TEORĒTISKĀ VARBŪTĪBA: KĀ TO IEGŪT, PIEMĒRI, VINGRINĀJUMI - DUDAS - 2025

Teorētiskā (vai Laplasa) varbūtība , ka notikums E notiek kas pieder pie paraugs telpu S, kurā visi notikumi ir tāda pati varbūtību, ir definēts matemātisko apzīmējums kā: P (E) = N (E) / N (S)

Kur P (E) ir varbūtība, kas izteikta kā koeficients starp notikuma E iespējamo iznākumu kopskaitu, ko mēs saucam par n (E), dalot ar kopējo iespējamo iznākumu N (S) skaitu parauga telpā S.

1. attēls. Atlaižot sešpusējo leņķi, teorētiskā varbūtība, ka trīspunktu galviņa ir uz augšu, ir ⅙. Avots: Pixabay.

Teorētiskā varbūtība ir reāls skaitlis no 0 līdz 1, bet to bieži izsaka procentos, tādā gadījumā varbūtība būs vērtība no 0% līdz 100%.

Notikuma iespējamības aprēķināšana ir ļoti svarīga daudzās jomās, piemēram, tirdzniecībā, apdrošināšanas kompānijās, azartspēlēs un daudzās citās jomās.

Kā iegūt teorētisko varbūtību?

Ilustratīvs gadījums ir izložu vai izložu gadījums. Pieņemsim, ka viedtālruņa izlozei tiek izdotas 1000 biļetes. Tā kā izloze tiek veikta nejauši, jebkurai biļetei ir vienādas iespējas kļūt par uzvarētāju.

Lai noskaidrotu varbūtību, ka cilvēks, kurš pērk biļeti ar numuru 81, ir uzvarētājs, tiek veikts šāds teorētiskais varbūtības aprēķins:

P (1) = 1/1 000 = 0,001 = 0,1%

Iepriekšminētais rezultāts tiek interpretēts šādi: ja izloze tiktu atkārtota bezgalīgi daudzas reizes, vidēji katru reizi 1000 reizes tiktu izvēlēta 81 biļete.

Ja kāda iemesla dēļ kāds iegādājas visas biļetes, ir skaidrs, ka viņš laimēs balvu. Varbūtēji laimēt balvu, ja jums ir visas biļetes, aprēķina šādi:

P (1000) = 1,000 / 1000 = 1 = 100%.

Tas ir, šī varbūtība 1 vai 100% nozīmē, ka ir pilnīgi skaidrs, ka šis rezultāts notiks.

Ja kādam pieder 500 biļetes, laimēt vai zaudēt ir vienādas izredzes. Teorētiskā varbūtība laimēt balvu šajā gadījumā tiek aprēķināta šādi:

P (500) = 500/1000 = ½ = 0,5 = 50%.

Tam, kurš neiegādājas biļeti, nav iespējas uzvarēt, un viņa teorētisko varbūtību nosaka šādi:

P (0) = 0/1 000 = 0 = 0%

Piemēri

1. piemērs

Jums ir monēta ar seju vienā pusē un vairogu vai zīmogu otrā pusē. Kad tiek izmesta monēta, kāda ir teorētiskā varbūtība, ka tā nāks klajā ar galvu?

P (seja) = n (seja) / N (seja + vairogs) = ½ = 0,5 = 50%

Rezultāts tiek interpretēts šādi: ja tiktu veikts ļoti daudz lozēšanas gadījumu, vidēji katrā no 2 mešanas gadījumiem kāds nāktos prātā.

Procentu izteiksmē rezultāta interpretācija ir tāda, ka, izdarot bezgalīgi lielu daudzumu mētāšanos, vidēji no 100 no tiem 50 radītu galvu.

2. piemērs

Kastītē ir 3 zilas bumbiņas, 2 sarkanas bumbiņas un 1 zaļa. Kāda ir teorētiskā varbūtība, ka, izņēmis marmoru no kastes, tas būs sarkans?

2. attēls. Krāsainu bumbiņu ieguves varbūtība. Avots: F. Zapata.

Varbūtība, ka tā iznāk sarkanā krāsā, ir šāda:

P (sarkans) = labvēlīgo gadījumu skaits / iespējamo gadījumu skaits

Proti:

P (sarkans) = sarkano bumbiņu skaits / kopējais bumbiņu skaits

Visbeidzot, sarkanā marmora vilkšanas varbūtība ir šāda:

P (sarkans) = 2/6 = ⅓ = 0,3333 = 33,33%

Lai gan varbūtība, ka, zīmējot zaļu marmoru, ir šāda:

P (zaļa) = ⅙ = 0,1666 = 16,66%

Visbeidzot, teorētiskā varbūtība iegūt zilo marmoru aklajā ekstrakcijā ir:

P (zils) = 3/6 = ½ = 0,5 = 50%

Tas ir, katriem 2 mēģinājumiem rezultāts būs zils vienā no tiem un citā krāsā citā mēģinājumā, ar nosacījumu, ka iegūtais marmors ir aizstāts un izmēģinājumu skaits ir ļoti, ļoti liels.

Vingrinājumi

1. vingrinājums

Nosakiet varbūtību, ka presēšanas veidne iegūs vērtību, kas ir mazāka vai vienāda ar 4.

Risinājums

Lai aprēķinātu šī notikuma iespējamību, tiks izmantota teorētiskās varbūtības definīcija:

P (≤4) = labvēlīgo gadījumu skaits / iespējamo gadījumu skaits

P (≤5) = 5/6 = = 83,33%

2. vingrinājums

Atrodiet varbūtību, ka divos secīgos parastajos sešpusējos veidos iemetot 5, 5 reizes apritēs.

Risinājums

Lai atbildētu uz šo vingrinājumu, izveidojiet tabulu, kurā parādītas visas iespējas. Pirmais cipars norāda pirmās presēšanas rezultātu, bet otrais - otra rezultātu.

Lai aprēķinātu teorētisko varbūtību, mums jāzina kopējais iespējamo gadījumu skaits, šajā gadījumā, kā redzams no iepriekšējās tabulas, ir 36 iespējas.

Vērojot tabulu, tiek secināts, ka labvēlīgo gadījumu skaits, kas divos secīgos palaišanas gadījumos iznāk 5, ir tikai 1, izcelts ar krāsu, tāpēc šī notikuma iespējamība ir šāda:

P (5 x 5) = 1/36.

Šo rezultātu varēja arī iegūt, izmantojot vienu no teorētiskās varbūtības īpašībām, kurā teikts, ka divu neatkarīgu notikumu kombinētā varbūtība ir to individuālo varbūtību reizinājums.

Šajā gadījumā varbūtība, ka pirmais lozings apritēs 5, ir ⅙. Otrais lozēšana ir pilnīgi neatkarīga no pirmās, tāpēc arī varbūtība, ka 5 tiek apgāzta otrajā, ir ⅙. Tātad kombinētā varbūtība ir:

P (5 × 5) = P (5) P (5) = (1/6) (1/6) = 1/36.

3. vingrinājums

Atrodiet varbūtību, ka pirmajam mētāšanai tiek parādīts skaitlis, mazāks par 2, un otrajā - skaitlis, kas lielāks par 2.

Risinājums

Atkal jāizveido iespējamo notikumu tabula, kurā ir pasvītroti tie, kuros pirmais metiens bija mazāks par 2, bet otrajā - vairāk nekā 2.

Pavisam ir 4 iespējas no kopumā 36. Tas ir, šī notikuma varbūtība ir šāda:

P (<2;> 2) = 4/36 = 1/9 = 0,1111 = 11,11%

Izmantojot varbūtības teorēmu, kurā teikts:

Tas pats rezultāts tiek iegūts:

P (<2) P (> 2) = (1/6) (4/6) = 4/36 = 0,1111 = 11,11%

Ar šo procedūru iegūtā vērtība sakrīt ar iepriekšējo rezultātu, izmantojot varbūtības teorētisko vai klasisko definīciju.

4. vingrinājums

Cik liela ir varbūtība, ka, ripinot divus kauliņus, vērtību summa ir 7.

Risinājums

Lai rastu risinājumu šajā gadījumā, ir sastādīta iespēju tabula, kurā gadījumi, kas atbilst nosacījumam, ka vērtību summa ir 7, ir norādīti ar krāsu.

Aplūkojot tabulu, var saskaitīt 6 iespējamos gadījumus, tāpēc varbūtība ir šāda:

P (I + II: 7) = 6/36 = 1/6 = 0,1666 = 16,66%

Atsauces

1. Canavos, G. 1988. Varbūtība un statistika: lietojumi un metodes. Makgreiva kalns.
2. Devore, J. 2012. Varbūtība un statistika inženierzinātnēs un zinātnē. 8. Izdevums. Cengage.
3. Lipschutz, S. 1991. Schaum Series: Varbūtība. Makgreiva kalns.
4. Obregón, I. 1989. Varbūtības teorija. Redakcija Limusa.
5. Walpole, R. 2007. Varbūtība un statistika inženierzinātnēs un zinātnēs. Pīrsons.