KURTOZE: DEFINĪCIJA, VEIDI, FORMULAS, KAM TĀ PAREDZĒTA, PIEMĒRAM - DUDAS - 2025

Ekscesa koeficientu vai ekscesa koeficientu ir statistikas parametrs, ko izmanto, lai raksturotu no gadījuma lieluma varbūtību sadalījumu, norādot pakāpi koncentrācijas vērtību ap centrālo pasākumu. To sauc arī par "augstāko pakāpi".

Termins cēlies no grieķu valodas "kurtos", kas nozīmē izliekts, tāpēc kurtoze norāda sadalījuma pavērsiena vai saplacināšanas pakāpi, kā redzams šajā attēlā:

1. attēls. Dažādi kurtozes veidi. Avots: F. Zapata.

Gandrīz visām izlases lieluma vērtībām ir tendence sagrupēties ap centrālo vērtību, piemēram, vidējo. Bet dažos sadalījumos vērtības ir vairāk izkliedētas nekā citās, kā rezultātā līknes ir plakanākas vai plānākas.

Definīcija

Kurtoze ir skaitliska vērtība, kas raksturīga katram frekvences sadalījumam, kuru atbilstoši vērtību koncentrācijai ap vidējo iedala trīs grupās:

- Leptokurtic: kurās vērtības ir ļoti sagrupētas ap vidējo, tāpēc sadalījums ir diezgan ass un slaids (1. attēls, pa kreisi).

- Mesokúrts: tai ir mērena vērtību koncentrācija ap vidējo vērtību (1. attēls centrā).

- Platicúrtica: šim sadalījumam ir plašāka forma, jo vērtības mēdz būt izkliedētākas (1. attēls labajā pusē).

Formulas un vienādojumi

Kurtozei var būt jebkura vērtība bez ierobežojumiem. Tās aprēķins tiek veikts atkarībā no datu piegādes veida. Katrā gadījumā tiek izmantots šāds apzīmējums:

-Kartozes koeficients: g ₂

-Aritmētiskais vidējais: X vai x ar joslu

-Ar i vērtību: x _i

-Standarta novirze: σ

-Datu skaits: N

-I-tās vērtības biežums: f _i

-Klases zīmols: mx _i

Ar šo apzīmējumu mēs piedāvājam dažas no visbiežāk izmantotajām formulām kurtozes atrašanai:

- Kurtoze saskaņā ar datu noformējumu

Dati nav sagrupēti vai sagrupēti frekvencēs

Dati sagrupēti intervālos

Pārmērīga kurtoze

Saukts arī par Fišera mērķa koeficientu vai Fišera mēru, to izmanto, lai salīdzinātu pētāmo sadalījumu ar parasto sadalījumu.

Kad kurtozes pārpalikums ir 0, mēs atrodamies normāla sadalījuma vai Gausa zvaniņa klātbūtnē. Šādā veidā ikreiz, kad tiek aprēķināta sadalījuma liekā kurtoze, mēs to faktiski salīdzinām ar parasto sadalījumu.

Gan nesagrupētiem, gan apkopotiem datiem Fišera rādītāja koeficients, ko apzīmē ar K, ir:

K = g ₂ - 3

Tagad var parādīt, ka normālā sadalījuma kurtoze ir 3, tāpēc, ja Fišera norādīšanas koeficients ir 0 vai tuvu 0 un ir mezokruktisks sadalījums. Ja K> 0, sadalījums ir leptokurtisks un, ja K <0, tas ir platicrtisks.

Kam paredzēta kurtoze?

Kurtoze ir mainīguma mērs, ko izmanto, lai raksturotu sadalījuma morfoloģiju. Tādā veidā var salīdzināt simetriskos sadalījumus ar vienādu vidējo un vienādu izkliedi (ko nosaka ar standartnovirzi).

Veicot mainīguma mērījumus, vidējie rādītāji ir ticami un palīdz kontrolēt sadalījuma izmaiņas. Kā piemēru apskatīsim šīs divas situācijas.

3 nodaļu algas

Pieņemsim, ka šajā grafikā parādītas algas sadalījums 3 viena un tā paša uzņēmuma nodaļās:

2. attēls. Trīs sadalījumi ar atšķirīgu kurtozi ilustrē praktiskās situācijas. (Sagatavojusi Fanny Zapata)

A līkne ir visplānākā no visām, un no tās formas var secināt, ka vairums šīs nodaļas algu ir ļoti tuvas vidējam, tāpēc lielākā daļa darbinieku saņem līdzīgas kompensācijas.

No otras puses, B nodaļā algu līkne seko normālam sadalījumam, jo ​​līkne ir mezokrtiska, kurā mēs pieņemam, ka algas tika sadalītas nejauši.

Visbeidzot, mums ir līkne C, kas ir ļoti plakana - zīme, ka šajā departamentā algu diapazons ir daudz plašāks nekā citās.

Eksāmena rezultāti

Tagad pieņemsim, ka trīs 2. attēlā redzamās līknes atspoguļo eksāmena rezultātus, ko piemēro trim viena priekšmeta studentu grupām.

Tā grupa, kuras vērtējumus raksturo A leptokurtic līkne, ir diezgan viendabīga, vairākums ieguva vidēju vai tuvu vērtējumu.

Ir arī iespējams, ka rezultāts bija saistīts ar testa jautājumiem, kuriem bija vairāk vai mazāk tāda pati grūtības pakāpe.

No otras puses, C grupas rezultāti norāda uz lielāku neviendabīgumu grupā, kurā, iespējams, ir vidējie studenti, daži progresīvāki studenti un, protams, tas pats mazāk uzmanīgs.

Vai arī tas varētu nozīmēt, ka testa jautājumiem bija ļoti dažādas grūtības pakāpes.

B līkne ir mezokutiska, kas norāda, ka testa rezultāti sekoja normālam sadalījumam. Parasti tas ir visbiežākais gadījums.

Darbīgs kurtozes piemērs

Atrodiet Fišera punktu skaita koeficientu šādām atzīmēm, kas iegūts fizikas eksāmenā studentu grupai, ar skalu no 1 līdz 10:

Risinājums

Nesagrupētiem datiem, kas sniegti iepriekšējās sadaļās, tiks izmantots šāds izteiciens:

K = g ₂ - 3

Šī vērtība ļauj zināt izplatīšanas veidu.

Lai aprēķinātu g _2, ir ērti to darīt sakārtotā veidā, soli pa solim, jo ​​ir jāatrisina vairākas aritmētiskās operācijas.

1. solis

Pirmkārt, tiek aprēķināts atzīmju vidējais vērtējums. Ir N = 11 dati.

2. solis

Tiek atrasta standarta novirze, kurai izmantots šis vienādojums:

σ = 1,992

Varat arī izveidot tabulu, kas nepieciešama arī nākamajam solim un kurā tiek uzrakstīts katrs vajadzīgais summēšanas termiņš, sākot ar (x _i - X), pēc tam (x _i - X) ² un pēc tam (x _i - X) ⁴ :

3. solis

Veiciet summu, kas norādīta g ₂ formulas skaitītājā . Šajā nolūkā tiek izmantots iepriekšējās tabulas labās slejas rezultāts:

∑ (x _i - X) ⁴ = 290,15

Tādējādi:

g ₂ = (1/11) x 290,15 / 1,992 ⁴ = 1,675

Fišera rādītāja koeficients ir:

K = g ₂ - 3 = 1,675 - 3 = -1,325

Interesanti ir rezultāta zīme, kas, būdama negatīva, atbilst platicrtiskam sadalījumam, ko var interpretēt, kā tas tika darīts iepriekšējā piemērā: iespējams, tas ir neviendabīgs kurss ar studentiem ar dažādu interešu pakāpi vai arī eksāmena jautājumi bija dažāda līmeņa grūtības.

Tādas izklājlapas kā Excel izmantošana ievērojami atvieglo šāda veida problēmu risināšanu, kā arī piedāvā grafika sadalījumu.

Atsauces

1. Levins, R. 1988. Administratoru statistika. 2. Izdevums. Prentice zāle.
2. Marco, F. Kurtoze. Atgūts no: economyipedia.com.
3. Oliva, J. Asimetrija un kurtoze. Atgūts no: statisticaucv.files.wordpress.com.
4. Spurr, W. 1982. Lēmumu pieņemšana vadībā. Limusa.
5. Wikipedia. Kurtoze. Atgūts no: en.wikipedia.org.