrātā:

Kvadrāta laukums = a ²

Kvadrāta perimetrs ir divreiz lielāks par malu:

Kvadrāta perimetrs = 4 a

8. attēls. Kvadrāts ar malu a, norādot tā laukumu, perimetru un diagonāļu garumu. Avots: F. Zapata ..

Dimants

Rombs ir paralelograms, kura blakusesošās malas ir vienādas, bet, tā kā paralelogrammā pretējās puses ir vienādas, tad visas romba malas ir vienāda garuma.

Romba diagonāles ir dažāda garuma, taču tās krustojas taisnā leņķī.

9. attēls. A puses rombs, norādot tā laukumu, perimetru un diagonāļu garumu. Avots: F. Zapata.

Piemēri

1. piemērs

Parādiet, ka četrstūrī (nav šķērsots) iekšējie leņķi ir līdz 360º.

10. attēls: parādīts, kā četrstūra leņķu summa veido līdz 360º. Avots: F. Zapata.

Tiek apskatīts četrstūris ABCD (sk. 10. attēlu) un novilkta diagonāle BD. Veidojas divi trīsstūri ABD un BCD. Trijstūra ABD iekšējo leņķu summa ir šāda:

α + β ₁ + δ ₁ = 180º

Un trīsstūra BCD iekšējo leņķu summa ir šāda:

β2 + γ + δ ₂ = 180º

Pievienojot divus iegūtos vienādojumus:

α + β ₁ + δ ₁ + β ₂ + γ + δ ₂ = 180º + 180º

Grupēšana:

α + (β ₁ + β ₂ ) + (δ ₁ + δ ₂ ) + γ = 2 * 180º

Grupējot un pārdēvējot, beidzot tiek parādīts, ka:

α + β + δ + γ = 360º

2. piemērs

Parādiet, ka trapecveida vidusdaļa ir paralēla tās pamatnēm un tās garums ir pamatņu pusloks.

11. attēls. Trapecijas ABCD vidējais MN. Avots: F. Zapata.

Trapecveida vidusdaļa ir segments, kas savieno tā malu viduspunktus, tas ir, ne paralēlas puses. Trapecveida ABCD, kas parādīts 11. attēlā, vidējā vērtība ir MN.

Tā kā M ir AD viduspunkts un N ir BC viduspunkts, AM / AD un BN / BC attiecības ir vienādas.

Tas ir, AM ir proporcionāls BN tādā pašā proporcijā kā AD ir BC, tāpēc tiek doti nosacījumi Thales (abpusējas) teorēmas piemērošanai, kurā teikts:

"Ja proporcionālos segmentus nosaka trīs vai vairāk rindās, kuras sagriež divi sekventi, tad visas šīs līnijas ir paralēlas."

Mūsu gadījumā tiek secināts, ka līnijas MN, AB un DC ir paralēlas viena otrai, tāpēc:

"Trapecveida vidusdaļa ir paralēla tās pamatnēm."

Tagad tiks piemērota Thales teorēma:

"Paralēļu kopums, ko sagriež divi vai vairāk sekventi, nosaka proporcionālos segmentus."

Mūsu gadījumā AD = 2 AM, AC = 2 AO, tāpēc trīsstūris DAC ir līdzīgs trīsstūrim MAO, un līdz ar to DC = 2 MO.

Līdzīgs arguments ļauj mums apstiprināt, ka CAB ir līdzīgs CON, kur CA = 2 CO un CB = 2 CN. Tieši no tā izriet, ka AB = 2 ON.

Īsi sakot, AB = 2 ON un DC = 2 MO. Tātad, pievienojot, mums ir:

AB + DC = 2 ON + 2 MO = 2 (MO + ON) = 2 MN

Visbeidzot MN tiek notīrīts:

MN = (AB + DC) / 2

Un tiek secināts, ka trapecveida vidējā vērtība mēra bāzu pussummu vai izliek citu ceļu: mediāna mēra bāzu summu, dalot to ar divām.

3. piemērs

Parādiet, ka rombā diagonāles krustojas taisnā leņķī.

12. attēls. Romāns un parādīšana, ka tā diagonāles krustojas taisnā leņķī. Avots: F. Zapata.

Tāfele 12. attēlā parāda nepieciešamo konstrukciju. Vispirms paralelogrammu ABCD zīmē ar AB = BC, tas ir, romu. Diagonāles AC un DB nosaka astoņus leņķus, kas parādīti attēlā.

Izmantojot teorēmu (aip), kurā teikts, ka alternatīvie iekšējie leņķi starp sekanta izgrieztām paralēlēm nosaka vienādus leņķus, mēs varam noteikt:

α ₁ = γ ₁ , α2 = γ2, δ ₁ = β ₁ un δ2 = β2. (*)

No otras puses, tā kā romba blakus esošās malas ir vienāda garuma, tiek noteikti četri vienādsānu trijstūri:

DAB, BCD, CDA un ABC

Tagad tiek atsaukta trīsstūra (vienādsānu) teorēma, kurā teikts, ka leņķi, kas atrodas blakus pamatnei, ir vienāda lieluma, no kura secina, ka:

δ ₁ = β2, δ2 = β ₁ , α2 = γ ₁ un α ₁ = γ2 (**)

Ja attiecības (*) un (**) tiek apvienotas, tiek panākta šāda leņķu vienādība:

α ₁ = α2 = γ ₁ = γ ₁ , no vienas puses, un β ₁ = β2 = δ ₁ = δ2, no otras puses.

Atgādinot vienādo trīsstūru teorēmu, kurā teikts, ka divi trīsstūri ar vienādu pusi starp diviem vienādiem leņķiem ir vienādi, mums ir:

AOD = AOB un attiecīgi arī leņķi ∡AOD = ∡AOB.

Tad ∡AOD + ∡AOB = 180º, bet, tā kā abi leņķi ir vienādi, mums ir 2 ∡AOD = 180º, kas nozīmē, ka ∡AOD = 90º.

Tas ir, ģeometriski parādīts, ka romba diagonāles krustojas taisnā leņķī.

Vingrinājumi atrisināti

- 1. vingrinājums

Parādiet, ka taisnā trapecveida formā leņķis, kas nav taisns, ir papildinošs.

Risinājums

13. attēls. Labais trapecveida. Avots: F. Zapata.

Trapecveida ABCD ir veidots ar AB un DC pamatnēm paralēlām. A virsotnes iekšējais leņķis ir pareizs (tas mēra 90 °), tāpēc mums ir pareizais trapecveida.

Leņķi α un δ ir iekšējie leņķi starp divām paralēlēm AB un DC, tāpēc tie ir vienādi, tas ir, δ = α = 90º.

No otras puses, ir pierādīts, ka četrstūra iekšējo leņķu summa ir līdz 360º, tas ir:

α + β + γ + δ = 90º + β + 90º + δ = 360º.

Iepriekš minētais noved pie:

β + δ = 180º

Apstiprinot to, ko gribējās parādīt, ka leņķi β un δ ir papildinoši.

- 2. vingrinājums

Paralēlagrammai ABCD ir AB = 2 cm un AD = 1 cm, turklāt leņķis BAD ir 30 °. Nosaka šīs paralēles diagrammas laukumu un divu diagonāļu garumu.

Risinājums

Paralēlogrammas laukums ir tās pamatnes garuma un augstuma reizinājums. Šajā gadījumā par pamatu ņem segmenta garumu b = AB = 2 cm, otras puses garumam ir a = AD = 1 cm, un augstumu h aprēķina šādi:

h = AD * Sen (30º) = 1 cm * (1/2) = ½ cm.

Tātad: laukums = b * h = 2 cm * ½ cm = 1 cm ² .

Atsauces

1. CEA (2003). Ģeometrijas elementi: ar vingrinājumiem un kompasa ģeometriju. Medeljinas Universitāte.
2. Kamposs, F., Cerecedo, FJ (2014). Matemātika 2. Grupo Editorial Patria.
3. Atbrīvots, K. (2007). Atklājiet daudzstūrus. Izglītības uzņēmuma etalons.
4. Hendriks, V. (2013). Ģeneralizētie daudzstūri. Birkhäuser.
5. IGER. (sf). Matemātikas pirmais semestris Tacaná. IGER.
6. Jr ģeometrija. (2014). Daudzstūris. Lulu Press, Inc.
7. Millers, Heerēns un Hornsbijs. (2006). Matemātika: pamatojums un pielietojums (desmitais izdevums). Pīrsona izglītība.
8. Patiño, M. (2006). Matemātika 5. Redakcija Progreso.
9. Wikipedia. Četrstūri. Atgūts no: es.wikipedia.com