NOSACĪTĀ VARBŪTĪBA: FORMULA UN VIENĀDOJUMI, ĪPAŠĪBAS, PIEMĒRI - DUDAS - 2025

Nosacītā varbūtība ir rašanās iespējamība noteiktu notikumu, ņemot vērā, ka vēl notiek kā stāvoklī. Šī papildu informācija var (vai var nebūt) mainīt uztveri, ka kaut kas notiks.

Piemēram, mēs varam sev pajautāt: "Cik liela ir varbūtība, ka šodien būs lietus, ņemot vērā, ka divas dienas nav lijis?" Notikums, par kuru mēs vēlamies uzzināt varbūtību, ir tas, ka šodien līst, un papildu informācija, kas nosacītu atbildi, ir tāda, ka "divas dienas nav lijis."

1. attēls. Nosacītās varbūtības piemērs ir arī varbūtība, ka šodien lietus lietus, ņemot vērā, ka vakar lija lietus. Avots: Pixabay.

Ļaujiet varbūtības atstarpei veidot Ω (parauga atstarpe), ℬ (nejauši notikumi) un P (katra notikuma varbūtība), kā arī notikumi A un B, kas pieder ℬ.

Nosacīto varbūtību, ka notiek A, ņemot vērā, ka notika B, ko apzīmē ar P (A│B), definē šādi:

P (A│B) = P (A∩B) / P (B) = P (A un B) / P (B)

Kur: P (A) ir A rašanās varbūtība, P (B) ir notikuma B varbūtība un atšķiras no 0, un P (A∩B) ir A un B krustošanās varbūtība, tas ir, , abu notikumu iespējamība (kopīga varbūtība).

Tas ir Bajesa teorēmas izteiciens, kas piemērots diviem notikumiem, ko 1763. gadā ierosināja angļu teologs un matemātiķis Tomass Bajess.

Īpašības

-Visas nosacītās varbūtības ir no 0 līdz 1:

0 ≤ P (A│B) ≤ 1

- Varbūtība, ka notikums A notiek, ņemot vērā, ka notiek šis notikums, acīmredzami ir 1:

P (A│A) = P (A∩A) / P (A) = P (A) / P (A) = 1

-Ja divi notikumi ir ekskluzīvi, tas ir, notikumi, kas nevar notikt vienlaikus, tad nosacītā varbūtība, ka viens no tiem notiek, ir 0, jo krustojums ir nulle:

P (A│B) = P (A∩B) / P (B) = 0 / P (B) = 0

-Ja B ir A apakškopa, tad nosacītā varbūtība ir arī 1:

P (B│A) = P (A∩B) / P (A) = 1

Svarīgs

P (A│B) parasti nav vienāds ar P (B│A), tāpēc, nosakot nosacīto varbūtību, mums jābūt uzmanīgiem, lai notikumi netiktu apmainīti.

Pareizināšanas vispārīgais noteikums

Daudzas reizes vēlaties uzzināt kopīgo varbūtību P (A∩B), nevis nosacīto varbūtību. Pēc tam, izmantojot šo teorēmu, mums ir:

P (A∩B) = P (A un B) = P (A│B). P (B)

Teorēmu var pagarināt trim notikumiem A, B un C:

P (A∩B∩C) = P (A un B un C) = P (A) P (B│A) P (C│A∩B)

Un arī dažādiem notikumiem, piemēram, A ₁ , A ₂ , A ₃ un vairāk, to var izteikt šādi:

P (A ₁ ∩ A ₂ ∩ A ₃ … ∩ A _n ) = P (A ₁ ). P (A ₂ │A ₁ ). P (A ₃ │A ₁ ∩ A ₂ )… P (A _n ││ A ₁ ∩ A ₂ ∩… A _n-1 )

Ja tas ir gadījumā, ja notikumi notiek secīgi un dažādos posmos, ir ērti organizēt datus diagrammā vai tabulā. Tas ļauj vieglāk iztēloties iespējas sasniegt pieprasīto varbūtību.

Piemēri ir koku diagramma un ārkārtas tabula. No viena no tiem jūs varat veidot otru.

Nosacītas varbūtības piemēri

Apskatīsim dažas situācijas, kurās viena notikuma iespējamību maina cita notikums:

- 1. piemērs

Saldā veikalā tiek pārdoti divu veidu kūkas: zemeņu un šokolāde. Reģistrējot 50 abu dzimumu klientu vēlmes, tika noteiktas šādas vērtības:

-27 sievietes, no kurām 11 dod priekšroku zemeņu kūkai un 16 šokolādes.

-23 vīrieši: 15 izvēlas šokolādi un 8 zemenes.

Varbūtību, ka klients izvēlas šokolādes kūku, var noteikt, piemērojot Laplasa likumu, saskaņā ar kuru jebkura notikuma varbūtība ir šāda:

P = labvēlīgu notikumu skaits / kopējais notikumu skaits

Šajā gadījumā no 50 klientiem kopumā 31 dod priekšroku šokolādei, tāpēc varbūtība būtu P = 31/50 = 0,62. Tas ir, 62% klientu dod priekšroku šokolādes kūkai.

Bet vai būtu savādāk, ja klients ir sieviete? Tas ir nosacītas varbūtības gadījums.

Nepieciešamības tabula

Izmantojot šādu ārkārtas tabulu, kopsummas tiek viegli parādītas:

Tad tiek novēroti labvēlīgi gadījumi un tiek piemērots Laplasa noteikums, bet vispirms mēs definējam notikumus:

-B ir "sieviešu klientes" pasākums.

- Kā sievietes pasākums ir „dodiet priekšroku šokolādes kūkai”.

Mēs ejam uz kolonnu ar marķējumu "sievietes", un tur mēs redzam, ka kopskaits ir 27.

Tad labvēlīgu lietu meklē “šokolādes” rindā. Ir 16 no šiem notikumiem, tāpēc meklētā varbūtība ir tieši:

P (A│B) = 16/27 = 0,5924

59,24% sieviešu klientu dod priekšroku šokolādes kūkai.

Šī vērtība sakrīt, ja to salīdzinām ar sākotnēji doto nosacītās varbūtības definīciju:

P (A│B) = P (A∩B) / P (B)

Mēs pārliecināmies, ka izmantojam Laplasa likumu un tabulas vērtības:

P (B) = 27/50

P (A un B) = 16/50

Kur P (A un B) ir varbūtība, ka klients dod priekšroku šokolādei un ir sieviete. Tagad vērtības tiek aizstātas:

P (A│B) = P (A un B) / P (B) = (16/50) / (27/50) = 16/27 = 0,5924.

Un ir pierādīts, ka rezultāts ir tāds pats.

- 2. piemērs

Šajā piemērā tiek piemērots reizināšanas noteikums. Pieņemsim, ka veikalā ir izliktas trīs izmēru bikses: mazas, vidējas un lielas.

Ja partijā kopā ir 24 bikses, no kurām ir 8 no katra izmēra un visas ir sajauktas, kāda ir varbūtība, ka izvilks divas no tām, un ka abas bija mazas?

Ir skaidrs, ka varbūtība noņemt nelielas bikses pirmajā mēģinājumā ir 8/24 = 1/3. Tagad otrā ekstrakcija ir atkarīga no pirmā notikuma, jo, noņemot bikses, vairs nav 24, bet 23. Un, ja tiek noņemtas mazas bikses, 8 vietā ir 7.

Notikums A ir vienas mazas bikses vilkšana, pēc pirmās mēģinājuma velkot vēl vienu. Un notikums B ir tas, kas pirmo reizi notiek ar mazajām biksēm. Tādējādi:

P (B) = 1/3; P (A│B) = 7/24

Visbeidzot, izmantojot reizināšanas kārtulu:

P (A∩B) = (7/24). (1/3) = 7/72 = 0,097

Vingrinājums atrisināts

Pētījumā par punktualitāti komerciālos gaisa lidojumos ir pieejami šādi dati:

-P (B) = 0,83, ir varbūtība, ka plakne paceļas laikā.

-P (A) = 0,81 ir nolaišanās varbūtība laikā.

-P (B∩A) = 0,78 ir varbūtība, ka lidojums pienāk laikā, paceļoties laikā.

Tiek lūgts aprēķināt:

a) Cik liela ir iespējamība, ka lidmašīna nolaidīsies laikā, ņemot vērā, ka tā pacēlās laikā?

b) Vai šī varbūtība ir tāda pati kā varbūtība, ka aizbraucāt laikā, ja izdevās nolaisties laikā?

c) un visbeidzot: kāda ir varbūtība, ka tā ieradīsies laikā, ņemot vērā, ka tā nepameta savlaicīgi?

2. attēls. Punktualitāte komerciālos lidojumos ir svarīga, jo kavējumi rada miljoniem dolāru zaudējumus. Avots: Pixabay.

Risinājums

Lai atbildētu uz jautājumu, tiek izmantota nosacītās varbūtības definīcija:

P (A│B) = P (A∩B) / P (B) = P (A un B) / P (B) = 0,78 /0,83 = 0,9398

Risinājums b

Šajā gadījumā notiek apmaiņa ar definīcijas notikumiem:

P (B│A) = P (A∩B) / P (A) = P (A un B) / P (A) = 0,78 / 0,81 = 0,9630

Ņemiet vērā, ka šī varbūtība nedaudz atšķiras no iepriekšējās, kā mēs jau norādījām iepriekš.

Risinājums c

Laika nepamešanas varbūtība ir 1 - P (B) = 1 - 0,83 = 0,17, mēs to sauksim par P (B ^C ), jo savlaicīgs pacelšanās ir papildu notikums. Pieprasītā nosacītā varbūtība ir:

P (A│B ^C ) = P (A∩B ^C ) / P (B ^C ) = P (A un B ^C ) / P (B ^C )

No otras puses:

P (A∩B ^C ) = P (nosēšanās laikā) - P (nolaišanās laikā un pacelšanās laikā) = 0,81-0,78 = 0,03

Šajā gadījumā tiek prasīta nosacītā varbūtība:

P (A│B ^C ) = 0,03 / 0,17 = 0,1765

Atsauces

1. Canavos, G. 1988. Varbūtība un statistika: lietojumi un metodes. Makgreiva kalns.
2. Devore, J. 2012. Varbūtība un statistika inženierzinātnēs un zinātnē. 8. Izdevums. Cengage.
3. Lipschutz, S. 1991. Schaum Series: Varbūtība. Makgreiva kalns.
4. Obregón, I. 1989. Varbūtības teorija. Redakcija Limusa.
5. Walpole, R. 2007. Varbūtība un statistika inženierzinātnēs un zinātnēs. Pīrsons.
6. Wikipedia. Nosacītā varbūtība. Atgūts no: es.wikipedia.org.