NEKOPLĀNI VEKTORI: DEFINĪCIJA, NOSACĪJUMI, VINGRINĀJUMI - FIZISKĀ - 2025

Ar vektoriem nesaistīti plakani ir tie, kuriem nav vienādas plaknes. Divi brīvie vektori un punkts nosaka vienu plakni. Trešais vektors var dalīties vai nevar dalīties ar šo plakni, un, ja tas tā nav, tie ir vektori, kas nav koplīmēri.

Vektorus, kas nav kopētāji, nevar attēlot divdimensiju telpās, piemēram, tāfele vai papīra lapa, jo daži no tiem ir ietverti trešajā dimensijā. Lai tos pareizi pārstāvētu, ir jāizmanto perspektīva.

1. attēls. Koplāni un neplakanāri vektori. (Pašu izstrādāts)

Ja skatāmies uz 1. attēlu, visi parādītie objekti stingri atrodas ekrāna plaknē, tomēr, pateicoties perspektīvai, mūsu smadzenes spēj iedomāties plakni (P), kas no tās iznāk.

Šajā plaknē (P) ir vektori r , s , u , bet vektori v un w neatrodas šajā plaknē.

Tāpēc vektori r , s , u ir savstarpēji plakani vai kopīgi, jo tiem ir viena un tā pati plakne (P). Vektoriem v un w nav neviena plakne ar citiem parādītajiem vektoriem, tāpēc tie nav kopētāji.

Koplāņu vektori un plaknes vienādojums

Plakne ir unikāli noteikta, ja trīsdimensiju telpā ir trīs punkti.

Pieņemsim, ka šie trīs punkti ir punkts A, punkts B un punkts C, kas nosaka plakni (P). Ar šiem punktiem ir iespējams konstruēt divus vektorus AB = u un AC = v, kas pēc konstrukcijas ir plaknē ar plakni (P).

Šo divu vektoru šķērsprodukts (vai šķērsprodukts) rada trešo vektoru, kas ir perpendikulārs (vai normāls) tiem un tāpēc perpendikulārs plaknei (P):

n = u X v => n ⊥ u un n ⊥ v => n ⊥ (P)

Visiem citiem punktiem, kas pieder plaknei (P), jāpārliecinās, ka vektors AQ ir perpendikulārs vektoram n ; Tas ir līdzvērtīgi apgalvojumam, ka punktveida produktam (vai punktveida produktam) n ar AQ jābūt nullei:

n • AQ = 0 (*)

Iepriekšējais nosacījums ir līdzvērtīgs apgalvojumam, ka:

AQ • ( u X v ) = 0

Šis vienādojums nodrošina, ka punkts Q pieder plaknei (P).

Plaknes Dekarta vienādojums

Iepriekš minēto vienādojumu var uzrakstīt Dekarta formā. Lai to izdarītu, mēs uzrakstām punktu A, Q koordinātas un parastā vektora n komponentus :

Tātad AQ komponenti ir:

Nosacījums vektora AQ iekļaušanai plaknē (P) ir nosacījums (*), kas tagad tiek uzrakstīts šādi:

Punkta produkta aprēķināšana paliek:

Ja tas tiek izstrādāts un pārkārtots, tas paliek:

Iepriekšējā izteiksme ir plaknes (P) Dekarta vienādojums, kas atkarīgs no (P) normāla vektora komponentiem un punkta A koordinātām, kas pieder (P).

Nosacījumi, lai trīs vektori nebūtu kopētāji

Kā redzams iepriekšējā sadaļā, nosacījums AQ • ( u X v ) = 0 garantē, ka vektors AQ ir vienāda plakne ar u un v .

Ja mēs saucam vektoru AQ w, tad mēs varam apstiprināt, ka:

w , u un v ir vienlīmeņa, ja un tikai tad, ja w • ( u X v ) = 0.

Nepilnīguma nosacījums

Ja trīs vektoru trīskāršais produkts (vai jauktais produkts) atšķiras no nulles, tad šie trīs vektori nav koplanāri.

Ja w • ( u X v ) ≠ 0, tad vektori u, v un w nav kopētāji.

Ja tiek ieviesti vektoru u, v un w Dekarta komponenti, tad nesalonaritātes nosacījumu var uzrakstīt šādi:

Trīskāršajam produktam ir ģeometriska interpretācija, un tas attēlo paralēlā cauruma tilpumu, ko rada trīs vektori, kas nav koplanāri.

2. attēls. Trīs neplakani vektori nosaka paralēlā pīpi, kura tilpums ir trīskāršā produkta modulis. (Pašu izstrādāts)

Iemesls ir šāds: Kad divi no vektoriem, kas nav koplāni, tiek reizināti vektoriāli, tiek iegūts vektors, kura lielums ir to ģenerētās paralēles diagrammas laukums.

Tad, kad šo vektoru reizina ar trešo vektoru, kas nav koplanārs, mums ir projekcija uz vektoru, kas ir perpendikulārs plaknei, kuru pirmie divi nosaka, reizinot ar laukumu, kuru viņi nosaka.

Citiem vārdiem sakot, mums ir paralēles diagrammas laukums, ko ģenerē pirmie divi, reizinot ar trešā vektora augstumu.

Alternatīvs nosacījums, kas nepieļauj vienlīdzīgumu

Ja jums ir trīs vektori un nevienu no tiem nevar uzrakstīt kā pārējo divu lineāru kombināciju, tad trīs vektori nav koplīmēri. Tas ir, trīs vektori u , v un w nav kopētāji, ja nosacījums:

α u + β v + γ w = 0

Tas ir apmierināts tikai tad, ja α = 0, β = 0 un γ = 0.

Atrisināti vingrinājumi

-Uzdevums 1

Ir trīs vektori

u = (-3, -6, 2); v = (4, 1, 0) un w = (-1, 2, z)

Ņemiet vērā, ka vektora w komponents w nav zināms.

Atrodiet vērtību diapazonu, kuru z var izmantot, lai garantētu, ka trim vektoriem nav vienādas plaknes.

Risinājums

w • ( u X v ) = -3 (z - 0) + 6 (4 z - 0) + 2 (8 + 1) = -3z + 24z + 18 = 21z + 18

Mēs šo izteiksmi pielīdzinām nulles vērtībai

21 z + 18 = 0

un mēs risinām par z

z = -18 / 21 = -6/7

Ja mainīgajam z būtu vērtība -6/7, tad trīs vektori būtu vienlīmeņa.

Tātad z vērtības, kas garantē, ka vektoriem nav kopētāju, ir šādas ar intervālu:

z ∈ (-∞, -6 / 7) U (-6/7, ∞)

- 2. vingrinājums

Atrodiet šajā attēlā parādītā paralēlā caurules tilpumu:

Risinājums

Lai atrastu attēlā redzamās paralēlās līnijas tilpumu, tiks noteikti trīs vienlaicīgu vektoru, kas nav koplanāri, koordinātu sistēmas sākumā Dekarta komponenti. Pirmais ir 4 m vektors u, kas ir paralēls X asij:

u = (4, 0, 0) m

Otrais ir vektors v XY plaknē ar izmēru 3m, kas veido 60 ° ar X asi:

v = (3 * cos 60º, 3 * sin 60º, 0) = (1,5, 2,6, 0,0) m

Un trešais ir vektors w 5m un kura projekcija XY plaknē veido 60 ° ar X asi, un w veido 30 ° ar Z asi.

w = (5 * sin 30º * cos 60º, 5 * sin 30º * sin 60º, 5 * sin 30º)

Kad aprēķini ir veikti, mums ir: w = (1,25, 2,17, 2,5) m.

Atsauces

1. Figueroa, D. Sērija: Fizika zinātnēm un inženierzinātnēm. Sējums 1. Kinemātika. 31-68.
2. Fiziskā. 8. modulis: Vektori. Atgūts no: frtl.utn.edu.ar
3. Hibbeler, R. 2006. Mehānika inženieriem. Statiskā 6. izdevums. Kontinentālās izdevniecības uzņēmums, 28. – 66.
4. Makleins, W. Schaum sērija. Mehānika inženieriem: statika un dinamika. 3. izdevums. Makgreiva kalns. 1-15.
5. Wikipedia. Vektors. Atgūts no: es.wikipedia.org