TRIJSTŪRI: VĒSTURE, ELEMENTI, KLASIFIKĀCIJA, ĪPAŠĪBAS - ZINĀTNE - 2025

Par trīsstūri ir plakana un slēgti ģeometriskas figūras, kas sastāv no trim pusēm. Trijstūri nosaka trīs līnijas, kas krustojas pa divām, veidojot trīs leņķus viens ar otru. Trīsstūrveida forma, pilna ar simboliku, atrodas neskaitāmos objektos un kā konstrukcijas elements.

Trīsstūra izcelsme ir zaudēta vēsturē. No arheoloģiskajiem pierādījumiem ir zināms, ka primitīvā cilvēce to labi zināja, jo arheoloģiskās atliekas apstiprina, ka tas tika izmantots darbarīkos un ieročos.

1. attēls. Trijstūri. Avots: Publicdomainpictures.

Ir arī skaidrs, ka senajiem ēģiptiešiem bija labas zināšanas par ģeometriju un jo īpaši par trīsstūrveida formu. Tie tika atspoguļoti tās monumentālo ēku arhitektūras elementos.

Rindo papirūzā jūs atradīsit formulas trīsstūru un trapecveida laukumu aprēķināšanai, kā arī dažus apjomus un citus rudimentārās trigonometrijas jēdzienus.

No savas puses ir zināms, ka babilonieši varēja aprēķināt trīsstūra laukumu un citas ģeometriskas figūras, kuras viņi izmantoja praktiskiem mērķiem, piemēram, zemes dalījumiem. Viņi arī zināja par daudzām trijstūru īpašībām.

Tomēr senie grieķi sistematizēja daudzos mūsdienās izplatītos ģeometriskos jēdzienus, kaut arī liela daļa šo zināšanu nebija ekskluzīvi, jo noteikti tika dalīti ar šīm citām senajām civilizācijām.

Trīsstūra elementi

Jebkura trīsstūra elementi ir norādīti nākamajā attēlā. Ir trīs: virsotnes, malas un leņķi.

2. attēls. Trijstūru un to elementu apzīmējumi. Avots: Wikimedia Commons, modificējis F. Zapata

-Vertices : ir to līniju krustošanās punkti, kuru segmenti nosaka trīsstūri. Piemēram, iepriekšējā attēlā līnija L _AC, kas satur segmentu AC, šķērso līniju L _AB, kas satur segmentu AB tieši A punktā.

- Malas : starp katru virsotņu pāri tiek novilkts līnijas segments, kas veido trīsstūra vienu pusi. Šo segmentu var apzīmēt ar beigu burtiem vai izmantojot īpašu burtu, lai to izsauktu. 2. attēla piemērā sānu AB sauc arī par “c”.

- Leņķi : Starp katru pusi ar kopēju virsotni rodas leņķis, kura virsotne sakrīt ar trīsstūra virsotni. Parasti leņķi apzīmē ar grieķu burtu, kā teikts sākumā.

Lai izveidotu noteiktu trīsstūri ar noteiktu formu un izmēru, pietiek tikai ar vienu no šīm datu kopām:

-Trīs trīs puses, trijstūra gadījumā diezgan acīmredzamas.

-Divas malas un leņķis starp tām, un uzreiz tiek uzzīmēta atlikušā puse.

-Divs (iekšējais) leņķis un puse starp tiem. Pagarinot, tiek uzzīmētas divas trūkstošās puses un trīsstūris ir gatavs.

Apzīmējums

Parasti trijstūra apzīmējumā tiek izmantotas šādas norādes: virsotnes apzīmē ar latīņu burtiem ar lielajiem burtiem, malas ar latīņu burtu mazajiem burtiem un leņķus ar grieķu burtiem (sk. 2. attēlu).

Tādā veidā trīsstūris tiek nosaukts atbilstoši tā virsotnēm. Piemēram, trīsstūris kreisajā pusē 2. attēlā ir trīsstūris ABC, bet labajā pusē - trīsstūris A'B'C.

Ir iespējams izmantot arī citus apzīmējumus; piemēram, leņķis α 2. attēlā tiek apzīmēts kā BAC. Ņemiet vērā, ka virsotnes burts iet pa vidu un burti tiek rakstīti pretēji pulksteņrādītāja virzienam.

Citreiz leņķa apzīmēšanai tiek izmantota caret:

α = ∠A

Trijstūru veidi

Trijstūru klasificēšanai ir vairāki kritēriji. Parasti tos klasificē pēc to sāniem vai pēc leņķa. Atkarībā no to malu trijstūri var būt: skalēni, vienādsānu vai vienādmalu:

-Scaleno : tā trīs puses ir atšķirīgas.

-Isósceles : tai ir divas vienādas puses un viena atšķirīga puse.

-Equilátero : trīs puses ir vienādas.

3. attēls. Trijstūru klasifikācija pēc malām. Avots: F. Zapata

Atbilstoši to leņķa lielumam trīsstūri tiek nosaukti šādi:

- šķēršļi , ja viens no iekšējiem leņķiem ir lielāks par 90º.

- akūts leņķis , kad trīsstūra trīs iekšējie leņķi ir akūti, tas ir, mazāks par 90 °

- taisnstūris , ja viens no tā iekšējiem leņķiem ir 90º vērts. Sānus, kas veido 90º, sauc par kājām, un sānu, kas atrodas pretī taisnajam leņķim, ir hipotenūza.

4. attēls. Trijstūru klasifikācija pēc to iekšējiem leņķiem. Avots: F. Zapata.

Trijstūru sabrukums

Ja diviem trīsstūriem ir vienāda forma un tie ir vienādi, tie tiek uzskatīti par sakrītotiem. Protams, kongruence ir saistīta ar vienlīdzību, tad kāpēc ģeometrija runā nevis par "diviem vienādiem trīsstūriem", bet "diviem vienveidīgiem trīsstūriem"?

Labi, lai pieturētos pie patiesības, ieteicams izmantot terminu "kongruence", jo diviem trijstūriem var būt vienāda forma un izmērs, bet plaknē tie var būt atšķirīgi orientēti (sk. 3. attēlu). No ģeometrijas viedokļa tie vairs nebūtu stingri vienādi.

5. attēls. Saliekami trīsstūri, bet ne vienmēr vienādi, jo to orientācija plaknē ir atšķirīga. Avots: F. Zapata.

Sastrēguma kritēriji

Divi trīsstūri ir saderīgi, ja notiek kāds no šiem:

-Trīs puses mēra vienādi (atkal tas ir acīmredzamākais).

-Tām ir divas identiskas puses un ar vienādu leņķi starp tām.

-Betiem ir divi identiski iekšējie leņķi, un puse starp šiem leņķiem mēra vienādi.

Kā redzams, runa ir par diviem trīsstūriem, kas atbilst nepieciešamajiem nosacījumiem, lai, būvējot tos, to forma un izmērs būtu pilnīgi vienādi.

Saskaņotības kritēriji ir ļoti noderīgi, jo praksē neskaitāmus gabalus un mehāniskās detaļas jāražo sērijveidā tā, lai to mērījumi un forma būtu precīzi vienādi.

Trijstūru līdzība

Trīsstūris ir līdzīgs citam, ja tiem ir vienāda forma, pat ja tie ir dažāda lieluma. Lai pārliecinātos, ka forma ir vienāda, iekšējiem leņķiem ir jābūt vienādai vērtībai un malām jābūt proporcionālām.

6. attēls. Divi līdzīgi trīsstūri: to izmēri atšķiras, bet proporcijas ir vienādas. Avots: F. Zapata.

Arī trīsstūri 2. attēlā ir līdzīgi, tāpat kā 6. attēlā. Tādā veidā:

Runājot par sāniem, ir spēkā šādi līdzības koeficienti:

Īpašības

Trijstūru pamatīpašības ir šādas:

-Jebkura trīsstūra iekšējo leņķu summa vienmēr ir 180º.

-Jebkurā trīsstūrī tā ārējo leņķu summa ir vienāda ar 360 °.

- Trijstūra ārējais leņķis ir vienāds ar divu iekšējo leņķu summu, kas nav blakus minētajam leņķim.

Teormas

Thales pirmā teorēma

Tie tiek attiecināti uz grieķu filozofu un matemātiķi Thales of Miletus, kurš izstrādāja vairākas teorijas, kas saistītas ar ģeometriju. Pirmajā no tām teikts:

7. attēls. Tailes teorēma. Avots: F. Zapata.

Citiem vārdiem sakot:

a / a´ = b / b´ = c / c´

Thales pirmā teorēma ir piemērojama trīsstūrim, piemēram, mums kreisajā pusē ir zils trīsstūris ABC, kuru labajā pusē sagriež sarkanās paralēles:

8. attēls. Tailes teorēma un tamlīdzīgi trīsstūri.

Violetais trīsstūris AB'C 'ir līdzīgs zilajam trīsstūrim ABC, tāpēc saskaņā ar Thales teorēmu var rakstīt sekojošo:

AB´ / AC´ = AB / AC

Un tas ir saskaņā ar to, kas iepriekš tika izskaidrots trijstūru līdzības segmentā. Starp citu, paralēlas līnijas var būt arī vertikālas vai paralēlas hipotenūzei, un līdzīgi trijstūri tiek iegūti tādā pašā veidā.

Thales otrā teorēma

Šī teorēma attiecas arī uz trīsstūri un apli ar centru O, piemēram, parādītos zemāk. Šajā attēlā AC ir apkārtmēra diametrs, un B ir punkts uz tā, B atšķiras no A un B.

Thales otrajā teorēmā teikts:

9. attēls. Tailes otrā teorēma. Avots: Wikimedia Commons. Induktīvā slodze.

Pitagora teorēma

Šī ir viena no slavenākajām teorēmām vēsturē. Tas ir saistīts ar grieķu matemātiķa Pitagorasa no Samosas (569. – 475. Gadā pirms Kristus) un ir piemērojams taisnajam trīsstūrim. Saka tā:

Ja par piemēru ņemtu zilo trīsstūri 8. attēlā vai purpura trīsstūri, jo abi ir taisnstūri, tad var apgalvot, ka:

AC ² = AB ² + BC ² (zils trīsstūris)

AC´ ² = AB´ ² + BC´ ² (purpursarkans trīsstūris)

Trijstūra laukums

Trijstūra laukumu norāda tā pamatnes a un augstuma h reizinājums, dalīts ar 2. Un ar trigonometriju šo augstumu var uzrakstīt kā h = b sinθ.

10. attēls. Trijstūra laukums. Avots: Wikimedia Commons.

Trijstūru piemēri

1. piemērs

Mēdz teikt, ka, izmantojot savu pirmo teorēmu, Thalesam izdevās izmērīt Ēģiptes Lielās piramīdas augstumu, kas ir viens no 7 senās pasaules brīnumiem, izmērot ēnu, ko tā projicēja uz zemes un to, ko projicēja zemē iedzīta staba.

Šis ir tales ievērotās procedūras izklāsts:

11. attēls. Shēma Lielās piramīdas augstuma noteikšanai pēc trijstūru līdzības. Avots: Wikimedia Commons. Dake

Thales pareizi uzskatīja, ka saules stari sit paralēli. Paturot to prātā, viņš iztēlojās lielo labo trīsstūri labajā pusē.

Tur D ir piramīdas augstums, un C ir attālums virs zemes, ko mēra no centra līdz ēnai, kuru piramīdas met tuksneša grīdā. Var būt smagi izmērīt C, taču tas noteikti ir vieglāk nekā izmērīt piramīdas augstumu.

Kreisajā pusē ir mazs trīsstūris ar kājām A un B, kur A ir staba augstums, kas vertikāli novirzīts zemē, un B ir ēna, kuru tas izmet. Abi garumi ir izmērāmi, tāpat kā C (C ir vienāds ar ēnas garumu + pusi no piramīdas garuma).

Tātad, pēc trīsstūru līdzības:

A / B = D / C

Un Lielās piramīdas augstums izrādās: D = C. (A / B)

2. piemērs

Civilās konstrukcijas kopnes ir no plānām, taisnām koka vai metāla šķērsgrieztām stieņiem, kas tiek izmantoti kā balsts daudzās ēkās. Tos sauc arī par kopnēm, kopnēm vai kopnēm.

Tajos vienmēr atrodas trīsstūri, jo stieņi ir savstarpēji savienoti punktos, kurus sauc par mezgliem, kurus var fiksēt vai šarnīrēt.

12. attēls. Šī tilta rāmī atrodas trīsstūris. Avots: PxHere.

3. piemērs

Metode, kas pazīstama kā trīsstūrveida regulēšana, ļauj iegūt nepieejamu punktu atrašanās vietu, zinot citus attālumus, kurus ir vieglāk izmērīt, ar nosacījumu, ka tiek izveidots trīsstūris, kas ietver vēlamo atrašanās vietu starp tā virsotnēm.

Piemēram, šajā attēlā mēs vēlamies zināt, kur kuģis atrodas jūrā, apzīmēts ar B.

13. attēls. Triangulācijas shēma kuģa atrašanās vietas noteikšanai. Avots: Wikimedia Commons. Colette

Vispirms mēra attālumu starp diviem krasta punktiem, kas attēlā ir A un C. Pēc tam, izmantojot teodolītu, jānosaka leņķi α un β, izmantojot ierīci vertikālo un horizontālo leņķu mērīšanai.

Ar visu šo informāciju tiek uzbūvēts trīsstūris, kura augšējā virsotne ir kuģis. Atliek aprēķināt leņķi γ, izmantojot trijstūru īpašības un attālumus AB un CB, izmantojot trigonometriju, lai noteiktu kuģa atrašanās vietu jūrā.

Vingrinājumi

1. vingrinājums

Parādītajā attēlā saules stari ir paralēli. Tādā veidā 5 metrus augsts koks uz zemes met 6 metru ēnu. Tajā pašā laikā ēkas ēna ir 40 metru. Pēc Thales pirmās teorēmas atrodiet ēkas augstumu.

14. attēls. Atrisinātā uzdevuma shēma 1. Avots: F. Zapata.

Risinājums

Sarkanā trīsstūra malas ir attiecīgi 5 un 6 metri, bet zilajam ir H augstums - ēkas augstums - un pamatnei 40 metri. Tāpēc abi trīsstūri ir līdzīgi:

2. vingrinājums

Jums jāzina horizontālais attālums starp diviem punktiem A un B, bet tie atrodas uz ļoti nevienmērīgas zemes.

Aptuveni minētā reljefa viduspunktā (P _m ) izceļas 1,75 metru augstums. Ja mērlente norāda 26 metru garumu, ko mēra no A līdz redzamībai, un 27 metrus no B līdz vienam un tam pašam punktam, atrodiet attālumu AB.

15. attēls. Atrisinātā uzdevuma shēma 2. Avots: Jiménez, R. Matemātika II. Ģeometrija un trigonometrija.

Risinājums

Pitagora teorēma tiek piemērota vienam no diviem attēlā redzamajiem labajiem trīsstūriem. Sākot ar kreiso:

Hipotenūza = c = 26 metri

Augstums = a = 1,75 metri

AP _m = (26 ² - 1,75 ² ) ^1/2 = 25,94 m

Tagad uzklājiet Pitagoras trīsstūrī pa labi, šoreiz c = 27 metri, a = 1,75 metri. Ar šīm vērtībām:

BP _m = (27 ² - 1,75 ² ) ^1/2 = 26,94 m

Attālums AB tiek atrasts, pievienojot šādus rezultātus:

AB = 25,94 m + 26,94 m = 52,88 m.

Atsauces

1. Baldor, JA 1973. Plakne un kosmosa ģeometrija. Centrālamerikas kultūras.
2. Barredo, D. Trijstūra ģeometrija. Atgūts no: ficus.pntic.mec.es.
3. Jiménez, R. 2010. Matemātika II. Ģeometrija un trigonometrija. Otrais izdevums. Pīrsons.
4. Wentworth, G. Plane ģeometrija. Atgūts no: gutenberg.org.
5. Wikipedia. Trijstūris. Atgūts no: es. wikipedia.org.