BINOMU SADALĪJUMS: JĒDZIENS, VIENĀDOJUMS, RAKSTURLIELUMI, PIEMĒRI - DUDAS - 2025

Binomiālā sadalījums ir varbūtību sadalījums, ar kuru tiek aprēķināta varbūtība rašanās notikumu, ar nosacījumu, ka tās notiek divās kārtībai panākumus vai neveiksmes.

Šie apzīmējumi (panākumi vai neveiksmes) ir pilnīgi patvaļīgi, jo tie nebūt nenozīmē labas vai sliktas lietas. Šī raksta laikā mēs norādīsim binomālā sadalījuma matemātisko formu un tad sīki tiks izskaidrota katra termina nozīme.

1. attēls. Stieņa griešanās ir parādība, kuru var modelēt, izmantojot binomālo sadalījumu. Avots: Pixabay.

Vienādojums

Vienādojums ir šāds:

Ar x = 0, 1, 2, 3… .n, kur:

- P (x) ir precīzi x panākumu varbūtība starp n mēģinājumiem vai izmēģinājumiem.

- x ir mainīgais, kas raksturo interesējošo fenomenu, kas atbilst panākumu skaitam.

- n mēģinājumu skaits

- p ir veiksmes varbūtība vienā mēģinājumā

- q ir neveiksmes varbūtība vienā mēģinājumā, tāpēc q = 1 - p

Izsaukuma zīme "!" tiek izmantots faktoriālajai notācijai, tāpēc:

0! = 1

viens! = 1

divi! = 2,1 = 2

3! = 3.2.1 = 6

4! = 4.3.2.1 = 24

5! = 5.4.3.2.1 = 120

Un tā tālāk.

Koncepcija

Binomālais sadalījums ir ļoti piemērots, lai aprakstītu situācijas, kurās notikums notiek vai nenotiek. Ja tā notiek, tā ir veiksme, un ja nē, tad tā ir neveiksme. Turklāt veiksmes varbūtībai vienmēr jābūt nemainīgai.

Pastāv parādības, kas atbilst šiem nosacījumiem, piemēram, monētas nomīšana. Šajā gadījumā mēs varam teikt, ka "panākumi" iegūst seju. Varbūtība ir ½ un nemainās, neatkarīgi no tā, cik reizes tiek monēta.

Godīga nāves rullis ir vēl viens labs piemērs, kā arī noteiktas produkcijas klasificēšana labos un nepilnīgos gabalos un, vērpjot ruletes riteni, kļūst sarkana, nevis melna.

raksturojums

Binomālā sadalījuma raksturlielumus varam apkopot šādi:

- Jebkurš notikums vai novērojums tiek iegūts no bezgalīgas populācijas bez aizstāšanas vai no ierobežotas populācijas ar aizstāšanu.

- Tiek apsvērtas tikai divas savstarpēji izslēdzošas iespējas: veiksme vai neveiksme, kā skaidrots sākumā.

- Panākumu iespējamībai jābūt nemainīgai visos veiktajos novērojumos.

- Jebkura notikuma rezultāts ir neatkarīgs no jebkura cita notikuma.

- Binomālā sadalījuma vidējais lielums ir np

- standartnovirze ir:

Pielietojuma piemērs

Veiksim vienkāršu notikumu, kas, iespējams, iegūs 2 galvas 5, 3 reizes ripinot godīgu mirst. Kāda ir varbūtība, ka 3 mētāšanās laikā tiks iegūtas 2 no 5 galvām?

Ir vairāki veidi, kā to sasniegt, piemēram:

- Pirmie divi palaišanas gadījumi ir 5, bet pēdējie - ne.

- Pirmais un pēdējais ir 5, bet ne vidējais.

- Pēdējie divi metieni ir 5, bet pirmais - nē.

Ņemsim pirmo aprakstīto secību kā piemēru un aprēķināsim tās rašanās varbūtību. Varbūtība iegūt 5 galvas pirmajā rullī ir 1/6, kā arī otrajā, jo tie ir neatkarīgi notikumi.

Varbūtība, ka pēdējā rullī iekļūs cita galva, kas nav 5, ir 1 - 1/6 = 5/6. Tāpēc varbūtība, ka šī secība iznāk, ir varbūtību reizinājums:

(1/6). (1/6). (5/6) = 5/216 = 0,023

Kā ir ar pārējām divām sekvencēm? Viņiem ir tāda pati varbūtība: 0.023.

Un tā kā mums kopā ir 3 veiksmīgas sekvences, kopējā varbūtība būs šāda:

2. piemērs

Viena universitāte apgalvo, ka 80% koledžas basketbola komandas studentu ir absolventi. Izmeklēšanā tiek pārbaudīti 20 studentu, kas pieder minētajai basketbola komandai, akadēmiskie dati, kuri pirms kāda laika iestājās universitātē.

No šiem 20 studentiem 11 beidza mācības un 9 pameta.

2. attēls. Gandrīz visi studenti, kuri spēlē par koledžas komandas absolventiem. Avots: Pixabay.

Ja universitātes apgalvojums ir patiess, studentu skaitam, kuri spēlē basketbolu un absolventi no 20, jābūt divdomīgo sadalījumam ar n = 20 un p = 0,8. Kāda ir varbūtība, ka tieši 11 no 20 spēlētājiem absolvēs?

Risinājums

Binomālajā sadalījumā:

3. piemērs

Pētnieki veica pētījumu, lai noteiktu, vai pastāv ievērojamas atšķirības absolventu skaitā starp medicīnas studentiem, kuri uzņemti, izmantojot īpašas programmas, un medicīnas studentiem, kuri uzņemti, izmantojot regulārus uzņemšanas kritērijus.

Tika konstatēts, ka studentu ārstu, kas uzņemti caur īpašām programmām, absolventu skaits ir 94% (pamatojoties uz Amerikas Medicīnas asociācijas žurnāla datiem).

Ja 10 no īpašajām programmām studenti tiek izvēlēti nejauši, atrodiet varbūtību, ka vismaz 9 no viņiem ir absolvējuši.

b) Vai būtu neparasti nejauši atlasīt 10 studentus no īpašajām programmām un secināt, ka tikai 7 no viņiem ir absolvējuši?

Risinājums

Varbūtība, ka students, kurš uzņemts caur speciālo programmu, absolvēs, ir 94/100 = 0,94. Mēs izvēlamies n = 10 studentus no īpašajām programmām un vēlamies noskaidrot varbūtību, ka vismaz 9 no viņiem absolvēs.

Pēc tam binomija sadalījumā tiek aizstātas šādas vērtības:

b)

Atsauces

1. Berensons, M. 1985. Vadības un ekonomikas statistika. Interamericana SA
2. MathWorks. Binomu sadalījums. Atgūts no: es.mathworks.com
3. Mendenhall, W. 1981. Vadības un ekonomikas statistika. 3. izdevums. Grupo Editorial Iberoamérica.
4. Moore, D. 2005. Lietotā pamata statistika. 2. Izdevums.
5. Triola, M. 2012. Elementārā statistika. 11. Ed Pearon izglītība.
6. Wikipedia. Binomu sadalījums. Atgūts no: es.wikipedia.org