SKAITĪŠANAS PAŅĒMIENI: PAŅĒMIENI, PIELIETOJUMI, PIEMĒRI, VINGRINĀJUMI - DUDAS - 2025

Šīs uzskaites metodes ir vairākas varbūtības metodes, lai saskaitītu iespējamo vienošanos ietvaros komplektā vai vairāku kopas objektiem. Tos izmanto, ja kontu manuāla veikšana kļūst sarežģīta lielā objektu un / vai mainīgo skaita dēļ.

Piemēram, šīs problēmas risinājums ir ļoti vienkāršs: iedomājieties, ka jūsu priekšnieks lūdz jūs saskaitīt jaunākos produktus, kas ir ieradušies pēdējā stundā. Šajā gadījumā jūs varētu iet un saskaitīt produktus pa vienam.

Tomēr iedomājieties, ka problēma ir šāda: jūsu priekšnieks lūdz jūs saskaitīt, cik daudz 5 vienāda veida produktu grupas var izveidot ar tām, kuras ir ieradušās pēdējā stundā. Šajā gadījumā aprēķins ir sarežģīts. Šāda veida situācijām tiek izmantotas tā saucamās skaitīšanas metodes.

Šīs metodes ir dažādas, bet vissvarīgākās ir sadalītas divos pamatprincipos, kas ir reizinošie un papildinošie; permutācijas un kombinācijas.

Reizināšanas princips

Lietojumprogrammas

Reizināšanas princips kopā ar piedevu ir pamats, lai izprastu skaitīšanas paņēmienu darbību. Reizinātāja gadījumā tas sastāv no:

Iedomāsimies darbību, kas ietver noteiktu soļu skaitu (mēs kopējo atzīmējam kā “r”), kur pirmo soli var veikt N1 veidos, otro soli N2 veidos un soli “r” bez veidiem. Šajā gadījumā darbību var veikt, ņemot vērā formu skaitu, kas izriet no šīs operācijas: N1 x N2 x ……… .x Nr formas

Tāpēc šo principu sauc par reizinošu, un tas nozīmē, ka katrs darbības solis, kas nepieciešams darbības veikšanai, ir jāveic viens pēc otra.

Piemērs

Iedomāsimies cilvēku, kurš vēlas uzbūvēt skolu. Lai to izdarītu, ņemiet vērā, ka ēkas pamatni var būvēt divos dažādos veidos: cementa vai betona. Runājot par sienām, tās var būt izgatavotas no Adobe, cementa vai ķieģeļiem.

Runājot par jumtu, to var izgatavot no cementa vai cinkotas loksnes. Visbeidzot, galīgo krāsošanu var veikt tikai vienā veidā. Rodas šāds jautājums: Cik daudzos veidos viņam jāveido skola?

Pirmkārt, mēs apsveram pakāpienu skaitu, kas būtu pamats, sienas, jumts un krāsa. Kopumā 4 soļi, tātad r = 4.

N saraksts ir šāds:

N1 = pamatnes veidošanas veidi = 2

N2 = sienu veidošanas veidi = 3

N3 = jumta izgatavošanas veidi = 2

N4 = krāsošanas veidi = 1

Tāpēc iespējamo formu skaitu aprēķina, izmantojot iepriekš aprakstīto formulu:

N1 x N2 x N3 x N4 = 2 x 3 x 2 x 1 = 12 skolas darbības veidi.

Piedevas princips

Lietojumprogrammas

Šis princips ir ļoti vienkāršs un sastāv no tā, ka gadījumā, ja vienas un tās pašas darbības veikšanai ir vairākas alternatīvas, iespējamie veidi sastāv no dažādu iespējamo visu alternatīvu izpildes veidu kopsummas.

Citiem vārdiem sakot, ja mēs vēlamies veikt darbību ar trim alternatīvām, kur pirmo alternatīvu var izdarīt M veidos, otro ar N veidu un pēdējo W veidos, tad darbību var veikt: M + N + ……… + W formas.

Piemērs

Iedomāsimies šoreiz cilvēku, kurš vēlas iegādāties tenisa raketi. Lai to izdarītu, jums ir jāizvēlas trīs zīmoli: Wilson, Babolat vai Head.

Dodoties uz veikalu, redzat, ka Wilson raketi var iegādāties ar divu dažādu izmēru rokturi, L2 vai L3 četros dažādos modeļos, un to var savērt vai savērt.

Savukārt Babolat raketei ir trīs rokturi (L1, L2 un L3), ir divi dažādi modeļi, un to var arī savērt vai savērt.

Savukārt galvas rakete ir pieejama tikai ar vienu rokturi - L2 - divos dažādos modeļos un tikai nesavienota. Jautājums ir šāds: Cik veidos šai personai ir jāpērk sava rakete?

M = Vilsona raketes izvēles veidu skaits

N = Babolat raketes izvēles veidu skaits

W = galvas raketes izvēles veidu skaits

Mēs veicam reizinātāja principu:

M = 2 x 4 x 2 = 16 formas

N = 3 x 2 x 2 = 12 veidi

W = 1 x 2 x 1 = 2 veidi

M + N + W = 16 + 12 + 2 = 30 veidi, kā izvēlēties raketi.

Lai zinātu, kad jāizmanto reizināšanas princips un piedeva, jums tikai jāpārbauda, ​​vai darbībai ir jāveic vairākas darbības, un, ja ir vairākas alternatīvas, piedeva.

Permutācijas

Lietojumprogrammas

Lai saprastu, kas ir permutācija, ir svarīgi izskaidrot, kas ir kombinācija, lai jūs varētu tos atšķirt un zināt, kad tos izmantot.

Kombinācija būtu elementu izkārtojums, kurā mūs neinteresē pozīcija, kuru katrs no tiem ieņem.

No otras puses, permutācija būtu elementu sakārtojums, kurā mēs esam ieinteresēti katrā no tiem ieņemtajā pozīcijā.

Ieliksim piemēru, lai labāk izprastu atšķirību.

Piemērs

Iedomāsimies klasi ar 35 skolēniem un šādās situācijās:

1. Skolotājs vēlas, lai trīs viņa audzēkņi palīdzētu viņam uzturēt klases telpu tīru vai vajadzības gadījumā nodotu materiālus citiem studentiem.
2. Skolotājs vēlas iecelt klases delegātus (prezidentu, palīgu un finansistu).

Risinājums būtu šāds:

1. Iedomāsimies, ka balsojot, Huana, Marija un Lūcija tiek izvēlēti klases tīrīšanai vai materiālu nogādāšanai. Acīmredzot no iespējamiem 35 studentiem varēja izveidot arī citas trīs trīs grupas.

Mums jāuzdod sev šāds jautājums: vai, izvēloties viņus, katram studentam ir svarīga kārtība vai nostāja?

Ja padomājam par to, mēs redzam, ka tas tiešām nav mazsvarīgi, jo grupa būs vienādi atbildīga par abiem uzdevumiem. Šajā gadījumā tā ir kombinācija, jo mūs neinteresē elementu novietojums.

1. Tagad iedomāsimies, ka Huanu ievēl par prezidentu, Mariju par palīgu un Lūciju par finansisti.

Vai šajā gadījumā rīkojumam būtu nozīme? Atbilde ir jā, jo, ja mainām elementus, rezultāts mainās. Tas ir, ja tā vietā, lai Huanu ieceltu par prezidentu, mēs liktu viņam par palīgu un Mariju kā prezidentu, tad gala rezultāts mainītos. Šajā gadījumā tā ir permutācija.

Kad atšķirība ir saprasta, mēs iegūsim formulas permutācijām un kombinācijām. Tomēr vispirms mums jādefinē termins "n!" (ene factorial), jo to izmantos dažādās formulās.

n! = produkts no 1 līdz n.

n! = 1 x 2 x 3 x 4 x ……… ..xn

Izmantojot to ar reālajiem skaitļiem:

10! = 1 x 2 x 3 x 4 x ……… x 10 = 3 628 800

5! = 1 x 2 x 3 x 4 x ……… x 5 = 120

Permutāciju formula būtu šāda:

nPr = n! / (nr)!

Ar to mēs varam uzzināt kārtību, kur kārtība ir svarīga un kur n elementi ir atšķirīgi.

Kombinācijas

Lietojumprogrammas

Kā mēs jau esam komentējuši iepriekš, kombinācijas ir kārtība, kurā mums nav jārūpējas par elementu novietojumu.

Tā formula ir šāda:

nCr = n! / (nr)! r!

Piemērs

Ja ir 14 studenti, kuri vēlas brīvprātīgi veikt klases telpas tīrīšanu, cik daudz tīrīšanas grupu var izveidot, ja katrā grupā jābūt 5 cilvēkiem?

Tādēļ risinājums būtu šāds:

n = 14, r = 5

14C5 = 14! / (14 - 5)! 5! = 14! / 9! 5! = 14 x 13 x 12 x 11 x 10 x 9! / 9! 5! = 2002 grupas

Atrisināti vingrinājumi

1. vingrinājums

Avots: Pixabay.com

Māte Natāliju lūdz doties uz pārtikas veikalu un nopirkt viņai sodas, lai atvēsinātos. Kad Natālija lūdz ierēdni dzert, viņš stāsta, ka bezalkoholiskajiem dzērieniem ir četras garšas, trīs veidu un trīs izmēru.

Bezalkoholisko dzērienu garšas var būt: kola, citrons, apelsīns un piparmētra.

Kolas veidi var būt: regulāri, bez cukura, bez kofeīna.

Izmēri var būt: mazi, vidēji un lieli.

Natālijas māte neprecizēja, kādu bezalkoholisko dzērienu viņa vēlas. Cik dažādos veidos Natālijai ir jāpērk dzēriens?

Risinājums

M = izmēra un veida numurs, ko varat izvēlēties, izvēloties kolas.

N = izmēra un veida numurs, ko varat izvēlēties, izvēloties citrona soda.

W = izmēra un veida numurs, ko varat izvēlēties, izvēloties apelsīnu soda.

Y = izmēra un veida numurs, ko varat izvēlēties, izvēloties piparmētru soda.

Mēs veicam reizinātāja principu:

M = 3 × 3 = 9 veidi

N = 3 × 3 = 9 veidi

W = 3 × 3 = 9 veidi

Y = 3 × 3 = 9 veidi

M + N + W + Y = 9 + 9 + 9 + 9 = 36 sodas izvēles veidi.

2. vingrinājums

Avots: pixabay.com

Sporta klubs reklamē bezmaksas piekļuves darbnīcas bērniem, lai iemācītos slidot. Uzņem 20 bērnus, tāpēc viņi nolemj viņus sadalīt divās desmit cilvēku grupās, lai instruktori varētu ērtāk pasniegt nodarbības.

Viņi savukārt nolemj uzzīmēt, kurā grupā iekritīs katrs bērns. Cik dažādās grupās bērns varētu ieiet?

Risinājums

Šajā gadījumā atbildes atrašanas veids ir kombinētās tehnikas izmantošana, kuras formula bija: nCr = n! / (Nr)! R!

n = 20 (bērnu skaits)

r = 10 (grupas lielums)

20C10 = 20! / (20 - 10)! 10! = 20! / 10! 10! = 20 x 19 x 18 x 17 x 16 x 15x 14x 13x 12x 11x 10! / 10! 10! = 184 756 grupas.

Atsauces

1. Džefrijs, RC, varbūtība un sprieduma māksla, Cambridge University Press. (1992).
2. Viljams Fellers, "Ievads varbūtību teorijā un tās lietojumos", (Vol. 1), 3. ed., (1968), Wiley
3. Finetti, Bruno de (1970). "Loģiskie pamati un subjektīvās varbūtības mērīšana". Acta Psychologica.
4. Hoggs, Roberts V .; Kreigs, Allens; Makkeins, Džozefs W. (2004). Ievads matemātiskajā statistikā (6. izdevums). Upper Saddle River: Pearson.
5. Franklins, Dž. (2001) Arhitektūras zinātne: pierādījumi un varbūtība pirms Paskāla, Johns Hopkins University Press.