DIREKTORA VEKTORS: LĪNIJAS VIENĀDOJUMS, ATRISINĀTI VINGRINĀJUMI - FIZISKĀ - 2025

Ar režisora ​​vektoru saprot tādu, kas nosaka līnijas virzienu plaknē vai telpā. Tāpēc vektoru, kas ir paralēls līnijai, var uzskatīt par tās virzošo vektoru.

Tas ir iespējams, pateicoties Eiklīda ģeometrijas aksiomai, kas saka, ka divi punkti nosaka līniju. Tad orientētais segments, ko veido šie divi punkti, arī nosaka minētās līnijas direktoru vektoru.

1. attēls. Līnijas direktors. (Pašu izstrādāts)

Piešķirot punktam P, kas pieder pie līnijas (L), un ņemot vērā šīs līnijas direktoru vektoru u , līnija tiek pilnībā noteikta.

Līnijas un virziena vektora vienādojums

2. attēls. Līnijas un virzītāja vektora vienādojums. (Pašu izstrādāts)

Piešķirot koordinātu P punktu (Xo, I) un līnijas (L) u vektoru u , katram koordinātu Q punktam Q: (X, Y) jāpārliecinās, ka vektors PQ ir paralēls u. Šis pēdējais nosacījums tiek garantēts, ja PQ ir proporcionāls u :

PQ = t⋅ u

iepriekšminētajā izteiksmē t ir parametrs, kas pieder pie reālajiem skaitļiem.

Ja tiek rakstīti PQ un u Dekarta komponenti , iepriekš minēto vienādojumu raksta šādi:

(X-Xo, Y-Yo) = t⋅ (a, b)

Ja vektora vienlīdzības komponenti tiek izlīdzināti, iegūst šādu vienādojumu pāri:

X - Xo = dīvains Y - I = b⋅t

Līnijas parametriskais vienādojums

Punkta X un Y koordinātes, kas pieder pie līnijas (L) un iet caur koordinātu punktu (Xo, Yo) un ir paralēlas direktoru vektoram u = (a, b), nosaka, mainīgajam parametram t piešķirot reālās vērtības:

{X = Xo + a⋅t; Y = I + b⋅t}

1. piemērs

Lai ilustrētu līnijas parametriskā vienādojuma nozīmi, mēs kā virzošo vektoru izmantojam

u = (a, b) = (2, -1)

un kā zināms līnijas punkts - punkts

P = (Xo, I) = (1,5).

Līnijas parametriskais vienādojums ir:

{X = 1 + 2⋅t; Y = 5 - 1⋅t; -∞

Lai ilustrētu šī vienādojuma nozīmi, parādīts 3. attēls, kur parametrs t maina tā vērtību un koordinātu punkts Q (X, Y) ieņem dažādas pozīcijas uz līnijas.

3. attēls. PQ = t u. (Pašu izstrādāts)

Līnija vektora formā

Ņemot vērā punktu P uz līnijas un tā direktoru vektoru u, līnijas vienādojumu var uzrakstīt vektoru formā:

OQ = OP + λ⋅ u

Iepriekš minētajā vienādojumā Q ir jebkurš punkts, bet kas pieder pie līnijas un λ ir reāls skaitlis.

Līnijas vektora vienādojums ir piemērojams jebkuram dimensiju skaitam, pat hiperlīniju var definēt.

Trīsdimensiju gadījumā direktoru vektoram u = (a, b, c) un punktam P = (Xo, Yo, Zo), līnijai piederošā vispārējā punkta Q = (X, Y, Z) koordinātas ir :

(X, Y, Z) = (Xo, Yo, Zo) + λ⋅ (a, b, c)

2. piemērs

Vēlreiz apsveriet līniju, kurai ir kā virzošais vektors

u = (a, b) = (2, -1)

un kā zināms līnijas punkts - punkts

P = (Xo, I) = (1,5).

Minētās līnijas vektora vienādojums ir:

(X, Y) = (1, 5) + λ⋅ (2, -1)

Nepārtraukta līnijas un režisora ​​vektora forma

Sākot no parametriskās formas, notīrot un pielīdzinot parametru λ, mums ir:

(X-Xo) / a = (Y-Yo) / b = (Z-Zo) / c

Šī ir līnijas vienādojuma simetriskā forma. Ņemiet vērā, ka a, b un c ir režisora ​​vektora komponenti.

3. piemērs

Apsveriet līniju, kurai ir kā virzošais vektors

u = (a, b) = (2, -1)

un kā zināms līnijas punkts - punkts

P = (Xo, I) = (1,5). Atrodiet tā simetrisko formu.

Līnijas simetriskā vai nepārtrauktā forma ir:

(X - 1) / 2 = (Y - 5) / (- 1)

Līnijas vienādojuma vispārējā forma

Līnijas vispārējā forma XY plaknē ir pazīstama kā vienādojums, kam ir šāda struktūra:

A⋅X + B⋅Y = C

Simetriskās formas izteicienu var pārrakstīt, lai iegūtu vispārīgo formu:

b⋅X - a⋅Y = b⋅Xo - a⋅Yo

salīdzinot ar līnijas vispārējo formu, tā ir:

A = b, B = -a un C = b⋅Xo - a⋅Yo

3. piemērs

Atrodiet tās līnijas vispārīgo formu, kuras direktoru vektors ir u = (2, -1)

un kas iet caur punktu P = (1, 5).

Lai atrastu vispārīgo formu, mēs varam izmantot dotās formulas, tomēr tiks izvēlēts alternatīvs ceļš.

Sākumā atrodam direktoru vektora duālo vektoru w, kas definēts kā vektors, kas iegūts, apmainot u komponentus un reizinot otro ar -1:

w = (-1, -2)

dubultā vektors w atbilst direktora vektora v rotācijai 90 ° pulksteņa rādītāja virzienā .

Mēs skalari reizinām w ar (X, Y) un ar (Xo, Yo) un iestatām vienādus:

(-1, -2) • (X, Y) = (-1, -2) • (1, 5)

-X-2Y = -1 -2⋅5 = -11

beidzot palieku:

X + 2Y = 11

Līnijas vienādojuma standarta forma

To sauc par līnijas standarta formu XY plaknē, kurai ir šāda struktūra:

Y = m⋅X + d

kur m apzīmē slīpumu un d ir krustojums ar Y asi.

Ņemot vērā virziena vektoru u = (a, b), slīpums m ir b / a.

Yd iegūst, aizstājot X un Y ar zināmo punktu Xo, I:

I = (b / a) Xo + d.

Īsāk sakot, m = b / a un d = I - (b / a) Xo

Ņemiet vērā, ka slīpums m ir koeficients starp direktora vektora y komponentu un tā x komponentu.

4. piemērs

Atrodiet tās līnijas standarta formu, kuras direktors vektors ir u = (2, -1)

un kas iet caur punktu P = (1, 5).

m = -½ un d = 5 - (-½) 1 = 11/2

Y = (-1/2) X + 11/2

Atrisināti vingrinājumi

-Uzdevums 1

Atrodiet līnijas (L) direktoru vektoru, kas ir plaknes (Π) krustojums: X - Y + Z = 3 un plaknes (Ω): 2X + Y = 1.

Tad uzrakstiet līnijas (L) vienādojuma nepārtraukto formu.

Risinājums

No plaknes (Ω) klīrensa Y vienādojuma: Y = 1 -2X

Tad plaknes (Π) vienādojumā mēs aizstājam:

X - (1 - 2X) + Z = 3 ⇒ 3X + Z = 4 ⇒ Z = 4 - 3X

Tad mēs parametrējam X, mēs izvēlamies parametru X = λ

Tas nozīmē, ka līnijai ir vektora vienādojums, ko piešķir:

(X, Y, Z) = (λ, 1 - 2λ, 4 - 3λ)

ko var pārrakstīt kā:

(X, Y, Z) = (0, 1, 4) + λ (1, -2, -3)

ar kuru ir skaidrs, ka vektors u = (1, -2, -3) ir līnijas (L) virzošais vektors.

Līnijas nepārtrauktā forma (L) ir šāda:

(X - 0) / 1 = (Y - 1) / (- 2) = (Z - 4) / (- 3)

- 2. vingrinājums

Ņemot vērā plakni 5X + a Y + 4Z = 5

un līnija, kuras vienādojums ir X / 1 = (Y-2) / 3 = (Z -2) / (- 2)

Nosakiet vērtību tā, lai plakne un līnija būtu paralēlas.

2. risinājums

Vektors n = (5, a, 4) ir vektors, kas ir normāls plaknei.

Vektors u = (1, 3, -2) ir līnijas virzošais vektors.

Ja līnija ir paralēla plaknei, tad n • v = 0.

(5, a, 4) • (1, 3, -2) = 5 +3 a -8 = 0 ⇒ a = 1.

Atsauces

1. Flemings, W., un Varbergs, DE (1989). Priekškalkulu matemātika. Prentice Hall PTR.
2. Kolmans, B. (2006). Lineārā algebra. Pīrsona izglītība.
3. Leāls, JM un Vilorija, NG (2005). Plaknes analītiskā ģeometrija. Mérida - Venecuēla: Venezolana CA redakcija
4. Navarro, Rokio. Vektori. Atgūts no: books.google.co.ve.
5. Perezs, CD (2006). Iepriekšēja aprēķināšana. Pīrsona izglītība.
6. Prenowitz, W. 2012. Ģeometrijas pamatjēdzieni. Rowman & Littlefield.
7. Sullivans, M. (1997). Iepriekšēja aprēķināšana. Pīrsona izglītība.