PATSTĀVĪGI PASĀKUMI: DEMONSTRĀCIJA, PIEMĒRI, VINGRINĀJUMI - DUDAS - 2025

Divi notikumi ir neatkarīgi , ja varbūtību, ka viens no tiem notiek, neietekmē fakts, ka otrs notiek vai nenotiek, ņemot vērā, ka šie notikumi notiek nejauši.

Šis apstāklis ​​rodas vienmēr, kad process, kas rada 1. notikuma rezultātu, nekādā veidā nemaina 2. notikuma iespējamo rezultātu varbūtību. Bet, ja tas nenotiek, tiek uzskatīts, ka notikumi ir atkarīgi.

1. attēls. Neatkarīgu notikumu iespējamības izskaidrošanai bieži izmanto krāsainus bumbiņas. Avots: Pixabay.

Neatkarīga notikumu situācija ir šāda: Pieņemsim, ka ir velmēti divi sešpusējie kauliņi, viens ir zils, bet otrs ir rozā. Varbūtība, ka uz zilās stieples iegriezīsies 1, nav atkarīga no varbūtības, ka 1 apgāzīsies - vai nerullēs - uz rozā stieples.

Vēl viens divu neatkarīgu notikumu gadījums ir monētas mešana divreiz pēc kārtas. Pirmā metiena rezultāts nebūs atkarīgs no otrā rezultāta un otrādi.

Divu neatkarīgu notikumu pierādījums

Lai pārbaudītu, vai divi notikumi ir neatkarīgi, mēs definēsim viena notikuma nosacītās varbūtības jēdzienu attiecībā pret otru. Šim nolūkam ir jānošķir ekskluzīvi un iekļaujoši pasākumi:

Divi notikumi ir ekskluzīvi, ja iespējamām notikuma A vērtībām vai elementiem nav nekā kopīga ar notikuma B vērtībām vai elementiem.

Tāpēc divos ekskluzīvos gadījumos A un B krustojuma kopa ir vakuums:

Izņemot notikumus: A∩B = Ø

Tieši pretēji, ja notikumi ir iekļaujoši, var gadīties, ka notikuma A rezultāts sakrīt arī ar cita B rezultātu, A un B ir dažādi notikumi. Šajā gadījumā:

Iekļaujošie pasākumi: A∩B ≠ Ø

Tas mums ļauj definēt nosacītu varbūtību diviem iekļaujošiem notikumiem, citiem vārdiem sakot, notikuma A iestāšanās varbūtībai, kad notiek B notikums:

P (A¦B) = P (A∩B) / P (B)

Tāpēc nosacītā varbūtība ir varbūtība, ka notiks A un B, dalīta ar varbūtību, ka notiks B. Var definēt arī varbūtību, ka B notiks ar nosacījumu A:

P (B¦A) = P (A∩B) / P (A)

Kritēriji, lai zinātu, vai divi notikumi ir neatkarīgi

Tālāk mēs sniegsim trīs kritērijus, lai zinātu, vai divi notikumi ir neatkarīgi. Pietiek ar to, ka tiek izpildīts viens no trim, lai tiktu parādīta notikumu neatkarība.

1.- Ja varbūtība, ka A rodas, kad B rodas, ir vienāda ar A varbūtību, tad tie ir neatkarīgi notikumi:

P (A¦B) = P (A) => A ir neatkarīgs no B

2.- Ja varbūtība, ka B rodas, ņemot vērā A, ir vienāda ar B varbūtību, tad pastāv neatkarīgi notikumi:

P (B¦A) = P (B) => B ir neatkarīgs no A

3.- Ja varbūtība, ka notiek A un B, ir vienāda ar A iespējamības un B varbūtības reizinājumu, tad tie ir neatkarīgi notikumi. Patiesība ir arī pretēja.

P (A∩B) = P (A) P (B) <=> A un B ir neatkarīgi notikumi.

Neatkarīgu notikumu piemēri

Tiek salīdzinātas divu dažādu piegādātāju ražotās gumijas zoles. Katra ražotāja paraugus pakļauj vairākiem testiem, no kuriem secina, vai tie atbilst specifikācijām.

2. attēls. Gumijas zoli. Avots: Pixabay.

Iegūtais 252 paraugu kopsavilkums ir šāds:

1. ražotājs; 160 atbilst specifikācijām; 8 neatbilst specifikācijām.

2. ražotājs; 80 atbilst specifikācijām; 4 neatbilst specifikācijām.

Notikums A: "ka paraugs ir izgatavots no 1. ražotāja".

Notikums B: "ka paraugs atbilst specifikācijām."

Mēs vēlamies uzzināt, vai šie notikumi A un B ir neatkarīgi vai nē, attiecībā uz kuriem mēs piemērojam vienu no trim iepriekšējā sadaļā minētajiem kritērijiem.

Kritērijs: P (B¦A) = P (B) => B ir neatkarīgs no A

P (B) = 240/252 = 0,9523

P (B¦A) = P (A ⋂ B) / P (A) = (160/252) / (168/252) = 0,9523

Secinājums: notikumi A un B ir neatkarīgi.

Pieņemsim, ka notikums C: "ka paraugs nāk no ražotāja 2"

Vai notikums B būs neatkarīgs no notikuma C?

Mēs piemērojam vienu no kritērijiem.

Kritērijs: P (B¦C) = P (B) => B nav atkarīgs no C

P (B¦C) = (80/252) / (84/252) = 0,9523 = P (B)

Tāpēc, pamatojoties uz pieejamajiem datiem, varbūtība, ka nejauši izvēlēta gumijas zole atbilst specifikācijām, nav atkarīga no ražotāja.

Neatkarīgu notikumu pārveidojiet par neatkarīgu notikumu

Apskatīsim šo piemēru, lai atšķirtu atkarīgos un neatkarīgos notikumus.

Mums ir soma ar divām baltas šokolādes bumbiņām un divām melnām bumbiņām. Pirmajā mēģinājumā baltas vai melnas bumbiņas iegūšanas varbūtība ir vienāda.

Pieņemsim, ka rezultāts bija bižele. Ja ievilktā bumbiņa tiek nomainīta somā, atkārtojas sākotnējā situācija: divas baltas bumbiņas un divas melnas bumbiņas.

Tātad otrā pasākuma vai izlozes gadījumā biželejas bumbiņas vai melnas bumbiņas vilkšanas iespējas ir identiskas pirmajai reizei. Tāpēc tie ir neatkarīgi notikumi.

Bet, ja pirmajā gadījumā zīmētā bižele nav aizstāta ar to, ka esam to apēduši, otrajā izlozē ir lielākas iespējas uzzīmēt melnu bumbiņu. Varbūtība, ka otrā ekstrakcija atkal iegūs baltu krāsu, ir atšķirīga no pirmā notikuma, un to nosaka iepriekšējais rezultāts.

Vingrinājumi

- 1. vingrinājums

Kastē mēs ievietojam 10 1. attēlā redzamās bumbiņas, no kurām 2 ir zaļas, 4 ir zilas un 4 ir baltas. Divi bumbiņas tiks izvēlētas pēc nejaušības principa - viena pirmā un otra vēlāk. Tiek lūgts atrast
varbūtību, ka neviens no tiem nav zils, ar šādiem nosacījumiem:

a) Ar nomaiņu, tas ir, pirmā marmora atgriešanu kastē pirms otrās atlases. Norādiet, vai tie ir neatkarīgi vai atkarīgi notikumi.

b) bez nomaiņas tādā veidā, ka otrais atlases brīdī pirmais iegūtais marmors tiek atstāts ārpus kastes. Līdzīgi norādiet, vai tie ir atkarīgi vai neatkarīgi notikumi.

Risinājums

Mēs aprēķinām varbūtību, ka pirmais ekstrahētais marmors nav zils, kas ir 1 mīnus varbūtībai, ka tas ir zils P (A), vai tieši, ka tas nav zils, jo tas iznāca zaļš vai balts:

P (A) = 4/10 = 2/5

P (nav zils) = 1 - (2/5) = 3/5

Nu labi:

P (zaļš vai balts) = 6/10 = 3/5.

Ja iegūtais marmors tiek atgriezts, viss ir kā iepriekš. Šajā otrajā zīmējumā ir arī 3/5 varbūtība, ka zīmētais marmors nav zils.

P (ne zils, ne zils) = (3/5). (3/5) = 9/25.

Notikumi ir neatkarīgi, jo iegūtais marmors tika atgriezts kastē, un pirmais notikums neietekmē otrā rašanās varbūtību.

Risinājums b

Pirmajai ekstrakcijai rīkojieties tāpat kā iepriekšējā sadaļā. Varbūtība, ka tas nav zils, ir 3/5.

Otrajai ekstrakcijai somā ir 9 bumbiņas, jo pirmā neatgriezās, bet tā nebija zila, tāpēc maisā ir 9 bumbiņas un 5 nav zilas:

P (zaļš vai balts) = 5/9.

P (neviens nav zils) = P (pirmais nav zils). P (otrais nav zils / pirmais nav zils) = (3/5). (5/9) = 1/3

Šajā gadījumā tie nav neatkarīgi notikumi, jo pirmais notikums nosaka otro.

- 2. vingrinājums

Veikalā ir 15 krekli trīs izmēros: 3 mazi, 6 vidēji un 6 lieli. 2 krekli tiek izvēlēti nejauši.

a) Cik liela ir iespējamība, ka abi izvēlētie krekli ir mazi, ja viens tiek ņemts pirmais un neaizstājot otru partijā?

b) Cik liela ir varbūtība, ka abi izvēlētie krekli ir mazi, ja viens tiek uzzīmēts pirmais, partijā tiek nomainīts, bet otrais tiek noņemts?

Risinājums

Šeit ir divi notikumi:

Notikums A: pirmais izvēlētais krekls ir mazs

Notikums B: otrais izvēlētais krekls ir mazs

Notikuma A iestāšanās varbūtība ir: P (A) = 3/15

Varbūtība, ka notiks notikums B, ir: P (B) = 2/14, jo krekls jau bija noņemts (palika 14), bet turklāt ir vēlams notikums A, pirmajam noņemtajam kreklam jābūt mazam, un tāpēc abi ir 2 mazi.

Tas ir, varbūtība, ka A un B būs varbūtību reizinājums, ir:

P (A un B) = P (B¦A) P (A) = (2/14) (3/15) = 0,029

Tāpēc varbūtība, ka notikums A un B notiek, ir vienāda ar reizinājuma A notikuma reizinājumu, reizinot ar varbūtību, ka notikums B notiek, ja notikums A.

Jāatzīmē, ka:

P (B¦A) = 2/14

Varbūtība, ka notikums B notiek neatkarīgi no tā, vai notikums A notiek vai ne, būs:

P (B) = (2/14), ja pirmais bija mazs, vai P (B) = 3/14, ja pirmais nebija mazs.

Kopumā var secināt:

P (B¦A) nav vienāds ar P (B) => B nav neatkarīgs no A

Risinājums b

Atkal ir divi notikumi:

Notikums A: pirmais izvēlētais krekls ir mazs

Notikums B: otrais izvēlētais krekls ir mazs

P (A) = 3/15

Atcerieties, ka neatkarīgi no rezultāta krekls, kas novilkts no partijas, tiek aizstāts un atkal krekls tiek uzzīmēts pēc nejaušības principa. Varbūtība, ka notikums B notiks, ja notikums A notiks, ir:

P (B¦A) = 3/15

Varbūtība, ka notiks A un B notikumi:

P (A un B) = P (B¦A) P (A) = (3/15) (3/15) = 0,04

Pieraksti to:

P (B¦A) ir vienāds ar P (B) => B ir neatkarīgs no A.

- 3. vingrinājums

Apsveriet divus neatkarīgus notikumus A un B. Ir zināms, ka varbūtība, ka notikums A notiek, ir 0,2 un varbūtība, ka notikums B notiek, ir 0,3. Kāda ir abu notikumu iespējamība?

2. risinājums

Zinot, ka notikumi ir neatkarīgi, ir zināms, ka abu notikumu iespējamība ir individuālo varbūtību reizinājums. Proti,

P (A∩B) = P (A) P (B) = 0,2 * 0,3 = 0,06

Ņemiet vērā, ka tā ir daudz mazāka nekā varbūtība, ka katrs notikums notiks neatkarīgi no otra iznākuma. Vai arī izsakiet citu ceļu, daudz zemāku par individuālajām izmaiņām.

Atsauces

1. Berensons, M. 1985. Vadības un ekonomikas statistika. Interamericana SA 126-127.
2. Monterejas institūts. Neatkarīgu notikumu varbūtība. Atgūts no: monterreyinstitute.org
3. Matemātikas skolotājs. Neatkarīgi notikumi. Atgūts no: youtube.com
4. Superprof. Notikumu veidi, atkarīgie notikumi. Atgūts no: superprof.es
5. Virtuālais pasniedzējs. Varbūtība. Atgūts no: vitutor.net
6. Wikipedia. Neatkarība (varbūtība). Atgūts no: wikipedia.com