- Vismazāko kvadrātu metode
- Atrisināti vingrinājumi
- 1. vingrinājums
- Risinājums
- 2. vingrinājums
- Kam tas domāts?
- Atsauces
Vismazāko kvadrātu metode ir viena no vissvarīgākajām funkcijām funkciju tuvināšanā. Ideja ir atrast tādu līkni, ka, ņemot vērā pasūtīto pāru kopu, šī funkcija vislabāk tuvina datus. Funkcija var būt līnija, kvadrātiskā līkne, kubika utt.
Metodes ideja sastāv no ordinātu (Y komponenta) atšķirību kvadrātu summas samazināšanas starp punktiem, ko rada izvēlētā funkcija, un punktiem, kas pieder datu kopai.
Vismazāko kvadrātu metode
Pirms piedāvāt metodi, mums vispirms ir jānoskaidro, ko nozīmē “labāka pieeja”. Pieņemsim, ka mēs meklējam līniju y = b + mx, kas vislabāk attēlo n punktu kopu, proti, {(x1, y1), (x2, y2)…, (xn, yn)}.
Kā parādīts iepriekšējā attēlā, ja mainīgie x un y būtu saistīti ar līniju y = b + mx, tad x = x1 atbilstošā y vērtība būtu b + mx1. Tomēr šī vērtība atšķiras no y patiesās vērtības, kas ir y = y1.
Atcerieties, ka plaknē attālumu starp diviem punktiem nosaka pēc šādas formulas:
Paturot to prātā, lai noteiktu veidu, kā izvēlēties līniju y = b + mx, kas vislabāk tuvina dotos datus, šķiet loģiski kā kritēriju izmantot līnijas izvēli, kas samazina attālumu starp punktiem kvadrātu summu līdz punktiem un taisni.
Tā kā attālums starp punktiem (x1, y1) un (x1, b + mx1) ir y1- (b + mx1), mūsu problēma tiek samazināta līdz skaitļu m un b atrašanai tā, lai šāda summa būtu minimāla:
Līnija, kas izpilda šo nosacījumu, ir zināma kā "mazāko kvadrātu līnijas tuvināšana punktiem (x1, y1), (x2, y2),…, (xn, yn)".
Kad problēma ir iegūta, atliek tikai izvēlēties metodi, kā atrast mazāko kvadrātu tuvinājumu. Ja punkti (x1, y1), (x2, y2),…, (xn, yn) visi atrodas uz līnijas y = mx + b, mums būtu, ka tie ir kolineāri y:
Šajā izteicienā:
Visbeidzot, ja punkti nav kolineāri, tad y-Au = 0, un problēmu var pārvērst tāda u vektora atrašanā, ka Eiklīda norma ir minimāla.
Minimizējošā vektora u atrašana nav tik grūta, kā jūs varētu domāt. Tā kā A ir NX2 matrica un u ir 2 × 1 matrica, mums ir, ka vektors Au ir vektors R n , un pieder pie tēla, kas ir subspace R n ar dimensiju ne vairāk par diviem.
Mēs pieņemsim, ka n = 3, lai parādītu, kura procedūra jāveic. Ja n = 3, A attēls būs plakne vai līnija caur sākumu.
Ļaujiet v ir minimizējošais vektors. Attēlā mēs novērojam, ka y-Au tiek samazināts līdz minimumam, ja tas ir ortogonāls A attēlam. Tas ir, ja v ir minimizējošais vektors, tad gadās, ka:
Tad mēs varam izteikt iepriekšminēto šādā veidā:
Tas var notikt tikai tad, ja:
Visbeidzot, risinot v, mums ir:
To var izdarīt, jo A t A ir apgriezts, ja vien n dati, kas norādīti kā dati, nav kolineāri.
Ja tā vietā, lai meklētu līniju, mēs gribētu atrast parabolu (kuras izteiksme būtu formā y = a + bx + cx 2 ), kas būtu labāka tuvināšana n datu punktam, procedūra būtu tāda, kā aprakstīts zemāk.
Ja n datu punkts būtu šajā parabolā, mums būtu:
Tad:
Līdzīgi mēs varam rakstīt y = Au. Ja visi punkti neatrodas parabolā, mums ir, ka y-Au atšķiras no nulles jebkuram vektoram u, un mūsu problēma atkal ir šāda: atrodiet vektoru u R3 tā, lai tā norma - y-Au-- būtu pēc iespējas mazāka .
Atkārtojot iepriekšējo procedūru, mēs varam secināt, ka meklētais vektors ir:
Atrisināti vingrinājumi
1. vingrinājums
Atrodiet līniju, kas vislabāk atbilst punktiem (1,4), (-2,5), (3, -1) un (4,1).
Risinājums
Mums vajag:
Tad:
Tāpēc mēs secinām, ka līniju, kas vislabāk atbilst punktiem, piešķir:
2. vingrinājums
Pieņemsim, ka priekšmets tiek nomests no 200 m augstuma. Tā kā tas samazinās, tiek veikti šādi pasākumi:
Mēs zinām, ka minētā objekta augstumu pēc laika t ir aprēķinājis:
Ja mēs vēlamies iegūt g vērtību, mēs varam atrast parabolu, kas ir labāka tuvināšana tabulā dotajiem pieciem punktiem, un tādējādi mums būtu, ka koeficients, kas pavada t 2 , būtu samērīgs tuvinājums (-1/2) g, ja mērījumi ir precīzi.
Mums vajag:
Un vēlāk:
Tātad datu punkti ir piemēroti ar šādu kvadrātisko izteiksmi:
Tātad, jums:
Šī ir pamatoti tuva vērtība, kas ir g = 9,81 m / s 2 . Lai iegūtu precīzāku g tuvinājumu, būtu jāsāk no precīzākiem novērojumiem.
Kam tas domāts?
Problēmās, kas rodas dabas vai sociālajās zinātnēs, ir ērti uzrakstīt attiecības, kas pastāv starp dažādiem mainīgajiem, izmantojot kādu matemātisku izteiksmi.
Piemēram, ekonomikā izmaksas (C), ienākumus (I) un peļņu (U) var saistīt, izmantojot vienkāršu formulu:
Fizikā mēs varam saistīt gravitācijas radīto paātrinājumu, laiku, kad objekts nokrīt, un objekta augstumu pēc likuma:
Iepriekšējā izteiksmē s o ir minētā objekta sākotnējais augstums, un v o ir tā sākotnējais ātrums.
Tomēr tādu formulu atrašana nav viegls uzdevums; parasti pienākums ir strādāt ar daudz datu un atkārtoti veikt vairākus eksperimentus (lai pārliecinātos, ka iegūtie rezultāti ir nemainīgi), lai atrastu sakarības starp dažādiem datiem.
Parasti to panāk, ir plaknē iegūtos datus attēlot kā punktus un meklēt nepārtrauktu funkciju, kas optimāli tuvina šos punktus.
Viens no veidiem, kā atrast funkciju, kas "vislabāk tuvina" dotos datus, ir mazāko kvadrātu metode.
Turklāt, kā mēs redzējām arī vingrinājumā, pateicoties šai metodei, mēs varam iegūt diezgan tuvu fizisko konstantu tuvinājumus.
Atsauces
- Čārlza V Kurta lineārā algebra. Springers-Velargs
- Kai Lai Čunga. Elementārā varbūtības teorija ar stohastiskiem procesiem. Springer-Verlag New York Inc
- Ričards L Burdens un Dž. Douglasa feini. Skaitliskā analīze (7ed). Tompsona mācīšanās.
- Stenlijs I. Grossmans. Lineārās algebras pielietojumi. MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE MEXICO
- Stenlijs I. Grossmans. Lineārā algebra. MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE MEXICO