SARRUSA NOTEIKUMS: NO KĀ TAS SASTĀV, UN NOTEICOŠO FAKTORU VEIDI - KULTŪRAS VĀRDNĪCA - 2025

Noteikums Sarrus tiek izmantots, lai aprēķinātu rezultātu 3 × 3 faktoriem. Tos izmanto, lai atrisinātu lineāros vienādojumus un noskaidrotu, vai tie ir savietojami.

Savietojamas sistēmas atvieglo risinājuma iegūšanu. Tos izmanto arī, lai noteiktu, vai vektoru kopas ir lineāri neatkarīgas, un lai veidotu vektoru telpas pamatu.

Šīs lietojumprogrammas ir balstītas uz matricu neapgriezeniskumu. Ja matrica ir regulāra, tās determinants atšķiras no 0. Ja tas ir vienskaitlis, tā determinants ir vienāds ar 0. Determinentus var aprēķināt tikai kvadrātveida matricās.

Lai aprēķinātu jebkuras kārtas matricas, var izmantot Laplasa teorēmu. Šī teorēma ļauj mums vienkāršot lielu dimensiju matricas mazo determinantu summās, kuras mēs sadalāmies no galvenās matricas.

Tajā teikts, ka matricas determinants ir vienāds ar katras rindas vai kolonnas reizinājumu rezultātu reizinājumu ar tās blakus esošās matricas determinantu.

Tas samazina determinantus tā, ka n pakāpes determinants kļūst par n-1 n noteicošo faktoru. Ja mēs piemērojam šo noteikumu pēc kārtas, mēs varam iegūt 2. (2 × 2) vai 3. (3 × 3) dimensijas noteicošos faktorus, kur to aprēķināt ir daudz vieglāk.

Sarrusa noteikums

Pjērs Frederiks Sarruss bija 19. gadsimta franču matemātiķis. Lielākā daļa viņa matemātisko traktātu ir balstīti uz vienādojumu risināšanas metodēm un variāciju aprēķiniem skaitlisko vienādojumu ietvaros.

Vienā no saviem traktātiem viņš atrisināja vienu no sarežģītākajām mīklām mehānikā. Lai atrisinātu artikulēto gabalu problēmas, Sarruss ieviesa alternatīvu taisnu kustību transformāciju vienveidīgās apļveida kustībās. Šī jaunā sistēma ir pazīstama kā Sarrus mehānisms.

Pētījums, kas šim matemātiķim piešķīra vislielāko slavu, bija tas, kurā viņš rakstā “Jaunā vienādojumu risināšanas metode” (“Nouvelles méthodes pour la résolution des équations”) ieviesa jaunu determinantu aprēķināšanas metodi, kas tika publicēts gads 1833. Šis lineāro vienādojumu risināšanas veids ir pazīstams kā Sarrusa noteikums.

Sarrusa noteikums ļauj mums aprēķināt 3 × 3 matricas noteicošo faktoru, neizmantojot Laplasa teorēmu, ieviešot daudz vienkāršāku un intuitīvāku metodi. Lai pārbaudītu Sarrusa noteikuma vērtību, tiek ņemta jebkura 3. dimensijas matrica:

Tā noteicošā koeficienta aprēķins tiks veikts, izmantojot tā galveno diagonāļu reizinājumu, atņemot apgriezto diagonāļu reizinājumu. Tas būtu šāds:

Sarrusa noteikums ļauj mums iegūt daudz vieglāku redzējumu, aprēķinot determinanta diagonāles. Tas tiktu vienkāršots, matricas aizmugurē pievienojot pirmās divas kolonnas. Tādā veidā produkta aprēķināšanai ir skaidrāk redzams, kuri ir tā galvenie diagonāli un kuri ir apgriezti.

Izmantojot šo attēlu, mēs redzam Sarrusa noteikuma piemērošanu. Zem sākotnējās matricas grafiskā attēlojuma mēs iekļaujam 1. un 2. rindu. Tādā veidā galvenās diagonāles ir trīs diagonāles, kas parādās pirmās.

Trīs atpakaļgaitas diagonāles, savukārt, ir tās, kas vispirms parādās aizmugurē.

Tādā veidā diagonāles parādās vizuālākā veidā, neapgrūtinot determinanta izšķirtspēju, mēģinot noskaidrot, kuri matricas elementi pieder katrai diagonālei.

Kā redzams attēlā, mēs izvēlamies diagonāles un aprēķinām katras funkcijas iegūto rezultātu. Zilās krāsas diagonāles saskaita. To summā mēs atņemam sarkanā krāsā parādīto diagonāļu vērtību.

Lai atvieglotu saspiešanu, mēs varam izmantot skaitlisku piemēru, nevis algebriskus terminus un apakštermus.

Ja mēs ņemtu, piemēram, jebkuru 3 × 3 matricu:

Lai piemērotu Sarrusu likumu un atrisinātu to vizuālākā veidā, 1. un 2. rinda jāiekļauj attiecīgi kā 4. un 5. rinda. Ir svarīgi 1. rindu noturēt 4. pozīcijā, bet 2. rindu - 5. pozīcijā. Tā kā, ja mēs tos apmainīsimies, Sarrus noteikums nebūs efektīvs.

Lai aprēķinātu determinantu, mūsu matrica būtu šāda:

Lai turpinātu aprēķinu, mēs reizināsim galveno diagonāļu elementus. Pēcnācējiem, sākot no kreisās puses, būs pozitīva zīme; savukārt apgrieztajām diagonālēm, kas sākas no labās puses, ir negatīva zīme.

Šajā piemērā zilajiem ir pozitīva zīme, bet sarkanajiem - ar negatīvu zīmi. Sarrusa noteikuma galīgais aprēķins izskatās šādi:

Noteicošo faktoru veidi

1. dimensijas determinants

Ja matricas izmērs ir 1, matrica izskatās šādi: A = (a)

Tāpēc tā noteicējs būtu šāds: det (A) = -A- = a

Rezumējot, matricas A noteicošais faktors ir vienāds ar matricas A absolūto vērtību, kas šajā gadījumā ir a.

2. dimensijas determinants

Ja mēs pārejam uz 2. dimensijas matricām, mēs iegūstam šāda veida matricas:

Kur tā noteicošais faktors ir definēts kā:

Šī determinanta izšķirtspēja ir balstīta uz tās galvenās diagonāles reizināšanu, atņemot tās apgriezto diagonāli.

Kā mnemoniku mēs varam izmantot šo diagrammu, lai atcerētos tās noteicošo faktoru:

3. dimensijas determinants

Ja matricas izmērs ir 3, iegūtā matrica būtu šāda veida:

Šīs matricas noteicošais faktors tiks atrisināts, izmantojot Sarrusa likumu:

Atsauces

1. Dženija Olive (Jenny Olive, 1998) Matemātika: Studenta izdzīvošanas rokasgrāmata. Cambridge University Press.
2. Ričards Dž. Brauns (Richard J. Brown) (2012) 30 sekunžu matemātika: 50 visvairāk prātu paplašinošās matemātikas teorijas. Ivy Press Limited.
3. Deivs Kirkbijs (2004) Maths Connect. Heinemann.
4. Awol Assen (2013), pētījums par 3 × 3 matricas determinantu aprēķināšanu. Lap Lambert akadēmiskā izdevniecība.
5. Entonijs Nicolaides (1994) Determinanti un matricas. Pass publikācija.
6. Jesse Russell (2012) Sarrusa noteikums.
7. M. Kasteleiro Villalba (2004) Ievads lineārajā algebrā. ESIC redakcija.