INTEGRĀCIJAS KONSTANTE: NOZĪME, APRĒĶINS UN PIEMĒRI - MATEMĀTIKA - 2025

Integrācijas konstante ir pievienotā vērtība, lai aprēķinātu nenoteiktais integrālis vai integrāļi, tas kalpo pārstāvēt risinājumus, kas veido primitīvas funkciju. Tas izsaka raksturīgo neskaidrību, kad jebkurai funkcijai ir bezgalīgs skaits primitīvu.

Piemēram, ja mēs ņemam funkciju: f (x) = 2x + 1 un iegūstam tās antiderivatīvu:

∫ (2x + 1) dx = x ² + x + C ; Kur C ir integrācijas konstante un grafiski attēlo vertikālo tulkojumu starp primitīva bezgalīgajām iespējām. Ir pareizi teikt, ka (x ² + x) ir viena no f (x) primitīvām.

Avots: autore

Līdzīgi mēs varam definēt (x ² + x + C ) kā f (x) primitīvu.

Nekustamais īpašums

Var atzīmēt, ka, iegūstot izteiksmi (x ² + x), tiek iegūta funkcija f (x) = 2x + 1. Tas ir saistīts ar apgriezto īpašību, kas pastāv starp funkciju atvasināšanu un integrāciju. Šis īpašums ļauj iegūt integrācijas formulas, sākot no diferenciācijas. Kas ļauj pārbaudīt integrāļus, izmantojot tos pašus atvasinājumus.

Avots: autore

Tomēr (x ² + x) nav vienīgā funkcija, kuras atvasinājums ir vienāds ar (2x + 1).

1. d (x ² + x) / dx = 2x + 1
2. d (x ² + x + 1) / dx = 2x + 1
3. d (x ² + x + 2) / dx = 2x + 1
4. d (x ² + x + 3) / dx = 2x + 1
5. d (x ² + x + C ) / dx = 2x + 1

Kur 1, 2, 3 un 4 apzīmē īpašus f (x) = 2x + 1 primitīvus, savukārt 5 apzīmē f (x) = 2x + 1 nenoteiktu vai primitīvu integrālu.

Avots: autore

Funkcijas primitīvi tiek sasniegti, izmantojot antiderivaaciju vai integrālo procesu. Kur F būs f primitīvs, ja taisnība ir šāda

• y = ∫ f (x) dx = F (x) + C; C = integrācijas konstante
• F '(x) = f (x)

Var redzēt, ka funkcijai ir viens atvasinājums atšķirībā no tās bezgalīgajiem primitīviem, kas rodas integrācijas rezultātā.

Nenoteiktais integrālis

∫ f (x) dx = F (x) + C

Tas atbilst līkņu saimei ar tādu pašu modeli, kurā katra punkta (x, y) attēlu vērtība ir atšķirīga. Katra funkcija, kas izpilda šo modeli, būs individuāla primitīva, un visu funkciju kopums ir pazīstams kā nenoteikts integrālis.

Integrācijas konstantes vērtība būs tā, kas praksē atšķir katru funkciju.

Integrācijas konstante iesaka vertikālo nobīdi visās diagrammās pārstāv primitīvi par funkciju. Kur tiek novērota paralēle starp tām un fakts, ka C ir pārvietojuma vērtība.

Saskaņā ar vispārpieņemto praksi, integrācijas konstante tiek apzīmēta ar burtu "C" aiz papildinājuma, lai gan praksē nav nozīmes, vai konstante tiek pievienota vai atņemta. Tās reālā vērtība var atrast dažādos veidos saskaņā ar dažādiem sākotnējiem nosacījumiem .

Citas integrācijas konstantes nozīmes

Jau tika apspriests, kā integrācijas konstante tiek pielietota integrālo aprēķinu filiālē ; Pārstāv tādu līkņu saimi, kas definē nenoteiktu integrālu. Bet daudzas citas zinātnes un nozares ir piešķīrušas ļoti interesantas un praktiskas integrācijas pastāvības vērtības , kas ir veicinājušas vairāku pētījumu attīstību.

Šajā fizikas konstante integrācijas var būt vairākas vērtības atkarībā no datiem. Ļoti izplatīts piemērs ir funkcijas V (t) zināšana, kas attēlo daļiņas ātrumu pret laiku t. Ir zināms, ka, aprēķinot V (t) primitīvu, tiek iegūta funkcija R (t), kas attēlo daļiņas stāvokli laikā.

Integrācijas konstante būs apzīmē vērtību sākotnējā stāvoklī, tas ir, laikā t = 0.

Tādā pašā veidā ir zināma funkcija A (t), kas attēlo daļiņas paātrinājumu pret laiku. Primitīvs A (t) radīs funkciju V (t), kur integrācijas konstante būs sākotnējā ātruma V _{0 vērtība} .

Jo ekonomikā , iegūstot ar integrāciju primitīvo par izmaksu funkciju. Integrācijas konstante būs pārstāvēs fiksētās izmaksas. Un tik daudz citu lietojumprogrammu, kuras ir pelnījušas diferenciālo un integrālo aprēķinu.

Kā tiek aprēķināta integrācijas konstante?

Lai aprēķinātu integrācijas konstanti, vienmēr būs jāzina sākotnējie nosacījumi . Par kuru pienākumu ir noteikt, kurš no iespējamiem primitīviem ir atbilstošais.

Daudzās lietojumprogrammās tas tiek traktēts kā neatkarīgs mainīgais laikā (t), kur konstante C ņem vērtības, kas nosaka sākotnējos apstākļus konkrētajā gadījumā.

Ja ņemam sākotnējo piemēru: ∫ (2x + 1) dx = x ² + x + C

Derīgs sākotnējais nosacījums var būt nosacījums, ka grafiks šķērso noteiktu koordinātu. Piemēram, mēs zinām, ka primitīvs (x ² + x + C) iet caur punktu (1, 2)

F (x) = x ² + x + C; tas ir vispārīgais risinājums

F (1) = 2

Mēs šajā vienlīdzībā aizstājam vispārīgo risinājumu

F (1) = (1) ² + (1) + C = 2

No kurienes viegli izriet, ka C = 0

Tādā veidā šajā gadījumā atbilstošais primitīvs ir F (x) = x ² + x

Ir vairāki skaitlisko vingrinājumu veidi, kas darbojas ar integrācijas konstantēm . Faktiski diferenciālo un integrālo aprēķinu nebeidz piemērot pašreizējos pētījumos. Dažādos akadēmiskajos līmeņos tos var atrast; sākot no sākotnējiem aprēķiniem, izmantojot fiziku, ķīmiju, bioloģiju, ekonomiku.

Tas tiek novērtēts arī diferenciālvienādojumu izpētē , kur integrācijas konstantei var būt dažādas vērtības un risinājumi, tas ir saistīts ar vairākkārtējiem atvasinājumiem un integrācijām, kas tiek veiktas šajā jautājumā.

Piemēri

1. piemērs

1. Lielgabals, kas atrodas 30 metru augstumā, izšauj lādiņu vertikāli uz augšu. Ir zināms, ka šāviņa sākotnējais ātrums ir 25 m / s. Izlemiet:

• Funkcija, kas nosaka šāviņa pozīciju attiecībā pret laiku.
• Lidojuma laiks vai laiks, kad daļiņa nonāk zemē.

Ir zināms, ka taisnā kustībā vienmērīgi mainīts paātrinājums ir nemainīga vērtība. Tas attiecas uz šāviņa palaišanu, kur paātrinājums būs gravitācija

g = - 10 m / s ²

Ir arī zināms, ka paātrinājums ir otrais pozīcijas atvasinājums, kas norāda uz divkāršu integrāciju uzdevuma izšķirtspējā, tādējādi iegūstot divas integrācijas konstantes.

A (t) = -10

V (t) = ∫A (t) dt = ∫ (-10t) dt = -10t + C ₁

Sākotnējie vingrinājuma apstākļi norāda, ka sākotnējais ātrums ir V ₀ = 25 m / s. Tas ir ātrums brīdī t = 0. Tādā veidā ir pārliecināts, ka:

V (0) = 25 = -10 (0) + C ₁ un C ₁ = 25

Ar definētu ātruma funkciju

V (t) = -10t + 25; Līdzību var novērot ar MRUV formulu (V _f = V ₀ + axt)

Homoloģiskā veidā mēs turpinām integrēt ātruma funkciju, lai iegūtu izteiksmi, kas definē pozīciju:

R (t) = ∫V (t) dt = ∫ (-10t + 25) dt = -5t ² + 25t + C ₂

R (t) = -5t ² + 25t + C ₂ (pozīcija primitīvs)

Sākotnējā pozīcija R (0) = 30 m ir zināma. Tad tiek aprēķināts šāviņa īpašais primitīvs.

R (0) = 30 m = -5 (0) ² + 25 (0) + C ₂ . Kur C ₂ = 30

2. piemērs

1. Atrodiet primitīvo f (x), kas atbilst sākotnējiem nosacījumiem:

• f '' (x) = 4; f '(2) = 2; f (0) = 7

Ar informāciju par otro atvasinājumu f '' (x) = 4 sākas atvasināšanas process

f '(x) = ∫f' '(x) dx

∫4 dx = 4x + C ₁

Tad, zinot nosacījumu f '(2) = 2, mēs rīkojamies šādi:

4 (2) + C ₁ = 2

C ₁ = -6 un f '(x) = 4x - 8

Tādā pašā veidā mēs virzāmies uz otro integrācijas konstanti

f (x) = ∫f '(x) dx
∫ (4x - 8) dx = 2x ² - 8x + C ₂

Sākotnējais nosacījums f (0) = 7 ir zināms, un mēs rīkojamies šādi:

2 (0) ² - 8 (0) + C ₂ = 7

C ₂ = 7 un f (x) = 2x ² - 8x + 7

• f '' (x) = x ² ; f '(0) = 6; f (0) = 3

Līdzīgi kā iepriekšējā problēma, mēs definējam pirmos atvasinājumus un sākotnējo funkciju no sākotnējiem nosacījumiem.

f '(x) = ∫f' '(x) dx

∫ (x ² ) dx = (x ³ /3) + C ₁

Ar nosacījumu f '(0) = 6 mēs turpinām:

(0 ^3/3 ) + C ₁ = 6; Kur C ₁ = 6 un f '(x) = (x ³ /3) + 6

Tad otrā integrācijas konstante

f (x) = ∫f '(x) dx

∫ dx = (x ⁴ /12) + 6x + C ₂

Sākotnējais nosacījums f (0) = 3 ir zināms, un mēs rīkojamies šādi:

+ 6 (0) + C ₂ = 3; Kur C ₂ = 3

Tādējādi mēs iegūstam primitīvo īpašību

f (x) = (x ⁴ /12) + 6x + 3

3. piemērs

1. Definējiet primitīvās funkcijas, ņemot vērā atvasinājumus un punktu uz diagrammas:

• dy / dx = 2x - 2, kas iet caur punktu (3, 2)

Ir svarīgi atcerēties, ka atvasinājumi attiecas uz līnijas slīpumu pret līkni noteiktā punktā. Ja nav pareizi uzskatīt, ka atvasinājuma grafiks pieskaras norādītajam punktam, jo ​​tas pieder pie primitīvās funkcijas grafika.

Tādā veidā diferenciālvienādojumu izsaka šādi:

∫dy = ∫ (2x - 2) dx

Sākotnējā nosacījuma piemērošana:

2 = (3) ² - 2 (3) + C

C = -1

To iegūst: f (x) = x ² - 2x - 1

• dy / dx = 3x ² - 1, kas iet caur punktu (0, 2)

Mēs izsakām diferenciālvienādojumu šādi:

Sākotnējā nosacījuma piemērošana:

2 = (0) ² - 2 (0) + C

C = 2

Iegūstam: f (x) = x ³ - x + 2

Piedāvātie vingrinājumi

1. vingrinājums

1. Atrodiet primitīvo f (x), kas atbilst sākotnējiem nosacījumiem:

• f '' (x) = x; f '(3) = 1; f (2) = 5
• f '' (x) = x + 1; f '(2) = 2; f (0) = 1
• f '' (x) = 1; f '(2) = 3; f (1) = 10
• f '' (x) = -x; f '(5) = 1; f (1) = -8

2. vingrinājums

1. Balons, kas aug ar ātrumu 16 pēdas / s, nokrīt smilšu maisu no 64 pēdu augstuma virs zemes.

• Definējiet lidojuma laiku
• Kāds būs vektors V _f, kad tas atsitīsies pret zemi?

3. vingrinājums

1. Attēlā parādīts paātrinājuma un laika grafiks automašīnai, kas pārvietojas x ass pozitīvajā virzienā. Automašīna brauca ar nemainīgu ātrumu 54 km / h, kad vadītājs piebremzēja 10 sekunžu laikā. Noteikt:

• Sākotnējais automašīnas paātrinājums
• Automašīnas ātrums t = 5s
• Automašīnas nobīde bremzēšanas laikā

Avots: autore

4. vingrinājums

1. Definējiet primitīvās funkcijas, ņemot vērā atvasinājumus un punktu uz diagrammas:

• dy / dx = x, kas iet caur punktu (-1, 4)
• dy / dx = -x ² + 1, kas iet caur punktu (0, 0)
• dy / dx = -x + 1, kas iet caur punktu (-2, 2)

Atsauces

1. Integrāls aprēķins. Neierobežotas integrācijas un integrācijas metodes. Vilsons, Velásquez Bastidas. Magdalēnas universitāte 2014
2. Stjuarts, J. (2001). Mainīgā lieluma aprēķins. Agrīnie pārpasaulnieki. Meksika: Thomson Learning.
3. Jiménez, R. (2011). Matemātika VI. Integrāls aprēķins. Meksika: Pīrsona izglītība.
4. Fizika I. Mc Graw kalns