HIPERGEOMETRISKAIS SADALĪJUMS: FORMULAS, VIENĀDOJUMI, MODELIS - DUDAS - 2025

Hypergeometric sadalījums ir diskrēta statistikas funkciju, piemērots aprēķinot varbūtību randomizētos eksperimentos ar diviem iespējamiem iznākumiem. Nosacījums, kas jāpiemēro, ir tāds, ka tās ir nelielas grupas, kurās izņemtie līdzekļi netiek aizstāti un varbūtības nav nemainīgas.

Tāpēc, izvēloties kādu populācijas elementu, lai zinātu noteiktas pazīmes rezultātu (patiesu vai nepatiesu), to pašu elementu nevar atkārtoti izvēlēties.

1. attēls. Šādā skrūvju populācijā, protams, ir bojāti paraugi. Avots: Pixabay.

Protams, nākamais izvēlētais elements, visticamāk, iegūs patiesu rezultātu, ja iepriekšējam elementam bija negatīvs rezultāts. Tas nozīmē, ka varbūtība mainās, jo elementi tiek iegūti no izlases.

Galvenie hipergeometriskā sadalījuma pielietojumi ir: kvalitātes kontrole procesos ar nelielu iedzīvotāju skaitu un varbūtības aprēķināšana azartspēlēs.

Matemātiskā funkcija, kas nosaka hipergeometrisko sadalījumu, sastāv no trim parametriem, kas ir:

- populācijas elementu skaits (N)

- parauga lielums (m)

- Notikumu skaits visā populācijā ar labvēlīgu (vai nelabvēlīgu) pētāmās pazīmes (n) rezultātu.

Formulas un vienādojumi

Hipergeometriskā sadalījuma formula dod varbūtību P, ka x rodas noteikta raksturlieluma labvēlīgi gadījumi. Veids, kā to uzrakstīt matemātiski, pamatojoties uz kombinatoriskajiem skaitļiem, ir:

Iepriekšējā izteiksmē N, n un m ir parametri, un x ir pats mainīgais.

- Kopējais iedzīvotāju skaits ir N.

- Noteiktu bināro parametru pozitīvo rezultātu skaits attiecībā pret kopējo iedzīvotāju skaitu ir n.

-Atlases elementu daudzums ir m.

Šajā gadījumā X ir izlases lielums, kura vērtība ir x, un P (x) norāda pētāmā raksturlieluma x labvēlīgu gadījumu iestāšanās varbūtību.

Svarīgi statistiskie mainīgie

Citi hipergeometriskā sadalījuma statistiskie mainīgie ir:

- Vidējais μ = m * n / N

- dispersija σ ^ 2 = m * (n / N) * (1-n / N) * (Nm) / (N-1)

- standartnovirze σ, kas ir dispersijas kvadrātsakne.

Modelis un īpašības

Lai nonāktu pie hipergeometriskā sadalījuma modeļa, mēs sākam no varbūtības iegūt x labvēlīgus gadījumus m lieluma paraugā. Šajā paraugā ir elementi, kas atbilst pētāmajam īpašumam, un elementi, kas neatbilst.

Atgādiniet, ka n apzīmē labvēlīgo gadījumu skaitu N elementu kopskaitā. Tad varbūtību aprēķina šādi:

Izsakot iepriekšminēto kombinatorisko skaitļu veidā, tiek sasniegts šāds varbūtības sadalījuma modelis:

Hipergeometriskā sadalījuma galvenās īpašības

Tie ir šādi:

- Izlasei vienmēr jābūt mazai, pat ja populācija ir liela.

- Parauga elementus ekstrahē pa vienam, neiekļaujot tos atpakaļ populācijā.

- Pētāmais īpašums ir binārs, tas ir, tam var būt tikai divas vērtības: 1 vai 0, vai patiesa, vai nepatiesa.

Katrā elementa ieguves posmā varbūtība mainās atkarībā no iepriekšējiem rezultātiem.

Aproksimācija, izmantojot binomālo sadalījumu

Vēl viena hipergeometriskā sadalījuma īpašība ir tā, ka to var tuvināt ar binomālo sadalījumu, apzīmētu ar Bi, ja vien populācija N ir liela un vismaz 10 reizes lielāka par paraugu m. Šajā gadījumā tas izskatās šādi:

Varbūtība, ka paraugā x = 3 skrūves ir bojātas, ir šāda: P (500, 5, 60, 3) = 0,0129.

No otras puses, varbūtība, ka x = 4 skrūves no sešdesmit parauga ir nepilnīgas, ir šāda: P (500, 5, 60; 4) = 0,0008.

Visbeidzot, varbūtība, ka x = 5 skrūves šajā paraugā ir bojātas, ir šāda: P (500, 5, 60; 5) = 0.

Bet, ja vēlaties uzzināt varbūtību, ka tajā paraugā ir vairāk nekā 3 skrūves ar trūkumiem, tad jāiegūst kumulatīvā varbūtība, pievienojot:

Šis piemērs ir parādīts 2. attēlā, kas iegūts, izmantojot GeoGebra - bezmaksas programmatūru, ko plaši izmanto skolās, institūtos un universitātēs.

2. attēls. Hipergeometriskā sadalījuma piemērs. Sagatavojusi F. Zapata ar GeoGebra.

2. piemērs

Spānijas klājā ir 40 kārtis, no kurām 10 ir zelta, bet pārējās 30 nav. Pieņemsim, ka no šī klāja izlases veidā tiek izvilktas 7 kārtis, kuras netiek atkārtoti iestrādātas klājā.

Ja X ir zelta skaits, kas atrodas 7 izvilktajās kartēs, tad varbūtību, ka jums būs x zelta 7 karšu izlozē, nosaka hipergeometriskais sadalījums P (40,10,7; x).

Apskatīsim to šādi: lai aprēķinātu varbūtību, ka 7 karšu zīmējumā būs 4 zelta, izmantojam hipergeometriskā sadalījuma formulu ar šādām vērtībām:

Rezultāts ir: 4.57% varbūtība.

Bet, ja vēlaties uzzināt vairāk nekā 4 karšu iegūšanas varbūtību, jums jāpievieno:

Atrisināti vingrinājumi

Šis vingrinājumu komplekts ir paredzēts, lai ilustrētu un asimilētu šajā rakstā sniegtos jēdzienus. Ir svarīgi, lai lasītājs mēģinātu tos atrisināt pats, pirms apskatīt risinājumu.

1. vingrinājums

Prezervatīvu fabrika ir atklājusi, ka no katriem 1000 prezervatīviem, ko ražo noteiktā mašīnā, 5 ir bojāti. Kvalitātes kontrolei pēc nejaušības principa tiek ņemti 100 prezervatīvi un partija tiek noraidīta, ja vismaz viens vai vairāki ir nepilnīgi. Atbilde:

a) Kāda ir iespējamība, ka tiks izmests daudz no 100?

b) Vai šis kvalitātes kontroles kritērijs ir efektīvs?

Risinājums

Šajā gadījumā parādīsies ļoti lieli kombinatoriski skaitļi. Aprēķins ir sarežģīts, ja vien jums nav piemērotas programmatūras paketes.

Bet, tā kā tā ir liela populācija un paraugs ir desmit reizes mazāks nekā kopējais populācija, ir iespējams izmantot hipergeometriskā sadalījuma tuvinājumu ar binomālo sadalījumu:

Iepriekš minētajā izteiksmē C (100, x) ir kombinatorisks skaitlis. Tad varbūtība, ka ir vairāk nekā viens defekts, tiks aprēķināta šādi:

Tas ir lielisks tuvinājums, ja salīdzina ar vērtību, kas iegūta, piemērojot hipergeometrisko sadalījumu: 0,4102

Var teikt, ka ar 40% varbūtību ir jāizmet 100 profilaktisko līdzekļu partija, kas nav īpaši efektīva.

Bet, tā kā kvalitātes kontroles process ir nedaudz mazāks un 100 partiju jāizmet tikai tad, ja ir divi vai vairāki trūkumi, partijas izmešanas varbūtība samazināsies līdz tikai 8%.

2. vingrinājums

Plastmasas bloku mašīna darbojas tādā veidā, ka no katriem 10 gabaliem viens iznāk deformēts. Cik iespējams, ka 5 gabalu paraugā ir bojāts tikai viens gabals?

Risinājums

Iedzīvotāju skaits: N = 10

Bojājumu skaits n katram N: n = 1

Parauga lielums: m = 5

Tāpēc pastāv 50% varbūtība, ka 5 paraugā bloks tiks deformēts.

3. vingrinājums

Jauno vidusskolu absolventu sanāksmē piedalās 7 dāmas un 6 kungi. Starp meitenēm 4 studē humanitārās zinātnes un 3 zinātnes. Zēnu grupā 1 studē humanitārās zinātnes un 5 zinātnes. Aprēķini:

a) Triju meiteņu izvēle pēc nejaušības principa: cik iespējams, ka viņi visi studē humanitārās zinātnes?

b) Ja trīs draugu tikšanās dalībniekus izvēlas pēc nejaušības principa: Kāda ir iespēja, ka trīs no viņiem neatkarīgi no dzimuma studē zinātni visus trīs vai arī humanitārās zinātnes visus trīs?

c) Tagad nejauši izvēlieties divus draugus un izsauciet x izlases veida mainīgo "to cilvēku skaits, kuri studē humanitārās zinātnes". Starp diviem izvēlētajiem nosaka vidējo vai paredzamo x vērtību un dispersiju σ ^ 2.

Risinājums

Tagad izmantojamās vērtības:

-Populācija: N = 14

-Kvalitātes līmenis, kurā tiek pētīti burti, ir: n = 6 un

-Parauga lielums: m = 3.

- Draugu skaits, kas studē humanitārās zinātnes: x

Saskaņā ar to x = 3 nozīmē, ka visas trīs studē humanitārās zinātnes, bet x = 0 nozīmē, ka neviens nemācās humanitārās zinātnes. Varbūtību, ka visi trīs studē vienādi, piešķir summa:

P (14, 6, 3, x = 0) + P (14, 6, 3, x = 3) = 0,0560 + 0,1539 = 0,2099

Tad mums ir 21% varbūtība, ka trīs sapulces dalībnieki, kas izvēlēti pēc nejaušības principa, pētīs vienu un to pašu.

Risinājums c

Šeit mums ir šādas vērtības:

N = 14 draugu kopskaits, n = 6 kopējais skaits humanitāro zinātņu studentos, izlases lielums ir m = 2.

Cerība ir:

E (x) = m * (n / N) = 2 * (6/14) = 0,8572

Un dispersija:

σ (x) ^ 2 = m * (n / N) * (1-n / N) * (Nm) / (N-1) = 2 * (6/14) * (1-6 / 14) * ( 14-2) / (14-1) =

= 2 * (6/14) * (1-6 / 14) * (14-2) / (14-1) = 2 * (3/7) * (1-3 / 7) * (12) / ( 13) = 0,4521

Atsauces

1. Diskrēti varbūtības sadalījumi. Atgūts no: biplot.usal.es
2. Statistika un varbūtība. Hipergeometriskais sadalījums. Atgūts no: projectdescartes.org
3. CDPYE-UGR. Hipergeometriskais sadalījums. Atgūts no: ugr.es
4. Ģeogebra. Klasiskā ģeogebra, varbūtības aprēķins. Atjaunots no geogebra.org
5. Mēģiniet viegli. Atrisinātas hipergeometriskā sadalījuma problēmas. Atgūts no: probafacil.com
6. Minitab. Hipergeometriskais sadalījums. Atgūts no: support.minitab.com
7. Vigo universitāte. Galvenie diskrētie sadalījumi. Atgūts no: anapg.webs.uvigo.es
8. Vitūtors. Statistika un kombinatorika. Atgūts no: vitutor.net
9. Veisšteins, Ēriks W. Hipergeometriskais sadalījums. Atgūts no: mathworld.wolfram.com
10. Wikipedia. Hipergeometriskais sadalījums. Atgūts no: es.wikipedia.com