ŠTEINERA TEORĒMA: SKAIDROJUMS, PIELIETOJUMI, VINGRINĀJUMI - FIZISKĀ - 2025

Steiner 's teorēmu , kas pazīstams arī kā paralēli ass teorēma, lai novērtētu inerces moments paplašinātā ķermeņa ap asi, kas ir paralēla citam iet caur centru masas objekta.

To atklāja Šveices matemātiķis Jakobs Šteiners (1796 –1863) un teikts šādi: ļaujiet I _{CM būt} objekta inerces brīdim attiecībā pret asi, kas šķērso tā masas centru CM, un I _z inerces momentu attiecībā pret citu asi. paralēli tam.

1. attēls. Taisnstūra durvīm, kas rotē uz eņģēm, ir inerces moments, ko var aprēķināt, izmantojot Šteinera teorēmu. Avots: Pixabay.

Zinot attālumu D, kas atdala abas asis, un attiecīgā ķermeņa masu M, inerces moments attiecībā pret nezināmo asi ir:

Inerces moments norāda, cik viegli objektam ir griezties ap noteiktu asi. Tas ir atkarīgs ne tikai no ķermeņa masas, bet arī no tā, kā tā tiek sadalīta. Šī iemesla dēļ to sauc arī par rotācijas inerci, kas ir tās vienības Starptautiskajā sistēmā Kg. m ² .

Teorēma parāda, ka inerces moments I _z vienmēr ir lielāks par inerces brīdi I _CM par daudzumu, ko piešķir MD ² .

Lietojumprogrammas

Tā kā objekts spēj pagriezties ap daudzām asīm un tabulās parasti tiek norādīts tikai inerces moments attiecībā pret asi, kas iet caur centraidu, Šteinera teorēma atvieglo aprēķinu, kad nepieciešams pagriezt ķermeņus ap asīm. kas neatbilst šim.

Piemēram, durvis parasti negriežas ap asi caur masas centru, bet gan pa sānu asi, kur eņģes pielīp.

Zinot inerces momentu, ir iespējams aprēķināt kinētisko enerģiju, kas saistīta ar griešanos ap minēto asi. Ja K ir kinētiskā enerģija, I inerces moments ap attiecīgo asi un ω leņķiskais ātrums, tad sekojoši:

Šis vienādojums ir ļoti līdzīgs ļoti pazīstamajai kinētiskās enerģijas formulai masas M objektam, kas pārvietojas ar ātrumu v: K = ½ Mv ² . Un tas ir tāds, ka inerces vai rotācijas inerces brīdim rotācijā ir tāda pati loma kā masai M tulkojumā.

Šteinera teorēmas pierādījums

Izstiepta objekta inerces momentu definē šādi:

I = ∫ r ² dm

Kur dm ir bezgalīga masas daļa un r ir attālums starp dm un rotācijas asi z. 2. attēlā šī ass šķērso masas CM centru, lai arī tā var būt jebkura.

2. attēls. Objekts, kas pagarināts rotācijā ap divām paralēlām asīm. Avots: F. Zapata.

Ap citu z 'asi inerces moments ir:

I _z = ∫ (r ') ² dm

Pēc trijstūra, ko veido vektori D , r un r ' (skat. 2. attēlu labajā pusē), ir vektora summa:

r + r ' = D → r' = D - r

Trīs vektori atrodas uz objekta plaknes, kas var būt xy. Koordinātu sistēmas izcelsme (0,0) tiek izvēlēta CM, lai atvieglotu sekojošos aprēķinus.

Tādā veidā vektora r ' kvadrāta modulis ir:

Tagad šī attīstība ir aizstāta ar inerces momenta I _z integrālu un tiek izmantota arī blīvuma dm = ρ.dV definīcija:

Termins M. D ^2, kas parādās Šteinera teorēmā, nāk no pirmās integrāles, otrais ir inerces moments attiecībā pret asi, kas iet caur CM.

Savukārt trešā un ceturtā integrāļu vērtība ir 0, jo pēc definīcijas tie veido CM pozīciju, kas ir izvēlēta par koordinātu sistēmas sākumu (0,0).

Atrisināti vingrinājumi

-Atrisināts vingrinājums 1

1. attēlā redzamo taisnstūra durvju masa ir 23 kg, platums 1,30 un augstums 2,10 m. Nosakiet durvju inerces momentu attiecībā pret asi, kas iet caur eņģēm, pieņemot, ka durvis ir plānas un vienmērīgas.

3. attēls. 1. piemērotā shēma. Avots: pārveidots no Pixabay.

Risinājums

No inerces momentu tabulas taisnstūrveida plāksnei ar masu M un izmēriem a un b inerces moments attiecībā pret asi, kas iet caur tās masas centru, ir: I _CM = (1/12) M (a ² + b ² ).

Tiks pieņemti viendabīgi vārti (tuvinājums, jo vārti attēlā, iespējams, nav tādi). Šādā gadījumā masas centrs iet caur savu ģeometrisko centru. 3. attēlā ir uzzīmēta ass, kas iet caur masas centru, un tā ir paralēla arī asij, kas iet caur eņģēm.

I _CM = (1/12) x 23 kg x (1,30 ² +2,10 ² ) m ² = 11,7 kg / m ²

Šteinera teorēmas piemērošana zaļajai rotācijas asij:

I = I _CM + MD ² = 11,7 Kg.m ² + 23 Kg x 0,652 m ² = 21,4 Kg.

-Izolēts 2. vingrinājums

Atrodiet viendabīga plāna stieņa inerces momentu, kad tas griežas ap asi, kas iet caur vienu no tā galiem, sk. Attēlu. Vai tas ir lielāks vai mazāks par inerces brīdi, kad tas griežas ap savu centru? Kāpēc?

4. attēls. Izšķirtā piemēra shēma. 2. Avots: F. Zapata.

Risinājums

Saskaņā ar inerces momentu tabulu plānas stieņa ar masu M un garumu L inerces moments I _CM ir: I _CM = (1/12) ML ²

Un Šteinera teorēma norāda, ka pagriežot ap asi, kas iet caur vienu galu D = L / 2, tas paliek:

Tas ir lielāks, kaut arī ne tikai divreiz, bet četras reizes vairāk, jo stieņa otra puse (attēlā nav iekrāsota) griežas, aprakstot lielāku rādiusu.

Attāluma ietekme uz rotācijas asi nav lineāra, bet gan kvadrātiska. Masai, kas ir divreiz lielāka nekā cits attālums, inerces moments ir proporcionāls (2D) ² = 4D ² .

Atsauces

1. Bauers, W. 2011. Fizika inženierzinātnēm un zinātnēm. 1. sējums. Mc Graw Hill. 313-340.
2. Džordžijas štata universitāte. Rotācijas kustība. Atgūts no: phys.nthu.edu.tw.
3. Paralēlā ass teorēma. Atgūts no: hyperphysics.phy-astr.gsu.edu.
4. Rekss, A. 2011. Fizikas pamati. Pīrsons. 190-200.
5. Wikipedia. Paralēlas ass teorēma. Atgūts no: en.wikipedia.org