VEKTORS: RAKSTURLIELUMI UN ĪPAŠĪBAS, ELEMENTI, VEIDI, PIEMĒRI - ZINĀTNE - 2025

Par vektori ir matemātiskie vienības, kas ir vispārēji pavadībā mērvienība -positiva- lieluma un virziena labi. Šādas īpašības ir ļoti piemērotas, lai aprakstītu fiziskos lielumus, piemēram, ātrumu, spēku, paātrinājumu un daudz ko citu.

Ar vektoriem ir iespējams veikt tādas darbības kā saskaitīšana, atņemšana un reizināšana. Sadalījums nav noteikts vektoriem, un tāpat kā reizinājumam, ir trīs klases, kuras mēs aprakstīsim vēlāk: dotprodukts vai punkts, vektora produkts vai krusts un skalāra produkts ar vektoru.

1. attēls. Vektoru elementi. Avots: Wikimedia Commons.

Lai pilnībā aprakstītu vektoru, ir jānorāda visi tā raksturlielumi. Lielums vai modulis ir skaitliska vērtība, ko papildina vienība, savukārt virzienu un jēgu nosaka ar koordinātu sistēmas palīdzību.

Apskatīsim piemēru: pieņemsim, ka lidmašīna lido no vienas pilsētas uz otru ar ātrumu 850 km / h Z virzienā. Šeit mums ir pilnībā noteikts vektors, jo ir pieejams lielums: 850 km / h, savukārt virziens un jēga ir NE.

Vektorus parasti grafiski attēlo orientēti līnijas segmenti, kuru garums ir proporcionāls lielumam.

Lai norādītu virzienu un jēgu, ir nepieciešama atskaites līnija, kas parasti ir horizontālā ass, lai arī par atskaites punktu var ņemt arī ziemeļus, tāds ir plaknes ātrums:

2. attēls. Ātruma vektors. Avots: F. Zapata.

Attēlā parādīts lidmašīnas ātruma vektors, kas treknrakstā apzīmēts ar v , lai to atšķirtu no skalārā daudzuma, kam nepieciešama tikai skaitliska vērtība un dažas vienības.

Vektoru elementi

Kā jau teicām, vektora elementi ir:

-Magnitāte vai modulis, ko dažreiz sauc arī par vektora absolūto vērtību vai normu.

-Adrese

-Sense

2. attēla piemērā v modulis ir 850 km / h. Modulis tiek apzīmēts kā v bez treknraksta vai kā - v -, kur joslas apzīmē absolūto vērtību.

V virziens ir norādīts attiecībā pret ziemeļiem. Šajā gadījumā tas atrodas 45 ° uz ziemeļiem no austrumiem (45 ° Z). Visbeidzot bultiņas gals informē par v .

Šajā piemērā vektora izcelsme ir uzzīmēta, sakrītot ar koordinātu sistēmas O sākumu, tas ir pazīstams kā savienots vektors. No otras puses, ja vektora izcelsme nesakrīt ar atsauces sistēmas izcelsmi, tiek uzskatīts, ka tas ir brīvs vektors.

Jāatzīmē, ka, lai pilnībā norādītu vektoru, ir jāņem vērā šie trīs elementi, pretējā gadījumā vektora apraksts būtu nepilnīgs.

Vektora taisnstūra komponenti

3. attēls. Vektora taisnstūra komponenti plaknē. Avots: Wikimedia Commons. uranther

Attēlā mums ir atpakaļ vektora v piemērs , kas atrodas xy plaknē.

Ir viegli redzēt, ka v projekcijas uz x un y koordinātu asīm nosaka taisnstūri. Šīs projekcijas ir v _{y un} v _x un tiek sauktas par v taisnstūra komponentiem .

Viens veids, kā apzīmēt v ar taisnstūrveida komponentiem, ir šāds: v =x, v _un >. Šīs iekavas tiek izmantotas iekavu vietā, lai uzsvērtu faktu, ka tas ir vektors, nevis periods, jo šajā gadījumā tiks izmantotas iekavas.

Ja vektors atrodas trīsdimensiju telpā, ir nepieciešams vēl viens komponents, lai:

v =x, v _y , v _z >

Zinot taisnstūra sastāvdaļas tiek aprēķināts lielums vektora, kas atbilst atrastu hipotenūza ir trijstūris, kura kājas ir v _x un v _{un .} Izmantojot Pitagora teorēmu, izriet, ka:

Vektoru polārā forma

Kad ir zināms vektora lielums v un leņķis θ, ko tas veido ar pamatasi, parasti horizontālo asi, tad arī tiek noteikts vektors. Pēc tam tiek teikts, ka vektors tiek izteikts polārā formā.

Taisnstūra komponentus šajā gadījumā var viegli aprēķināt:

Saskaņā ar iepriekš minēto, plaknes ātruma vektora v taisnstūra komponenti būtu:

Veidi

Ir vairāki vektoru veidi. Ir ātruma, pozīcijas, pārvietojuma, spēka, elektriskā lauka, impulsa un daudz ko citu vektori. Kā mēs jau teicām, fizikā ir liels skaits vektoru daudzumu.

Attiecībā uz vektoriem, kuriem ir noteiktas īpašības, mēs varam minēt šādus vektoru veidus:

-Null : tie ir vektori, kuru lielums ir 0 un tiek apzīmēti ar 0. Atcerieties, ka treknais burts simbolizē vektora trīs pamatīpašības, bet parastais burts apzīmē tikai moduli.

Piemēram, statiskā līdzsvara stāvoklī esošam ķermenim spēku summai jābūt nulles vektorei.

- Brīvi un savienoti : brīvi vektori ir tie, kuru sākuma un saņemšanas punkti ir jebkurš punktu pāris plaknē vai telpā, atšķirībā no savienotajiem vektoriem, kuru izcelsme sakrīt ar atsauces sistēmu, ko izmanto, lai tos aprakstītu.

Pāris vai moments, ko rada pāris spēki, ir labs brīvā vektora piemērs, jo pāris neattiecas uz kādu konkrētu punktu.

- Ekvivalenti : tie ir divi brīvie vektori, kuriem ir identiskas īpašības. Tāpēc viņiem ir vienāds lielums, virziens un jēga.

- kopējais vai kopējais plakans: vektori, kas pieder tai pašai plaknei.

- Pretstati : vektori ar vienādu lielumu un virzienu, bet pretēji. Vektors, kas atrodas pretī vektoram v, ir vektors - v, un abu summa ir nulles vektors: v + (- v ) = 0 .

- Vienlaicīgs : vektori, kuru darbības virzieni šķērso to pašu punktu.

- Bīdņi : ir tie vektori, kuru pielietojuma punkts var slīdēt pa noteiktu līniju.

- Kolineārs : vektori, kas atrodas uz vienas līnijas.

- vienoti : vektori, kuru modulis ir 1.

Ortogonālie vienību vektori

Fizikā ir ļoti noderīgs vektora tips, ko sauc par ortogonālu vienības vektoru. Ortogonālā vienības vektorā ir modulis, kas vienāds ar 1, un vienības var būt jebkuras, piemēram, ātruma, pozīcijas, spēka vai citas.

Pastāv īpašu vektoru komplekts, kas palīdz viegli attēlot citus vektorus un veikt ar tiem operācijas: tie ir ortogonālie vienības vektori i , j un k , vienības un perpendikulāri viens otram.

Divās dimensijās šie vektori tiek virzīti gan x, gan y ass pozitīvajā virzienā. Un trīs dimensijās vienības vektors tiek pievienots pozitīvās z ass virzienā. Tos attēlo šādi:

i = <1, 0,0>

j = <0,1,0>

k = <0,0,1>

Vektoru var attēlot ar vienības vektoriem i , j un k šādi:

v = v _x i + v _y j + v _z k

Piemēram, ātruma vektoru v iepriekšējos piemēros var uzrakstīt šādi:

v = 601,04 i + 601,04 j km / h

Komponents k nav nepieciešams, jo šis vektors atrodas plaknē.

Vektoru pievienošana

Vektoru summa dažādās situācijās parādās ļoti bieži, piemēram, ja vēlaties atrast iegūto spēku objektam, kuru ietekmē dažādi spēki. Sākumā pieņemsim, ka plaknē ir divi brīvi vektori u un v , kā parādīts šajā attēlā pa kreisi:

4. attēls. Divu vektoru grafiskā summa. Avots: Wikimedia Commons. Lluc cabanach.

To nekavējoties uzmanīgi pārnes uz vektoru v , nemainot tā lielumu, virzienu vai jēgu, lai tā izcelsme sakristu ar u beigām .

Vektora summu sauc par w un tiek novilkta, sākot no u, kas beidzas ar v , atbilstoši labajam skaitlim. Ir svarīgi atzīmēt, ka vektora w lielums nebūt nav v un u magnitūdu summa .

Ja padomājat par to uzmanīgi, vienīgais laiks, kad iegūtā vektora lielums ir papildinājumu magnitūdu summa, ir tad, kad abi papildinājumi ir vienā virzienā un tiem ir tāda pati jēga.

Un kas notiek, ja pārnēsātāji nav brīvi? Tos ir arī ļoti viegli pievienot. To var izdarīt, pievienojot komponentu komponentam vai analītisko metodi.

Piemēram, apskatīsim vektorus šajā attēlā, pirmais ir izteikt tos vienā no Dekarta veidā, kas iepriekš izskaidrots:

Divu saistīto vektoru summa. Avots: Wikimedia Commons.

v = <5,1>

u = <2,3>

Lai iegūtu summavektora w x komponentu, pievienojiet attiecīgos v un u x komponentus : w _x = 5 + 2 = 7. Un, lai iegūtu _{y, tiek} veikta analoga procedūra: w _y = 1 + 3. Tādējādi:

u = <7,4>

Vektora pievienošanas īpašības

-Divu vai vairāku vektoru summa rada citu vektoru.

-Tā ir komutācija, papildinājumu secība nemaina summu tādā veidā, ka:

u + v = v + u

- Vektoru summas neitrālais elements ir nulles vektors: v + 0 = v

- Divu vektoru atņemšanu definē kā pretējo summu: v - u = v + (-u)

Vektora piemēri

Kā jau teicām, fizikā ir daudz vektoru daudzumu. Starp pazīstamākajiem ir:

-Pozīcija

-Izvietojums

-Vidējais ātrums un momentānais ātrums

-Paātrinājums

-Force

-Kustības lielums

- spēka griezes moments vai moments

-Impulss

-Elektriskais lauks

-Magnētiskais lauks

-Magnētiskais brīdis

No otras puses, tie nav vektori, bet gan skalāri:

-Laikapstākļi

-Mass

-Temperatūra

-Skaņa

-Blīvums

-Mehāniskais darbs

-Enerģētika

-Hot

-Spēks

-Spriegums

-Elektriskā strāva

Citas operācijas starp vektoriem

Papildus vektoru saskaitīšanai un atņemšanai starp vektoriem ir trīs citas ļoti svarīgas operācijas, jo tās rada ļoti svarīgus jaunus fiziskos lielumus:

-Skalāra produkts ar vektoru.

-Punkts vai punktveida produkts starp vektoriem

-Un starp diviem vektoriem krustu vai vektoru produktu.

Skalāra un vektora produkts

Apsveriet Ņūtona otro likumu, kas nosaka, ka spēks F un paātrinājums a ir proporcionāli. Proporcionalitātes konstante ir objekta masa m, tāpēc:

F = m. uz

Mise ir skalārs; savukārt spēks un paātrinājums ir vektori. Tā kā spēku iegūst, reizinot masu ar paātrinājumu, tas ir skalāra un vektora reizinājuma rezultāts.

Šāda veida produkti vienmēr rada vektoru. Šeit ir vēl viens piemērs: kustības daudzums. Ļaujiet P ir impulsa vektors, v - ātruma vektors, un, kā vienmēr, m ir masa:

P = m. v

Punktprodukts vai punktveida produkts starp vektoriem

Mēs esam ievietojuši mehānisku darbu to daudzumu sarakstā, kas nav vektori. Tomēr darbs fizikā ir rezultāts operācijai starp vektoriem, ko sauc par skalāru produktu, iekšējo produktu vai punktveida produktu.

Ļaujiet vektoriem v un u , definējiet punktu vai skalāru koeficientu starp tiem kā:

v ∙ u = - v - ∙ - u -.cos θ

Kur θ ir leņķis starp abiem. No parādītā vienādojuma uzreiz izriet, ka punktveida reizinājuma rezultāts ir skalārs un ka, ja abi vektori ir perpendikulāri, to punktu reizinājums ir 0.

Atpakaļ pie mehāniskā darba W, tas ir skalārs produkts starp spēka vektoru F un pārvietojuma vektoru ℓ .

Kad vektori ir pieejami to sastāvdaļu izteiksmē, arī punktveida produktu ir ļoti viegli aprēķināt. Ja v =x, v _y , v _z > y u =x, u _y , u _z >, punktu rezultāts starp abiem ir:

v ∙ u = v _x u _x + v _y u _y + v _z u _z

Punkta reizinājums starp vektoriem ir komutējošs, tāpēc:

v ∙ u = u ∙ v

Svītru vai vektoru produkts starp vektoriem

Ja v un u ir mūsu divi vektora piemēri, vektora produktu mēs definējam kā:

v x u = w

Tieši no tā izriet, ka šķērsprodukts rada vektoru, kura modulis ir definēts kā:

Kur θ ir leņķis starp vektoriem.

Šķērsprodukts nav komutējošs, tāpēc v x u ≠ u x v. Faktiski v x u = - (u x v).

Ja divus vektoru piemērus izsaka vienības vektoru izteiksmē, vektoru produkta aprēķināšanu atvieglo:

v = v _x i + v _y j + v _z k

u = u _x i + u _y j + u _z k

Savstarpējie produkti starp vienības vektoriem

Krusteniskais produkts starp identiskiem vienības vektoriem ir nulle, jo leņķis starp tiem ir 0 °. Bet starp dažādiem vienības vektoriem leņķis starp tiem ir 90º un grēks 90º = 1.

Šī shēma palīdz atrast šos produktus. Bultas virzienā tai ir pozitīvs virziens un pretējā virzienā negatīvs:

i x j = k, j x k = i; k x i = j; j x i = -k; k x j = -i; i x k = -j

Piemērojot sadalošo īpašību, kas joprojām ir spēkā produktiem starp vektoriem, kā arī vienības vektoru īpašībām, mums ir:

v x u = (v _x i + v _y j + v _z k ) x (u _x i + u _y j + u _z k ) =

Atrisināti vingrinājumi

- 1. vingrinājums

Ņemot vērā vektorus:

v = -5 i + 4 j + 1 k

u = 2 i -3 j + 7 k

Kādam jābūt vektoram w, lai summa v + u + w būtu 6 i +8 j -10 k ?

Risinājums

Tāpēc ir jāpārliecinās, ka:

Atbilde ir: w = 9 i +7 j - 18 k

- 2. vingrinājums

Kāds ir leņķis starp vektoriem v un u 1. vingrinājumā?

Risinājums

Mēs izmantosim punktu produktu. No definīcijas, kas mums ir:

v ∙ u = -10 -12 + 7 = -15

Aizstājot šīs vērtības:

Atsauces

1. Figueroa, D. (2005). Sērija: Fizika zinātnei un inženierijai. Sējums 1. Kinemātika. Rediģēja Douglas Figueroa (USB).
2. Giancoli, D. 2006. Fizika: principi un pielietojumi. 6. Eds Prentice Hall.
3. Rekss, A. 2011. Fizikas pamati. Pīrsons.
4. Sīrs, Zemanskis. 2016. Universitātes fizika ar moderno fiziku. 14. Ed. 1. sējums.
5. Serway, R., Jewett, J. 2008. Fizika zinātnei un inženierijai. 1. sējums. 7. Ed. Cengage mācīšanās.