TRANSCENDENTĀS FUNKCIJAS: VEIDI, DEFINĪCIJA, ĪPAŠĪBAS, PIEMĒRI - MATEMĀTIKA - 2025

Par elementāru transcendentālas funkcijas ir eksponenciālā, logaritmiska, trigonometrisko, inversās trigonometriskās funkcijas, hiperbolisks un apgriezto hiperbolisko funkciju. Tas ir, tie ir tie, kurus nevar izteikt ar polinomu, polinomu koeficientu vai polinomu saknēm.

Neelementāras pārpasaulīgās funkcijas sauc arī par īpašajām funkcijām, un starp tām var nosaukt kļūdas funkciju. Algebriskās funkcijas (polinomi, polinomu koeficienti un polinomu saknes) kopā ar elementārajām transcendentālajām funkcijām veido to, ko matemātikā sauc par elementārajām funkcijām.

Par transcendentām funkcijām tiek uzskatītas arī tādas, kas rodas, veicot operācijas starp transcendentām funkcijām vai starp transcendentām un algebriskām funkcijām. Šīs operācijas ir: funkciju summa, atšķirība, reizinājums un funkciju koeficients, kā arī divu vai vairāku funkciju sastāvs.

Definīcija un īpašības

Eksponenciālā funkcija

Tā ir formas reāla neatkarīga mainīgā lieluma reāla funkcija:

f (x) = a ^ x = a ^x

kur a ir fiksēts pozitīvs reālais skaitlis (a> 0), ko sauc par bāzi. Apkārtne vai virsraksts tiek izmantots, lai apzīmētu pastiprinošo darbību.

Teiksim a = 2, tad funkcija izskatās šādi:

f (x) = 2 ^ x = 2 ^x

Kas tiks vērtēts vairākām neatkarīgā mainīgā x vērtībām:

Zemāk ir diagramma, kur eksponenciālā funkcija ir attēlota vairākām bāzes vērtībām, ieskaitot pamatni e (Neper skaitlis e ≃ 2,72). Pamatne e ir tik svarīga, ka parasti runājot par eksponenciālo funkciju, mēs domājam par e ^ x, kas arī tiek apzīmēta ar exp (x).

1. attēls. Eksponenciālā funkcija a ^ x dažādām bāzes vērtībām a. (Pašu izstrādāts)

Eksponenciālās funkcijas īpašības

No 1. attēla var novērot, ka eksponenciālo funkciju domēns ir reālie skaitļi (Dom f = R ) un diapazons vai ceļš ir pozitīvās reālās vērtības (Ran f = R ⁺ ).

No otras puses, neatkarīgi no bāzes vērtības a, visas eksponenciālās funkcijas iziet caur punktu (0, 1) un caur punktu (1, a).

Kad bāze a> 1, funkcija palielinās, un kad 0 <a <1, funkcija samazinās.

Y = a ^ x un y = (1 / a) ^ x līknes ir simetriskas ap Y asi.

Izņemot gadījumu a = 1, eksponenciālā funkcija ir injektīva, tas ir, katrai attēla vērtībai ir viena un tikai viena sākuma vērtība.

Logaritmiskā funkcija

Tā ir reāla neatkarīga mainīgā reāla funkcija, kuras pamatā ir skaitļa logaritma definīcija. Logaritms, kura pamatā ir cipars x, ir cipars y, uz kuru jāpaceļ bāze, lai iegūtu argumentu x:

reģistrēt _a (x) = y ⇔ a ^ y = x

Tas ir, logaritma funkcija, kuras pamatā ir eksponenciālās funkcijas apgrieztā funkcija, kuras pamatā ir.

Piemēram:

log ₂ 1 = 0, jo 2 ^ 0 = 1

Cits gadījums, log ₂ 4 = 2, jo 2 ^ 2 = 4

Saknes logaritms 2 ir log ₂ √2 = ½, jo 2 ^ ½ = √2

log ₂ ¼ = -2, jo 2 ^ (- 2) = ¼

Zemāk ir logaritma funkcijas grafiks dažādās bāzēs.

2. attēls. Pamatnes dažādu vērtību eksponenciālā funkcija. (Pašu izstrādāts)

Logaritma funkcijas īpašības

Logaritma funkcijas apgabals y (x) = log a (x) ir pozitīvie reālie skaitļi R + . Ceļojumu diapazons vai ir reāli skaitļi R .

Neatkarīgi no bāzes logaritma funkcija vienmēr iet caur punktu (1,0), un punkts (a, 1) pieder šīs funkcijas grafikam.

Gadījumā, ja bāze a ir lielāka par vienību (a> 1), palielinās logaritma funkcija. Bet, ja (0 <a <1), tad tā ir samazinoša funkcija.

Sinusa, kosinusa un pieskares funkcijas

Sinusa funkcija piešķir reālo skaitli un katrai x vērtībai, kur x apzīmē leņķa izmēru radiānos. Lai iegūtu leņķa Sen (x) vērtību, leņķis tiek attēlots vienības aplī, un minētā leņķa projekcija uz vertikālās ass ir sinuss, kas atbilst šim leņķim.

Trigonometriskais aplis un sine dažādām leņķiskajām vērtībām X1, X2, X3 un X4 ir parādīti zemāk (3. attēlā).

3. attēls. Trigonometriskais aplis un dažādu leņķu sinuss. (Pašu izstrādāts)

Šādi definēts, ka funkcijai Sen (x) var būt maksimālā vērtība 1, kas rodas, ja x = π / 2 + 2π n, kur n ir vesels skaitlis (0, ± 1, ± 2,). Minimālā vērtība, ko funkcija Sen (x) var ņemt, rodas, ja x = 3π / 2 + 2π n.

Kosinusa funkcija y = Cos (x) ir definēta līdzīgi, bet leņķisko pozīciju P1, P2 utt. Projekcija tiek veikta uz trigonometriskā loka horizontālo asi.

No otras puses, funkcija y = Tan (x) ir koeficients starp sinusa un kosinusa funkciju.

Zemāk ir pārpasaulīgo funkciju Sen (x), Cos (x) un Tan (x) funkciju grafiks

4. attēls. Pārpasaulīgo funkciju grafiks, sinuss, kosinuss un tangenss. (Pašu izstrādāts)

Atvasinājumi un integrāļi

Eksponenciālās funkcijas atvasinājums

Eksponenciālās funkcijas y = a ^ x atvasinājums y 'ir funkcija a ^ x, kas reizināta ar a bāzes dabisko logaritmu:

y '= (a ^ x)' = a ^ x ln a

Konkrētajā bāzes gadījumā e eksponenciālās funkcijas atvasinājums ir pati eksponenciālā funkcija.

Eksponenciālās funkcijas integrālis

Nenoteikts ^ x integrālis ir pati funkcija, kas dalīta ar pamatnes dabisko logaritmu.

Konkrētajā bāzes gadījumā e eksponenciālās funkcijas integrālis ir pati eksponenciālā funkcija.

Pārpasaulīgo funkciju atvasinājumu un integrāļu tabula

Zemāk ir galveno pārpasaulīgo funkciju, to atvasinājumu un nenoteikto integrāļu (antiderivatīvu) kopsavilkuma tabula:

Dažu pārpasaulīgu funkciju atvasinājumu un nenoteiktu integrāļu tabula. (Pašu izstrādāts)

Piemēri

1. piemērs

Atrodiet funkciju, kas izriet no funkcijas f (x) = x ^ 3 kompozīcijas ar funkciju g (x) = cos (x):

(migla) (x) = f (g (x)) = cos ³ (x)

Tā atvasinājums un nenoteiktais integrālis ir:

2. piemērs

Atrodiet funkcijas g sastāvu ar funkciju f, kur g un f ir funkcijas, kas definētas iepriekšējā piemērā:

(gof) (x) = g (f (x)) = cos (x ³ )

Jāatzīmē, ka funkciju sastāvs nav komutācijas darbība.

Šīs funkcijas atvasinājums un nenoteiktais integrālis ir attiecīgi:

Integrāls tika atstāts norādīts, jo nav iespējams precīzi uzrakstīt rezultātu kā elementāru funkciju kombināciju.

Atsauces

1. Atsevišķa mainīgā aprēķins. Rons Larsons, Brūss H. Edvards. Cengagas mācības, 10. novembrī 2008. gads
2. Netiešās funkcijas teorēma: vēsture, teorija un lietojumprogrammas. Stīvens G. Krants, Harolds R. Parks. Springer Science & Business Media, 9. novembris. 2012. gads
3. Vairāku mainīgo analīze. Satish Širali, Harkrishan Lal Vasudeva. Springer Science & Business Media, 13. decembris. 2010. gads
4. Sistēmas dinamika: mehatronisko sistēmu modelēšana, modelēšana un vadība. Prāvests C. Karnopps, Donalds L. Margolis, Ronalds C. Rozenbergs. Džons Vilijs un dēli, 7. marts 2012. gads
5. Aprēķins: matemātika un modelēšana. Viljams Bauldijs, Džozefs R. Fiedlers, Frenks R. Giordano, Eds Lodi, Riks Vitrajs. Addison Wesley Longman, 1. janvāris 1999. gads
6. wikipedia. Pārpasaulīgā funkcija. Atgūts no: es.wikipedia.com