ARHIMĒDA PRINCIPS: FORMULA, PIERĀDĪJUMS, PIELIETOJUMI - FIZISKĀ - 2025

Archimedes ' princips ir noteikts, ka ķermenis iegremdēts pilnībā vai daļēji, vertikāli vērsts spēks, ko sauc par vilces, kas ir vienāda ar no šķidruma tilpumu, ko pārvieto ķermeņa svara.

Daži objekti peld ūdenī, daži nogrimst, un daži daļēji iegremdējas. Lai nogrimtu pludmales bumbiņu, ir jāpieliek pūles, jo tūlīt tiek uztverts spēks, kas mēģina to atgriezt virspusē. Tā vietā metāla lode ātri nogrimst.

1. attēls. Peldošie baloni: Arhimēda princips darbībā. Avots: Pixabay.

No otras puses, iegremdētie priekšmeti šķiet vieglāki, tāpēc šķidrumam ir spēks, kas pretojas svaram. Bet tas ne vienmēr var pilnībā kompensēt smagumu. Un, kaut arī tas ir acīmredzamāks ar ūdeni, gāzes arī spēj radīt šo spēku uz objektiem, kas tajos ir iegremdēti.

Vēsture

Sirakūzu arhimēdi (287.-212. G. Pirms mūsu ēras) bija tas, kurš šo principu bija atklājis, būdams viens no lielākajiem zinātniekiem vēsturē. Mēdz teikt, ka Sirakūzu karalis Hiero II lika zeltkalim izgatavot viņam jaunu kroni, par kuru viņš viņam iedeva noteiktu zelta daudzumu.

Arhimēdi

Kad karalis saņēma jauno vainagu, tas bija pareizais svars, taču viņam bija aizdomas, ka zeltkalis viņu ir maldinājis, zelta vietā pievienojot sudrabu. Kā viņš to varēja pierādīt, neiznīcinot vainagu?

Hiero sauca Arhimēdu, kura zinātnieka reputācija bija labi zināma, lai palīdzētu viņam atrisināt problēmu. Leģenda vēsta, ka Arhimēds tika iegremdēts vannā, kad atrada atbildi, un tāda bija viņa emocija, ka viņš kailais skrēja pa Sirakūzu ielām, lai meklētu karali, kliedzot “eureka”, kas nozīmē “es viņu atradu”.

Ko atrada Arhimēds? Nu, uzņemot vannu, ūdens līmenis vannā paaugstinājās, kad viņš ienāca, kas nozīmē, ka iegremdēts ķermenis izspiež noteiktu šķidruma daudzumu.

Un, ja viņš iegremdēja vainagu ūdenī, tam vajadzēja arī izspiest noteiktu ūdens daudzumu, ja vainags bija izgatavots no zelta, un cits, ja tas bija izgatavots no sakausējuma ar sudrabu.

Formula

Pacelšanas spēks, uz kuru norāda Arhimēda princips, ir pazīstams kā hidrostatiskais vilces spēks vai peldošais spēks, un, kā jau teicām, tas ir līdzvērtīgs šķidruma tilpuma svaram, ko ķermenis pārvieto, iegremdējoties.

Pārvietotais tilpums ir vienāds ar pilnīgi vai daļēji iegremdētā objekta tilpumu. Tā kā jebkura svara svars ir mg un šķidruma masa ir blīvums x tilpums, kas vilces lielumu apzīmē kā B, matemātiski mums ir:

B = m _šķidrums xg = _šķidruma blīvums x iegremdētais tilpums x smagums

B = ρ _šķidrums x V _iegremdēts xg

Kur grieķu burts ρ ("rho") apzīmē blīvumu.

Acīmredzamais svars

Objektu svaru aprēķina, izmantojot pazīstamo mg izteiksmi, tomēr ūdenī iegremdētās lietas jūtas vieglākas.

Objekta šķietamais svars ir tāds, kāds tam ir, kad tas ir iegremdēts ūdenī vai citā šķidrumā un to zinot, var iegūt neregulāra priekšmeta, piemēram, karaļa Hiero vainaga, tilpumu, kā tas būs redzams zemāk.

Lai to izdarītu, tas ir pilnībā iegremdēts ūdenī un pievienots auklai, kas piestiprināta pie dinamometra - instrumenta, kas aprīkots ar atsperi, ko izmanto spēku mērīšanai. Jo lielāks ir priekšmeta svars, jo lielāks ir atsperes pagarinājums, ko mēra ar aparātā paredzētu skalu.

2. attēls. Iegremdētā objekta redzamais svars. Avots: sagatavojusi F. Zapata.

Piemērojot Ņūtona otro likumu, zinot, ka objekts atrodas miera stāvoklī:

ΣF _y = B + T - W = 0

Šķietamais svars W _a ir vienāds ar virknes T spriegumu:

Tā kā vilces spēks kompensē svaru, jo šķidruma daļa ir miera stāvoklī, tad:

No šīs izteiksmes izriet, ka vilces spēks rodas spiediena starpības dēļ starp cilindra augšējo virsmu un apakšējo. Tā kā W = mg = ρ šķidrums. V. g, tam:

Kas precīzi izsaka iepriekšējā sadaļā minēto vilci.

Lietojumprogrammas

Arhimēda princips parādās daudzos praktiskos pielietojumos, starp kuriem mēs varam nosaukt:

- Aerostatiskais balons. Kas tā vidējā blīvuma dēļ, kas ir mazāks par apkārtējā gaisa blīvumu, tajā peld ar vilces spēka dēļ.

- Kuģi. Kuģu korpuss ir smagāks par ūdeni. Bet, ja tiek ņemts vērā viss korpuss un gaiss tā iekšpusē, tad kopējās masas un tilpuma attiecība ir mazāka nekā ūdens, un tas ir iemesls, kāpēc kuģi peld.

- Glābšanas vestes. Būvēti no viegliem un porainiem materiāliem, tie spēj peldēt, jo masas un tilpuma attiecība ir zemāka nekā ūdenim.

- Pludiņš, lai aizvērtu ūdens tvertnes uzpildes krānu. Tā ir liela tilpuma ar gaisu pildīta sfēra, kas peld virs ūdens, un tas izraisa stumšanas spēku - reizinātu ar sviras efektu -, lai aizvērtu ūdens tvertnes uzpildes krāna vāciņu, kad tas ir sasniedzis līmeni. Kopā.

Piemēri

1. piemērs

Leģenda vēsta, ka karalis Hiero kuldīdzniekam piešķīra noteiktu zelta daudzumu vainaga izgatavošanai, taču neuzticīgais monarhs uzskatīja, ka zeltkalis, iespējams, ir apkrāpis, vainaga iekšpusē ievietojot metālu, kas nav tik vērtīgs kā zelts. Bet kā viņš varēja zināt, neiznīcinot vainagu?

Ķēniņš uzticēja problēmu Arhimēdam, un tas, meklējot risinājumu, atklāja savu slaveno principu.

Pieņemsim, ka korona sver 2,10 kg-f gaisā un 1,95 kg-f, kad tā ir pilnībā iegremdēta ūdenī. Vai šajā gadījumā ir vai nav maldināšanas?

5. attēls. Karaļa Herona vainaga brīvā ķermeņa diagramma. Avots: sagatavojusi F. Zapata

Spēku shēma ir parādīta attēlā iepriekš. Šie spēki ir: vainaga svars P , vilces spēks E un virves spriegojums T , kas karājas no skalas.

Ir zināms, ka P = 2,10 kg-f un T = 1,95 kg-f, atliek noteikt vilces lielumu E :

No otras puses, pēc Arhimēda principa, vilces spēks E ir vienāds ar ūdens svaru, kas novirzīts no vainaga aizņemtās vietas, tas ir, ūdens blīvums reizināts ar vainaga tilpumu gravitācijas paātrinājuma dēļ:

No kurienes var aprēķināt vainaga tilpumu:

Vainaga blīvums ir koeficients starp vainaga masu no ūdens un tā tilpumu:

Tīrā zelta blīvumu var noteikt ar līdzīgu procedūru, un rezultāts ir 19300 kg / m ^ 3.

Salīdzinot divus blīvumus, redzams, ka vainags nav tīrs zelts!

2. piemērs

Balstoties uz datiem un 1. piemēra rezultātu, ir iespējams noteikt, cik daudz zelta nozaga zeltkalis, ja daļu zelta aizstāja sudrabs, kura blīvums ir 10 500 kg / m ^ 3.

Vainaga blīvumu mēs sauksim par ρc, ρo par zelta blīvumu un ρ _p par sudraba blīvumu.

Krona kopējā masa ir:

M = ρc⋅V = ρo⋅Vo + ρ _p ⋅Vp

Kopējais vainaga tilpums ir sudraba un zelta tilpums:

V = Vo + Vp ⇒ Vp = V - Vo

Masas vienādojumā aizstāj:

ρc⋅V = ρo⋅Vo + ρ _p ⋅ (V - Vo) ⇒ (ρo - ρ _p ) Vo = (ρc - ρ _p ) V

Tas ir, zelta tilpums Vo, kas satur kopējā tilpuma V vainagu, ir:

Vo = V⋅ (ρc - ρ _p ) / (ρo - ρ _p ) =…

… = 0,00015 m ^ 3 (14000–10500) / (19300–10500) = 0,00005966 m ^ 3

Lai atrastu vainaga svaru zeltā, reizinām Vo ar zelta blīvumu:

Mo = 19300 * 0,00005966 = 1,1514 kg

Tā kā vainaga masa ir 2,10 kg, mēs zinām, ka zeltkalis nozaga 0,94858 kg zelta un aizstāja to ar sudrabu.

Atrisināti vingrinājumi

1. vingrinājums

Milzīgs hēlija balons spēj noturēt cilvēku līdzsvarā (nepaceļoties augšup vai lejup).

Pieņemsim, ka personas svars, kā arī grozs, virves un balons ir 70 kg. Cik liels ir hēlija tilpums, lai tas notiktu? Cik lielam jābūt balonam?

Risinājums

Mēs pieņemsim, ka vilci galvenokārt rada hēlija tilpums un ka pārējo komponentu vilce ir ļoti maza salīdzinājumā ar hēliju, kas aizņem daudz lielāku tilpumu.

Šajā gadījumā tam būs vajadzīgs tāds hēlija tilpums, kas spēj nodrošināt vilces spēku 70 kg + hēlija svaru.

6. attēls. Ar hēliju piepildīta balona brīvā ķermeņa diagramma. Avots: sagatavojusi F. Zapata.

Vilces spēks ir hēlija tilpuma reizinājums ar hēlija blīvumu un smaguma paātrinājumu. Šim spiedienam ir jākompensē hēlija svars plus visu pārējo svars.

Da⋅V⋅g = Da⋅V⋅g + M⋅g

no kura secina, ka V = M / (Da - Dh)

V = 70 kg / (1,25 - 0,18) kg / m ^ 3 = 65,4 m ^ 3

Tas ir, 65,4 m ^ 3 hēlija ir nepieciešams atmosfēras spiedienā, lai tas varētu pacelties.

Ja pieņemam sfērisku zemeslodi, tās rādiusu varam atrast no attiecībām starp sfēras tilpumu un rādiusu:

V = (4/3) ⋅π⋅R ^ 3

No kurienes R = 2,49 m. Citiem vārdiem sakot, tam būs nepieciešams 5 m diametra balons, kas piepildīts ar hēliju.

2. vingrinājums

Tajā peldas materiāli ar zemāku blīvumu nekā ūdens. Pieņemsim, ka jums ir polistirola (baltā korķa), koka un ledus gabaliņi. To blīvums kg uz kubikmetru ir attiecīgi: 20, 450 un 915.

Noskaidrojiet, kāda daļa no kopējā tilpuma atrodas ārpus ūdens un cik augsta tā atrodas virs ūdens virsmas, par 1000 blīvumiem ņemot 1000 kilogramus kubikmetrā.

Risinājums

Peldspēja rodas, ja ķermeņa svars ir vienāds ar ūdens radīto vilces spēku:

E = M⋅g

7. attēls. Daļēji iegremdēta objekta brīva ķermeņa diagramma. Avots: sagatavojusi F. Zapata.

Svars ir ķermeņa blīvums Dc, kas reizināts ar tā tilpumu V un ar gravitācijas paātrinājumu g.

Vilces spēks ir šķidruma svars, kas pārvietots pēc Arhimēda principa, un to aprēķina, reizinot ūdens blīvumu D ar iegremdēto tilpumu V 'un ar gravitācijas paātrinājumu.

Tas ir:

D⋅V'⋅g = Dc⋅V⋅g

Kas nozīmē, ka iegremdētā tilpuma daļa ir vienāda ar koeficientu starp ķermeņa blīvumu un ūdens blīvumu.

Tas ir, izcilā tilpuma daļa (V '' / V) ir

Ja h ir pārkares augstums un L kuba puse, tilpuma daļu var uzrakstīt kā

Tātad pasūtīto materiālu rezultāti ir:

Polistirols (baltais korķis):

(h / L) = (V '' / V) = 1 - (Dc / D) = 1- (20/1000) = 98% no ūdens

Koks:

(h / L) = (V '' / V) = 1 - (Dc / D) = 1- (450/1000) = 55% no ūdens

Ledus:

(h / L) = (V '' / V) = 1 - (Dc / D) = 1- (915/1000) = 8,5% no ūdens

Atsauces

1. Bauers, W. 2011. Fizika inženierzinātnēm un zinātnēm. 1. sējums. Mc Graw Hill. 417-455.
2. Cengel Y, Cimbala J. 2011. Šķidruma mehānika. Pamati un pielietojumi. Pirmais izdevums. Makgreiva kalns.
3. Figueroa, D. (2005). Sērija: Fizika zinātnei un inženierijai. 4. tilpums. Šķidrumi un termodinamika. Rediģēja Douglas Figueroa (USB). 1 - 42.
4. Giles, R. 2010. Šķidrumu mehānika un hidraulika. Makgreiva kalns.
5. Rekss, A. 2011. Fizikas pamati. Pīrsons. 239.-263.
6. Tippens, P. 2011. Fizika: jēdzieni un pielietojumi. 7. izdevums. Makgreiva kalns.