- vairošanos īsta skaits alfa ar vektoru v : α v sniedzot citu vektoru un pieder V .

Vektoru telpas mākslinieciskais redzējums. Avots: Pixabay

Lai apzīmētu vektoru, mēs izmantojam treknrakstu ( v ir vektors), bet skalāriem vai cipariem - grieķu burti (α ir skaitlis).

Aksiomas un īpašības

Lai dotu vektorveidu, jābūt šādām astoņām aksiomām:

1-savienojamība: u + v = v + u

2-pārejas spēja: ( u + v ) + w = u + ( v + w )

3 - Nulles vektora 0 esamība ir tāda, ka 0 + v = v

4-Pretstata esamība: v pretstats ir (- v ), jo v + (- v ) = 0

Produkta 5-sadalījums attiecībā uz vektora summu: α ( u + v ) = α u + α v

Produkta 6-sadalījums attiecībā uz skalāru summu: (α + β) v = α v + β v

7-Skalārā produkta asociācija: α (β v ) = (α β) v

8-Skaitlis 1 ir neitrāls elements, jo: 1 v = v

Vektora telpu piemēri

1. piemērs

Vektori plaknē (R²) ir vektora telpas piemērs. Vektors plaknē ir ģeometrisks objekts, kuram ir lielums un virziens. To attēlo orientēts segments, kas pieder minētajai plaknei un kura lielums ir proporcionāls tās lielumam.

Divu vektoru summu plaknē var definēt kā otrā vektora ģeometrisko tulkošanas operāciju pēc pirmā. Summas rezultāts ir orientēts segments, kas sākas ar pirmā izcelsmi un sasniedz otrā.

Attēlā redzams, ka summa R² ir komutējoša.

2. attēls. Vektori plaknē veido vektoru telpu. Avots: pašu gatavots.

Tiek definēts arī cipara α un vektora reizinājums. Ja skaitlis ir pozitīvs, tiek saglabāts sākotnējā vektora virziens un lielums ir α reizes lielāks par sākotnējo vektoru. Ja skaitlis ir negatīvs, virziens ir pretējs, un iegūtā vektora lielums ir skaitļa absolūtā vērtība.

Vektors, kas atrodas pretī jebkuram vektoram v, ir - v = (- 1) v .

Nullvektors ir punkts R2 plaknē, un skaitlis, kas nulle reizes lielāks par vektoru, dod nulles vektoru.

Viss teiktais ir parādīts 2. attēlā.

2. piemērs

Visu polinomu kopa P , kuras pakāpe ir mazāka vai vienāda ar divām, ieskaitot nulles pakāpi, veido kopu, kas apmierina visas vektoru telpas aksiomas.

Ļaujiet polinomam P (x) = a x² + bx + cy Q (x) = d x² + ex + f

Tiek definēta divu polinomu summa: P (x) + Q (x) = (a + d) x² + (b + e) ​​x + (c + f)

Polinomu summa, kas pieder kopai P, ir komutējoša un pārejoša.

Nulles polinoms, kas pieder kopai P, ir tāds, kura koeficienti ir vienādi ar nulli:

0 (x) = 0 x² + 0 x + 0

Polināra skalārā α summa tiek definēta kā: α P (x) = α ∙ a x² + α ∙ bx + α ∙ c

P (x) pretējs polinoms ir -P (x) = (-1) P (x).

No visa iepriekšminētā izriet, ka visu polinomu kopa P , kuras pakāpe ir mazāka vai vienāda ar divām, ir vektora telpa.

3. piemērs

Visu m rindu xn kolonnu matricu kopa M , kuru elementi ir reālie skaitļi, veido reālu vektoru telpu attiecībā uz matricu un skaitļa reizināšanas ar matricu pievienošanas operācijām.

4. piemērs

Reālā mainīgā nepārtraukto funkciju kopa F veido vektoru telpu, jo ir iespējams definēt divu funkciju summu, skalāra reizināšanu ar funkciju, nulles funkciju un simetrisko funkciju. Viņi piepilda arī aksiomas, kas raksturo vektoru telpu.

Vektora telpas pamatne un dimensija

Bāze

Vektoru telpas bāze ir definēta kā lineāri neatkarīgu vektoru kopums, lai no lineāras to kombinācijas varētu radīt jebkuru šīs vektoru telpas vektoru.

Divu vai vairāku vektoru lineāra apvienošana sastāv no vektoru reizināšanas ar kādu skalāru un tad vektoru pievienošana.

Piemēram, trīs dimensiju vektoru vektoru telpā, ko veido R³, tiek izmantota kanoniskā bāze, ko nosaka vienības vektori (ar 1. lielumu) i , j , k .

Kur i = (1, 0, 0); j = (0, 1, 0); k = (0, 0, 1). Tie ir Dekarta vai kanoniski vektori.

Jebkuru vektoru V, kas pieder R³, raksta kā V = a i + b j + c k , kas ir bāzes vektoru i , j , k lineāra kombinācija . Skalars vai cipari a, b, c ir zināmi kā V Dekarta komponenti .

Ir arī teikts, ka vektoru telpas bāzes vektori veido vektoru telpas ģeneratoru kopu.

Izmērs

Vektora telpas dimensija ir kardinālais skaitlis, kas norāda telpas vektoru bāzi; tas ir, vektoru skaits, kas veido minēto bāzi.

Šis kardināls ir šīs vektoru telpas lineāri neatkarīgo vektoru maksimālais skaits un vienlaikus minimālais vektoru skaits, kas veido šīs telpas ģeneratoru kopu.

Vektoru telpas pamati nav unikāli, bet visām tās pašas vektoru telpas pamatnēm ir vienāda dimensija.

Vektoru apakštelpa

Vektora telpas V vektora apakšspace S ir V apakškopa, kurā definētas tās pašas operācijas kā V pozīcijā un kas pilda visas vektoru telpas aksiomas. Tāpēc apakštelpa S būs arī vektora telpa.

Vektora apakštelpas piemēri ir vektori, kas pieder XY plaknei. Šī apakštelpa ir dimensiju vektoru telpas apakškopa, kas ir lielāka par vektoru kopu, kas pieder trīsdimensiju telpai XYZ.

Tālāk ir definēts cits vektoru telpas S vektora apakšplatības S1 piemērs, ko veido visas 2 × 2 matricas ar reāliem elementiem:

No otras puses, S2, kas definēts zemāk, lai arī tas ir S apakškopa, neveido vektora apakšklāju:

Atrisināti vingrinājumi

-Uzdevums 1

Ļaujiet vektoriem V1 = (1, 1, 0); V2 = (0, 2, 1) un V3 = (0, 0, 3) R³.

a) Parādiet, ka tie ir lineāri neatkarīgi.

b) parādiet, ka tie veido pamatu R³, jo jebkuru trīskāršu (x, y, z) var uzrakstīt kā lineāru V1, V2, V3 kombināciju.

c) Atrodiet trīskāršās V = (-3,5,4) sastāvdaļas pamatnē V1 , V2 , V3 .

Risinājums

Kritērijs lineāras neatkarības pierādīšanai ir šāda vienādojumu kopuma izveidošana α, β un γ

α (1, 1, 0) + β (0, 2, 1) + γ (0, 0, 3) = (0, 0, 0)

Ja vienīgais šīs sistēmas risinājums ir α = β = γ = 0, tad vektori ir lineāri neatkarīgi, pretējā gadījumā tie nav.

Lai iegūtu α, β un γ vērtības, mēs piedāvājam šādu vienādojumu sistēmu:

α ∙ 1 + β ∙ 0 + γ ∙ 0 = 0

α ∙ 1 + β ∙ 2 + γ ∙ 0 = 0

α ∙ 0 + β ∙ 1 + γ ∙ 3 = 0

Pirmais noved pie α = 0, otrais α = -2 ∙ β, bet kopš α = 0, tad β = 0. Trešais vienādojums nozīmē, ka γ = (- 1/3) β, bet, tā kā β = 0, tad γ = 0.

Atbilde uz

Secināts, ka tas ir lineāri neatkarīgu vektoru kopums R³.

Atbilde b

Tagad uzrakstīsim trīskāršo (x, y, z) kā lineāru V1, V2, V3 kombināciju.

(x, y, z) = α V1 + β V2 + γ V3 = α (1, 1, 0) + β (0, 2, 1) + γ (0, 0, 3)

α ∙ 1 + β ∙ 0 + γ ∙ 0 = x

α ∙ 1 + β ∙ 2 + γ ∙ 0 = y

α ∙ 0 + β ∙ 1 + γ ∙ 3 = z

Kur jums ir:

α = x

α + 2 β = y

β + 3 γ = z

Pirmais apzīmē α = x, otrais β = (yx) / 2 un trešais γ = (z- y / 2 + x / 2) / 3. Tādā veidā mēs esam atraduši jebkura R³ tripleta α, β un γ ģeneratorus

Atbilde c

Turpināsim atrast trīskāršās V = (-3,5,4) komponentus bāzē V1 , V2 , V3 .

Mēs aizstājam atbilstošās vērtības izteiksmē, kas iepriekš atrodama, ģeneratoriem.

Šajā gadījumā mums ir: α = -3; β = (5 - (- 3)) / 2 = 4; γ = (4- 5/2 + (- 3) / 2) / 3 = 0

Tas ir:

(-3,5,4) = -3 (1, 1, 0) + 4 (0, 2, 1) + 0 (0, 0, 3)

Pēc pēdējās:

V = -3 V1 + 4 V2 + 0 V3

Mēs secinām, ka V1, V2, V3 veido pamatu vektoru telpā R³ dimensijā 3.

- 2. vingrinājums

Polinomu P (t) = t² + 4t -3 izsaka kā lineāru P1 (t) = t² -2t + 5, P2 (t) = 2t² -3t un P3 (t) = t + 3 kombināciju.

Risinājums

P (t) = x P1 (t) + y P2 (t) + z P3 (t)

kur jānosaka cipari x, y, z.

Reizinot un sagrupējot terminus ar vienādu pakāpi t, iegūst:

t² + 4 t -3 = (x + 2y) t² + (-2x -3y + z) t + (5x + 3z)

Kas ved mūs uz šādu vienādojumu sistēmu:

x + 2y = 1

-2x -3y + z = 4

5x + 3z = -3

Šīs vienādojumu sistēmas risinājumi ir:

x = -3, y = 2, z = 4.

Tas ir:

P (t) = -3 P1 (t) + 2 P2 (t) + 4 P3 (t)

-Uzdevums 3

Parādiet, ka vektori v1 = (1, 0, -1, 2); v2 = (1, 1, 0, 1) un v3 = (2, 1, -1, 1) no R⁴ ir lineāri neatkarīgi.

Risinājums

Mēs lineāri apvienojam trīs vektorus v1 , v2 , v3 un pieprasām, lai kombinācija pievienotu nulles elementu R⁴

a v1 + b v2 + c v3 = 0

Proti,

a (1, 0, -1, 2) + b (1, 1, 0, 1) + c (2, 1, -1, 1) = (0, 0, 0, 0)

Tas noved mūs pie šādas vienādojumu sistēmas:

a + b + 2 c = 0

b + c = 0

-a - c = 0

2 a + b + c = 0

Atņemot pirmo un ceturto, mums ir: -a + c = 0, kas nozīmē a = c.

Bet, ja mēs skatāmies uz trešo vienādojumu, mums ir, ka a = -c. Vienīgais veids, kā a = c = (- c) tur, ir, ka c ir 0 un tāpēc arī a būs 0.

a = c = 0

Ja mēs iespraužam šo rezultātu pirmajā vienādojumā, tad secinām, ka b = 0.

Visbeidzot a = b = c = 0, lai varētu secināt, ka vektori v1, v2 un v3 ir lineāri neatkarīgi.

Atsauces

1. Lipschutz, S. 1993. Lineārā algebra. Otrais izdevums. Makgreivs. 167-198.